新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性學(xué)案 理 北師大版

1 1第三節(jié)函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性考綱傳真(教師用書獨(dú)具)1.了解函數(shù)奇偶性的含義.2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第13頁(yè))基礎(chǔ)知識(shí)填充1奇函數(shù)、偶函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)在奇函數(shù)f(x)中，f(x)和f(x)的絕對(duì)值相等，符號(hào)相反即f(x)f(x)，反之，滿足f(x)f(x)的函數(shù)一定是奇函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)在偶函數(shù)f(x)中，f(x)f(x)，反之，滿足f(x)f(x)的函數(shù)一定是偶函數(shù)2奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)的區(qū)間上的單調(diào)性相反(填“相同”“相反”)(2)在公共定義域內(nèi)兩個(gè)奇函數(shù)和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)兩個(gè)偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是偶函數(shù)一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)(3)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且x0處有定義，則f(0)0.3函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在非零常數(shù)T，對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期4函數(shù)的對(duì)稱性常見的結(jié)論(1)函數(shù)yf(x)關(guān)于x對(duì)稱f(ax)f(bx)f(x)f(bax)特殊：函數(shù)yf(x)關(guān)于xa對(duì)稱f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)；函數(shù)yf(x)關(guān)于x0對(duì)稱f(x)f(x)(即為偶函數(shù))(2)函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱f(ax)f(ax)2bf(2ax)f(x)2b.特殊：函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱f(ax)f(ax)0f(2ax)f(x)0；函數(shù)yf(x)關(guān)于(0,0)對(duì)稱f(x)f(x)0(即為奇函數(shù))(3)yf(xa)是偶函數(shù)函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對(duì)稱；yf(xa)是奇函數(shù)函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱知識(shí)拓展1函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)若奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，則f(0)0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|)(3)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性(4)yf(xa)是奇函數(shù)，則f(xa)f(xa)；yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)2函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(xa)f(x)，則T2a(a0)(2)若f(xa)，則T2a(a0)(3)若f(xa)，則T2a(a0)基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)yx2，x(0，)是偶函數(shù)()(2)偶函數(shù)圖像不一定過(guò)原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖像一定過(guò)原點(diǎn)()(3)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對(duì)稱()(4)若函數(shù)yf(xb)是奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱()(5)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù)()答案(1)×(2)×(3)(4)(5)2已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是()AB.C.DB依題意b0，且2a(a1)，b0且a，則ab.3(教材改編)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()Af(x)x1Bf(x)x2xCf(x)2x2xDf(x)2x2xDD中，f(x)2x2xf(x)，f(x)為偶函數(shù)4已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，則f(8)的值為()A1B0C1D2Bf(x)為定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0，又f(x4)f(x)，f(8)f(0)0.5(20xx·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)2x3x2，則f(2)_.12法一：令x0，則x0.f(x)2x3x2.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x)f(x)f(x)2x3x2(x0)f(2)2×232212.法二：f(2)f(2)2×(2)3(2)212.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第14頁(yè))函數(shù)奇偶性的判斷判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)ln(x)；(3)f(x)(x1)；(4)f(x)解(1)由得x±1，f(x)的定義域?yàn)?,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，f(x)±f(x)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(2)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)(lnx)lnln(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)(3)由0可得函數(shù)的定義域?yàn)?1,1函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)(4)易知函數(shù)的定義域?yàn)?