新編全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題30 不等式選講含解析

【走向高考】（全國通用）20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題30 不等式選講（含解析）一、填空題1(20xx·陜西理，15A)設(shè)a，b，m，nR，且a2b25，manb5，則的最小值為_答案解析解法1：在平面直角坐標(biāo)系aob中，由條件知直線manb5與圓a2b25有公共點(diǎn)，的最小值為.解法2：由柯西不等式：·manb，.2若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x5|x3|<a無解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，8解析|x5|x3|5xx3|8，|x5|x3|的最小值為8，要使|x5|x3|<a無解，應(yīng)有a8.3若不等式|x1|x3|a對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案aR|a<0或a2解析因?yàn)閨x1|x3|4，所以由題意可得a4恒成立，因a<0時顯然恒成立；當(dāng)a>0時，由基本不等式可知a4，所以只有a2時成立，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為aR|a<0或a2方法點(diǎn)撥注意區(qū)分a<f(x)有(無)解與a<f(x)恒成立，設(shè)mf(x)M，則a<f(x)有解a<M，a<f(x)恒成立a<m.a<f(x)無解aM.4(20xx·天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)對于任意xR，滿足(a2)x22(a2)x4<0恒成立的所有實(shí)數(shù)a構(gòu)成集合A，使不等式|x4|x3|<a的解集為空集的所有實(shí)數(shù)a構(gòu)成集合B，則A(RB)_.答案(1,2解析求出集合A、B后利用集合運(yùn)算的定義求解對于任意xR，不等式(a2)x22(a2)x4<0恒成立，則a2或解得2<a2，所以集合A(2,2當(dāng)不等式|x4|x3|<a有解時，a>(|x4|x3|)min1，所以解集為空集的所有實(shí)數(shù)a構(gòu)成集合B(，1，則RB(1，)，所以A(RB)(2,2(1，)(1,2二、解答題5(文)(20xx·河北省衡水中學(xué)一模)設(shè)關(guān)于x的不等式lg(|x3|x7|)>a.(1)當(dāng)a1時，解這個不等式；(2)當(dāng)a為何值時，這個不等式的解集為R.解析(1)當(dāng)a1時，原不等式變?yōu)閨x3|x7|>10，當(dāng)x7時，x3x7>10得x>7，當(dāng)3<x<7時，x3x7>10不成立當(dāng)x3時x3x7>10得：x<3所以不等式的解集為x|x<3或x>7(2)|x3|x7|x3(x7)|10對任意xR都成立lg(|x3|x7|)lg101對任何xR都成立，即lg(|x3|x7|)>a.當(dāng)且僅當(dāng)a<1時，對任何xR都成立(理)(20xx·昆明市質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)|x1|2|x1|a.(1)若a1，求不等式f(x)>x2的解集；(2)若不等式f(x)a(x2)的解集為非空集合，求a的取值范圍解析(1)當(dāng)a1，不等式為|x1|2|x1|1>x2，即|x1|2|x1|>x3，不等式等價于，或，或，解得x<1，或1x<0，或x>2，x<0或x>2所求不等式的解集為x|x<0，或x>2(2)由f(x)a(x2)得，|x1|2|x1|aa(x2)，即|x1|2|x1|a(x3)，設(shè)g(x)|x1|2|x1|如圖，kPA，kPDkBC3，故依題意知，a<3，或a.即a的取值范圍為(，3).方法點(diǎn)撥解含絕對值符號的不等式一般用分段討論法：令各絕對值號內(nèi)表達(dá)式為零，解出各分界點(diǎn)，按分界點(diǎn)將實(shí)數(shù)集分段6已知函數(shù)f(x)|x2|2xa|，aR.(1)當(dāng)a3時，解不等式f(x)>0；(2)當(dāng)x(，2)時，f(x)<0，求a的取值范圍解析(1)f(x)當(dāng)x>2時，1x>0，即x<1，此時無解；當(dāng)x2時，53x>0，即x<，解得x<；當(dāng)x<時，x1>0，即x>1，解得1<x<.不等式解集為x|1<x<(2)2x|2xa|<02x<|2xa|x<a2或x>恒成立x(，2)，a22，a4.7(文)(1)若|a|<1，|b|<1，比較|ab|ab|與2的大小，并說明理由；(2)設(shè)m是|a|、|b|和1中最大的一個，當(dāng)|x|>m時，求證：|<2.解析(1)|ab|ab|<2.