2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題20 數(shù)列求和 理.doc

專題20 數(shù)列求和一、 考綱要求： 1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)：(1.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an bncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和(2)通項(xiàng)公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和 2.錯(cuò)位相減法求和的適用范圍如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和.3.錯(cuò)位相減法求和的注意事項(xiàng)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式.在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.三、高考考題題例分析： 例1.（2018天津卷） 設(shè)an是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Sn（nN*），bn是等差數(shù)列已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6（）求an和bn的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為Tn（nN*），（i）求Tn；（ii）證明=2（nN*）【答案】（），bn=n； （）（i）Tn=2n+1-n-2【解析】：（）解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2q2=0q0，可得q=2故設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，b1=d=1故bn=n；例2.（2018江蘇卷）已知集合A=x|x=2n1，nN*，B=x|x=2n，nN*將AB的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an，記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則使得Sn12an+1成立的n的最小值為【答案】27【解析】：利用列舉法可得：S26=，a27=43，12a27=516，不符合題意S27=546，28=451228=540，符合題意，故答案為：27例3.【2017課標(biāo)1，理12】幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A440B330C220D110【答案】A例4.【2015高考新課標(biāo)2，理16】設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則_【答案】【解析】：由已知得，兩邊同時(shí)除以，得，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以例5.【2015高考山東，理18】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知.（I）求的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.【答案】（I）; （II）.（II）因?yàn)?，所以 當(dāng) 時(shí)， 所以 當(dāng) 時(shí)， 所以兩式相減，得經(jīng)檢驗(yàn)， 時(shí)也適合，綜上可得： 例6.(2017全國(guó)卷)設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】(1) an. (2) Sn例7.(2017山東高考)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a26，a1a2a3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)bn為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S2n1bnbn1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.【答案】(1) an2n. (2) Tn5.【解析】：(1)設(shè)an的公比為q，由題意知a1(1q)6，aqa1q2，又an>0，由以上兩式聯(lián)立方程組解得a12，q2，所以an2n.(2)由題意知S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，則cn.因此Tnc1c2cn，又Tn，兩式相減得Tn，所以Tn5.例8.(2016北京高考)已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和【答案】(1) an2n1(n1,2,3，) (2) n2.(2)由(1)知an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.從而數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn13(2n1)133n1n2.數(shù)列求和練習(xí)一、選擇題 1已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S39，S525，則S7 ()A41B48C49 D56【答案】C2數(shù)列12n1的前n項(xiàng)和為 ()A12n B22nCn2n1 Dn22n【答案】C【解析】：由題意得an12n1，所以Snnn2n13數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(1)n(2n1)，則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為 ()A200 B100C200 D100【答案】D【解析】：根據(jù)題意有S1001357911197199250100，故選D4數(shù)列1，3，5，7，(2n1)，的前n項(xiàng)和Sn的值等于 ()An21B2n2n1Cn21Dn2n1【答案】A【解析】：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an(2n1)，則Sn135(2n1)n21.5數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an，則S5等于 ()A1BCD【答案】B【解析】：an，S5a1a2a51.6數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an，前n項(xiàng)和為9，則n等于 ()A9B99C10D100【答案】B7已知數(shù)列an中，an4n5，等比數(shù)列bn的公比q滿足qanan1(n2)且b1a2，則|b1|b2|b3|bn| ()A14n B4n1C D【答案】B【解析】：由已知得b1a23，q4，bn(3)(4)n1，|bn|34n1，即|bn|是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列|b1|b2|bn|4n18在數(shù)列an中，an1an2，Sn為an的前n項(xiàng)和若S1050，則數(shù)列anan1的前10項(xiàng)和為 ()A100B110 C120D130【答案】C【解析】：anan1的前10項(xiàng)和為a1a2a2a3a10a112(a1a2a10)a11a12S10102120.故選C9數(shù)學(xué)文化中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了 () A192里B96里 C48里D24里【答案】B【解析】：由題意，知每天所走路程形成以a1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則378，解得a1192，則a296，即第二天走了96里故選B.10已知數(shù)列5,6,1，5，該數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前16項(xiàng)之和S16等于 ()A5B6 C7D16【答案】C11已知函數(shù)f(x)xa的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，令an，nN*，記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 019 ()A1B1C1D1【答案】C【解析】：由f(4)2得4a2，解得a，則f(x)x.an，S2 019a1a2a3a2 019()()()()1.12已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，且f(x)在(1，)上單調(diào)，若數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)f(a51)，則an的前100項(xiàng)的和為 ()A200B100C0D50【答案】B【解析】：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，又函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)，數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)f(a51)，所以a50a512，所以S10050(a50a51)100，故選B. 二、填空題13設(shè)數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn，且ansin，nN*，則S2 018_.【答案】1【解析】：ansin，nN*，顯然每連續(xù)四項(xiàng)的和為0.S2 018S4504a2 017a2 0180101.14計(jì)算：321422523(n2)2n_.【答案】415(2017全國(guó)卷)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a33，S410，則_.【答案】【解析】：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由得Snn11，2. 22.16已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2an2n，則Sn_. 【答案】n2n(nN*)三、解答題17已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Snn22n，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【答案】(1) an2n1 (2) 【解析】：(1)當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n1，a1S13也滿足an2n1，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由(1)知，則Tn.18.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，S3S4S5.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn(1)n1an，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2n.【答案】(1) an1(n1)22n1 (2) T2n2n.19.已知等差數(shù)列an中，2a2a3a520，且前10項(xiàng)和S10100.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和. 【答案】(1) an2n1 (2) 【解析】：(1)由已知得解得所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an12(n1)2n1.(2)bn，所以Tn.20已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，數(shù)列bn滿足bnanan1(nN*)(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)若cn2an(bn1)(nN*)，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.【答案】(1) bn2n1 (2) Tn(n1)2n24.21.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm14，Sm0，Sm214(m2，且mN*). (1)求m的值；(2)若數(shù)列bn滿足log2bn(nN*)，求數(shù)列(an6)bn的前n項(xiàng)和【答案】(1) m5 (2) Tn(n1)2n1(nN*)【解析】：(1)由已知得amSmSm14，且am1am2Sm2Sm14，設(shè)數(shù)列an的公差為d，則2am3d14，d2.由Sm0，得ma120，即a11m，ama1(m1)2m14，m5.(2)由(1)知a14，d2，an2n6，n3log2bn，得bn2n3.(an6)bn2n2n3n2n2.設(shè)數(shù)列(an6)bn的前n項(xiàng)和為Tn，Tn121220(n1)2n3n2n2，2Tn120221(n1)2n2n2n1，得Tn21202n2n2n1n2n12n1n2n1，Tn(n1)2n1(nN*)22設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a13，an12Sn3(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn(2n1)an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.【答案】(1) an3n. (2) Tn(n1)3n13.(2)法一：由(1)得bn(2n1)an(2n1)3n，Tn13332533(2n1)3n，3Tn132333534(2n1)3n1，得2Tn1323223323n(2n1)3n132(32333n)(2n1)3n132(2n1)3n16(2n2)3n1.Tn(n1)3n13.