，0)(0，)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2x，則當(dāng)x0時(shí)，x0，故f(x)x2xf(x)；當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2x，則當(dāng)x0時(shí)，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)規(guī)律方法判斷函數(shù)奇偶性的三種常用方法(1)定義法(2)圖像法(3)性質(zhì)法在公共定義域內(nèi)有：奇±奇奇，偶±偶偶，奇×奇偶，偶×偶偶，奇×偶奇跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx·深圳二調(diào))下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,1)上單調(diào)遞增的是()Aycos xByCy2|x|Dy|lg x|(2)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()Af(x)g(x)是偶函數(shù)B|f(x)|g(x)是奇函數(shù)Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù)D|f(x)g(x)|是奇函數(shù)(1)C(2)C(1)由于對(duì)應(yīng)函數(shù)是偶函數(shù)，可以排除選項(xiàng)B，D；對(duì)應(yīng)函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，可以排除選項(xiàng)A；y2|x|是偶函數(shù)，又在(0,1)上單調(diào)遞增，選項(xiàng)C正確，故選C.(2)A：令h(x)f(x)·g(x)，則h(x)f(x)·g(x)f(x)·g(x)h(x)，h(x)是奇函數(shù)，A錯(cuò)B：令h(x)|f(x)|g(x)，則h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|·g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函數(shù)，B錯(cuò)C：令h(x)f(x)|g(x)|，則h(x)f(x)|g(x)|f(x)·|g(x)|h(x)，h(x)是奇函數(shù)，C正確D：令h(x)|f(x)·g(x)|，則h(x)|f(x)·g(x)|f(x)·g(x)|f(x)·g(x)|h(x)，h(x)是偶函數(shù)，D錯(cuò)函數(shù)的周期性(1)若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)4x，則ff(2)_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140031】(2)已知定義在R上的函數(shù)滿足f(x2)，x(0,2時(shí)，f(x)2x1.則f(1)f(2)f(3)f(2 019)的值為_(1)2(2)1 347(1)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，fff42，f(2)f(0)0，ff(2)202.(2)f(x2)，f(x4)f(x)，函數(shù)yf(x)的周期T4.又x(0,2時(shí)，f(x)2x1，f(1)1，f(2)3，f(3)1，f(4).f(1)f(2)f(3)f(2 019)504f(1)f(2)f(3)f(4)f(504×41)f(504×42)f(504×43)5041311 347. 規(guī)律方法(1)判斷函數(shù)的周期只需證明f(xT)f(x)(T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題.,(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的周期.跟蹤訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)x(0,1時(shí)，f(x)lg(x1)，則flg 18_.1由函數(shù)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，得fffflglg，故flg 18lglg 18lg 101.函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用角度1單調(diào)性與奇偶性結(jié)合(20xx·全國(guó)卷)函數(shù)f(x)在(，)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)若f(1)1，則滿足1f(x2)1的x的取值范圍是()A2,2B1,1C0,4D1,3Df(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)單調(diào)遞減，1x21，1x3.故選D.角度2奇偶性與周期性結(jié)合(20xx·山東高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x4)f(x2)若當(dāng)x3,0時(shí)，f(x)6x，則f(919)_.6f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期為6的周期函數(shù)，f(919)f(153×61)f(1)又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(1)f(1)6，即f(919)6.角度3單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合(1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)(2)已知定義在實(shí)數(shù)上的偶函數(shù)f(x)滿足：f(x4)f(x)f(2)，當(dāng)x0,2時(shí)，yf(x)遞減，下列四個(gè)命題中正確命題的序號(hào)是_f(2)0；x4是yf(x)圖像的一條對(duì)稱軸；yf(x)在8,10單增；f(x)是周期函數(shù)；若方程f(x)m在6，2上有兩根x1，x2，則x1x28.(1)D(2)(1)因?yàn)閒(x)滿足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因?yàn)閒(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2,2上是增函數(shù)，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)(2)令x2得f(24)f(2)f(2)，解得f(2)0，故f(x4)f(x)，所以f(x)的周期為4，又f(x)為偶函數(shù)，y軸是f(x)的對(duì)稱軸，故x4是yf(x)的一條對(duì)稱軸，由函數(shù)的對(duì)稱性和周期可判斷yf(x)在8,10上單調(diào)遞增，因6，2為f(x)的一個(gè)周期，x4為f(x)在6，2上的對(duì)稱軸，故x1x28，因此正確，錯(cuò)誤規(guī)律方法函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問(wèn)題的常見類型及解題方法(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性.(2)周期性與奇偶性結(jié)合.此類問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.)跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx·天津高考)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)若af，bf(log2 4.1)，cf(20.8)，則a，b，c的大小關(guān)系為()Aa<b<cBb<a<cCc<b<aDc<a<b(2)(20xx·青島質(zhì)檢)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2x)f(2x)，且f(1)1，則f(2 017)_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140032】A0B1C1D2(3)偶函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線x2對(duì)稱，f(3)3，則f(1)_.(1)C(2)B(3)3(1)f(x)在R上是奇函數(shù)，afff(log25)又f(x)在R上是增函數(shù)，且log25>log24.1>log242>20.8，f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，a>b>c.故選C.(2)由題意得f(x4)f(2(x2)f(x)f(x)，f(x8)f(x4)f(x)，函數(shù)f(x)以8為周期，f(2 017)f(1)1，故選B.(3)函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線x2對(duì)稱，f(2x)f(2x)，f(3)f(1)3，又yf(x)是偶函數(shù)，f(1)f(1)3.