|a|<1，|b|<1，當(dāng)ab0，ab0時，|ab|ab|(ab)(ab)2a2|a|<2，當(dāng)ab0，ab<0時，|ab|ab|(ab)(ba)2b2|b|<2，當(dāng)ab<0，ab0時，|ab|ab|(ab)(ab)2b2|b|<2，當(dāng)ab<0，ab<0時，|ab|ab|(ab)(ba)2a2|a|<2，綜上知，|ab|ab|<2.(2)m是|a|，|b|與1中最大的一個，m1，又|x|>m，|x|>1，|x|>m|a|，|x2|>1|b|，<1，<1，|<112，原不等式成立(理)已知a和b是任意非零實(shí)數(shù)(1)求證：4；(2)若不等式|ab|ab|a|(|x1|2x|)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍分析(1)含兩個絕對值號，可利用|ab|ab|(ab)±(ab)|放縮(2)變形后為f(x)，運(yùn)用(1)的方法可得的最小值m，則問題轉(zhuǎn)化為解不等式f(x)m.解析(1)|2|2|(2)(2)|4(2)由|ab|ab|a|f(x)得f(x)又因?yàn)?則有2f(x)解不等式2|x1|x2|得x.8(文)(20xx·商丘市二模)已知關(guān)于x的不等式m|x2|1，其解集為0,4(1)求m的值；(2)若a，b均為正實(shí)數(shù)，且滿足abm，求a2b2的最小值解析(1)不等式m|x2|1可化為|x2|m1，1mx2m1，即3mxm1，其解集為0,4，m3.(2)由(1)知ab3，(方法一：利用基本不等式)(ab)2a2b22ab(a2b2)(a2b2)2(a2b2)，a2b2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，a2b2取最小值為.(方法二：利用柯西不等式)(a2b2)·(1212)(a×1b×1)2(ab)29，a2b2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，a2b2取最小值為.(方法三：消元法求二次函數(shù)的最值)ab3，b3a，a2b2a2(3a)22a26a922，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，a2b2取最小值為.(理)(20xx·唐山市二模)設(shè)f(x)|x1|2|x1|的最大值為m.(1)求m；(2)若a，b，c(0，)，a22b2c2m，求abbc的最大值解析(1)當(dāng)x1時，f(x)3x2；當(dāng)1x1時，f(x)13x2；當(dāng)x1時，f(x)x34.故當(dāng)x1時，f(x)取得最大值m2.(2)a22b2c22，abbc(a2b2)(b2c2)1，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立所以abbc的最大值為1.9(文)已知a，b是不相等的正實(shí)數(shù)求證：(a2bab2)(ab2a2b)>9a2b2.解析因?yàn)閍，b是正實(shí)數(shù)，所以a2bab233ab>0(當(dāng)且僅當(dāng)a2bab2，即ab1時，等號成立)，同理，ab2a2b33ab>0(當(dāng)且僅當(dāng)ab2a2b，即ab1時，等號成立)，所以(a2bab2)(ab2a2b)9a2b2(當(dāng)且僅當(dāng)ab1時，等號成立)因?yàn)閍b，所以(a2bab2)(ab2a2b)>9a2b2.(理)(20xx·吉林市二模、甘肅省三診)已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a、b、cR，且m，求證：a2b3c9.解析(1)因?yàn)閒(x2)m|x|，所以f(x2)0等價于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1,1，故m1.(2)解法一：由(1)知1，又a，b，cR，a2b3c(a2b3c)()()29.a2b3c9.解法2：由(1)知，1，a、b、cR，a2b3c(a2b3c)·1(a2b3c)()33()()()32229，等號在a2b3c時成立10(文)(20xx·太原市模擬)已知函數(shù)f(x)|xa|(a>0)(1)當(dāng)a2時，求不等式f(x)>3的解集；(2)證明：f(m)f4.解析(1)當(dāng)a2時，f(x)|x2|，原不等式等價于或或x<或或x>，不等式的解集為x|x<或x>(2)證明：f(m)f|ma|224.(理)(20xx·云南統(tǒng)考)已知a是常數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x，不等式|x1|2x|a|x1|2x|都成立(1)求a的值；(2)設(shè)m>n>0，求證：2m2na.解析(1)設(shè)f(x)|x1|2x|，則f(x)f(x)的最大值為3.對任意實(shí)數(shù)x，|x1|2x|a都成立，即f(x)a，a3.設(shè)h(x)|x1|2x|h(x)的最小值為3.對任意實(shí)數(shù)x，|x1|2x|a都成立，即h(x)a，a3，a3.(2)證明：由(1)知a3，2m2n(mn)(mn)，又m>n>0，(mn)(mn)33，2m2na.