新版【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學北師大版一輪訓練：第5篇 第5講 數(shù)列的綜合應(yīng)用

1 1第5講數(shù)列的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1(20xx·昆明調(diào)研)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且3a1，a2，a3成等差數(shù)列，若a11，則S4()A20B0C7D40解析記等比數(shù)列an的公比為q(q1)，依題意有2a23a1a3，2a1q3a1a1q2，即q22q30，(q3)(q1)0，又q1，因此有q3，則S420.答案A2若9，a，1成等差數(shù)列，9，m，b，n，1成等比數(shù)列，則ab()A15B15C±15D10解析由已知得a5， b2(9)×(1)9且b<0，b3，ab(5)×(3)15.答案A3(20xx·寶雞模擬)數(shù)列an滿足a11，log2an1log2an1(nN)，它的前n項和為Sn，則滿足Sn>1 025的最小n值是 ()A9B10C11D12解析因為a11，log2an1log2an1(nN)，所以an12an，an2n1，Sn2n1，則滿足Sn>1 025的最小n值是11.答案C4已知an為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和若a2·a32a1，且a4與2a7的等差中項為，則S5 ()A35B33C31D29解析設(shè)數(shù)列an的公比為q，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a2·a3a1·a42a1，即a42.由a4與2a7的等差中項為知，a42a72×，a7.q3，即q.a4a1q3a1×2，a116，S531.答案C5(20xx·贛州模擬)設(shè)yf(x)是一次函數(shù)，若f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比數(shù)列，則f(2)f(4)f(2n)等于 ()An(2n3)Bn(n4)C2n(2n3)D2n(n4)解析由題意可設(shè)f(x)kx1(k0)，則(4k1)2(k1)×(13k1)，解得k2，f(2)f(4)f(2n)(2×21)(2×41)(2×2n1)2n23n.答案A二、填空題6(20xx·紹興調(diào)研)已知實數(shù)a1，a2，a3，a4構(gòu)成公差不為零的等差數(shù)列，且a1，a3，a4構(gòu)成等比數(shù)列，則此等比數(shù)列的公比等于_解析設(shè)公差為d，公比為q.則aa1·a4，即(a12d)2a1(a13d)，解得a14d，所以q.答案7(20xx·江西卷)某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(nN*)等于_解析每天植樹棵數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列an，其中a12，q2.則Sn2(2n1)100，即2n1102.n6，最少天數(shù)n6.答案68(20xx·山東省實驗中學診斷)數(shù)列an滿足a13，ananan11，An表示an前n項之積，則A2 013_.解析由a13，ananan11，得an1，所以a2，a3，a43，所以an是以3為周期的數(shù)列，且a1a2a31，又2 0133×671，所以A2 013(1)6711.答案1三、解答題9(20xx·杭州模擬)設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和已知S37，且a13,3a2，a34構(gòu)成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式(2)令bnnan，n1,2，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)由已知，得解得a22.設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a22，可得a1，a32q.又S37，可知22q7，即2q25q20，解得q2或.由題意得q1，所以q2.則a11.故數(shù)列an的通項為an2n1.(2)由于bnn·2n1，n1,2，則Tn12×23×22n×2n1，所以2Tn22×22(n1)×2n1n×2n，兩式相減得Tn1222232n1n×2n2nn×2n1，即Tn(n1)2n1.10(20xx·銅川模擬)已知函數(shù)f(x)x22x4，數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，若a1f(d1)，a3f(d1)，(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)Sn為an的前n項和，求證：.(1)解a1f(d1)d24d7，a3f(d1)d23，又由a3a12d，可得d2，所以a13，an2n1.(2)證明Snn(n2)，所以，.能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1(20xx·福州模擬)在等差數(shù)列an中，滿足3a47a7，且a1>0，Sn是數(shù)列an前n項的和，若Sn取得最大值，則n ()A7B8C9D10解析設(shè)公差為d，由題設(shè)3(a13d)7(a16d)，所以da1<0.解不等式an>0，即a1(n1)>0，所以n<，則n9，當n9時，an>0，同理可得n10時，an<0.故當n9時，Sn取得最大值答案C2已知f(x)bx1是關(guān)于x的一次函數(shù)，b為不等于1的常數(shù)，且g(n)設(shè)ang(n)g(n1)( nN)，則數(shù)列an為 ()A等差數(shù)列B等比數(shù)列C遞增數(shù)列D遞減數(shù)列解析a1g(1)g(0)fg(0)g(0)b11b，當n2時，ang(n)g(n1)fg(n1)fg(n2)bg(n1)g(n2)ban1，所以an是等比數(shù)列答案B二、填空題3(20xx·浙江五校聯(lián)考)設(shè)x為實數(shù)，x為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，記xxx，則x的取值范圍是0,1)，現(xiàn)定義無窮數(shù)列an如下：a1a，當an0時，an1；當an0時，an10.如果a，則a2 013_.解析由題意可得a11，a2，a31，a4，所以數(shù)列an是周期為2的數(shù)列，所以a 2 013a11.答案1三、解答題4已知等比數(shù)列an滿足2a1a33a2，且a32是a2，a4的等差中項(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnanlog2，Snb1b2bn，求使Sn2n147<0成立的n的最小值解 (1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，依題意，有即由得q23q20，解得q1或q2.當q1時，不合題意，舍去；當q2時，代入得a12，所以an2·2n12n.故所求數(shù)列an的通項公式an2n(nN)(2)bnanlog22nlog22nn.所以Sn212222332nn(222232n)(123n)2n12nn2.因為Sn2n147<0，所以2n12nn22n147<0，即n2n90>0，解得n>9或n<10.因為nN，故使Sn2n147<0成立的正整數(shù)n的最小值為10.