2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例講義（含解析）新人教A版選修4-5.doc

二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例1利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在不等關(guān)系的證明中，方法多種多樣，其中數(shù)學(xué)歸納法是常用的方法之一在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，由nk成立，推導(dǎo)nk1成立時(shí)，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行2歸納猜想證明的思想方法 數(shù)學(xué)歸納法作為一種重要的證明方法，常常體現(xiàn)在“歸納猜想證明”這一基本思想方法中一方面可用數(shù)學(xué)歸納法證明已有的與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論；更重要的是，要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論、規(guī)律并用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，形成“觀察歸納猜想證明”的思想方法利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例1證明不等式12(nN)思路點(diǎn)撥證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時(shí)不等式成立，即12，則當(dāng)nk1時(shí)，左邊12，現(xiàn)在只需證明2成立，即證22k1成立，兩邊平方并整理，得01，顯然成立，所以2成立即12成立所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立由(1)(2)可知，對(duì)于任意正整數(shù)n，原不等式都成立數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧(1)證明不等式時(shí)，由nk到nk1時(shí)的推證過程與證明等式有所不同，由于不等式中的不等關(guān)系，需要我們?cè)谧C明時(shí)，對(duì)原式進(jìn)行“放大”或者“縮小”才能使用到nk時(shí)的假設(shè)，所以需要認(rèn)真分析，適當(dāng)放縮，才能使問題簡單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常用的方法之一(2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成證明過程1設(shè)Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)n2時(shí)，比較S2n與的大小，并予以證明解：由S221，S231S22，猜想：S2n(n2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)當(dāng)n2時(shí)，上面已證不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k2)時(shí)，有S2k，則當(dāng)nk1時(shí)，S2k1S2k，即當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立結(jié)合(1)(2)可知，S2n(n2，nN)成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明：1<2(n2，nN)證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，1<2，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時(shí)不等式成立，即1<2，當(dāng)nk1時(shí)，1<2<222，所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立由(1)(2)知原不等式在n2，nN時(shí)均成立3設(shè)Pn(1x)n，Qn1nxx2，nN，x(1，)，試比較Pn與Qn的大小，并加以證明解：(1)當(dāng)n1,2時(shí)，PnQn.(2)當(dāng)n3時(shí)，(以下再對(duì)x進(jìn)行分類)若x(0，)，顯然有Pn>Qn.若x0，則PnQn.若x(1,0)，則P3Q3x3<0，所以P3<Q3.P4Q44x3x4x3(4x)<0，所以P4<Q4.假設(shè)Pk<Qk(k3)，則Pk1(1x)Pk<(1x)QkQkxQk1kxxkx21(k1)xx2x3Qk1x3<Qk1，即當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立所以當(dāng)n3，且x(1,0)時(shí)，Pn<Qn.歸納猜想證明例2設(shè)a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN.(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論解(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN)(2)證明：易知，n1時(shí)，猜想正確假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)猜想正確，即ak，則ak1f(ak).這說明，nk1時(shí)猜想正確由知，對(duì)于任何nN，都有an.利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是：觀察歸納猜想證明即先通過觀察部分項(xiàng)的特點(diǎn)進(jìn)行歸納，判斷并猜想出一般結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明4在數(shù)列an、bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nN)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值，由此猜測(cè)an，bn的通項(xiàng)公式；(2)證明你的結(jié)論解：(1)由條件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜測(cè)ann(n1)，bn(n1)2.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，由上知結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，結(jié)論成立即akk(k1)，bk(k1)2，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)bk1(k2)2.所以當(dāng)nk1時(shí)， 結(jié)論也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立5判斷是否存在一組常數(shù)a，b，c使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)對(duì)于一切nN都成立，若存在，求出a，b，c的一組值并證明；若不存在，試說明理由解：假設(shè)存在a，b，c使122232n2(n1)22212an(bn2c)，對(duì)于一切nN都成立當(dāng)n1時(shí)，a(bc)1；當(dāng)n2時(shí)，2a(4bc)6；當(dāng)n3時(shí)，3a(9bc)19.由方程組可解得證明如下：當(dāng)n1時(shí)，由以上知存在常數(shù)a，b，c使等式成立假設(shè)nk(kN)時(shí)等式成立，即122232k2(k1)22212k(2k21)；當(dāng)nk1時(shí)，122232k2(k1)2k2(k1)22212k(2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21即nk1時(shí)，等式成立因此存在a，b2，c1使等式對(duì)一切nN都成立1下列四個(gè)判斷中，正確的是()A式子1kk2kn(nN)，當(dāng)n1時(shí)恒為1B式子1kk2kn1(nN)，當(dāng)n1時(shí)恒為1kC式子1(nN)，當(dāng)n1時(shí)恒為1D設(shè)f(n)(nN)，則f(k1)f(k)解析：選C選項(xiàng)A中，n1時(shí)，式子應(yīng)為1k；選項(xiàng)B中，n1時(shí)，式子應(yīng)為1；選項(xiàng)D中，f(k1)f(k).2用數(shù)學(xué)歸納法證明“2nn21對(duì)于nn0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2B3C5 D6解析：選C令n0分別取2,3,4,5,6，依次驗(yàn)證即得3某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，若nk(kN)時(shí)該命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時(shí)該命題也成立現(xiàn)已知當(dāng)n5時(shí)該命題不成立，那么可推得()A當(dāng)n6時(shí)該命題不成立B當(dāng)n6時(shí)該命題成立C當(dāng)n4時(shí)該命題不成立D當(dāng)n4時(shí)該命題成立解析：選C如果n4時(shí)命題成立，那么由題設(shè)，n5時(shí)命題也成立上面的判斷作為一個(gè)命題，那么它的逆否命題是如果n5時(shí)命題不成立，那么n4時(shí)命題也不成立原命題成立，它的逆否命題一定成立4設(shè)n為正整數(shù)，f(n)1，計(jì)算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，觀察上述記錄，可推測(cè)出一般結(jié)論()Af(2n) Bf(n2)Cf(2n) D以上都不對(duì)解析：選Cf(2)，f(4)f(22)2，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32)f(25)，所以f(2n).5證明<1<n1(n>1)，當(dāng)n2時(shí)，要證明的式子為_解析：當(dāng)n2時(shí)，要證明的式子為2<1<3.答案：2<1<36用數(shù)學(xué)歸納法證明.假設(shè)nk時(shí)不等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_解析：假設(shè)nk時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，左邊，下面只需證明即可答案：7已知f(n)1(nN)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>時(shí)，f(2k1)f(2k)_.解析：f(2k1)1，f(2k)1，所以f(2k1)f(2k).答案：8用數(shù)學(xué)歸納法證明，對(duì)任意nN，有(12n)n2.證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊右邊，不等式成立當(dāng)n2時(shí)，左邊(12)>22，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2)時(shí)不等式成立，即(12k)k2.則當(dāng)nk1時(shí)，有左邊(12k)(k1)(12k)(12k)(k1)1k21(k1).當(dāng)k2時(shí)，11，(*)左邊k21(k1)k22k1(k1)2.這就是說當(dāng)nk1時(shí)，不等成立由(1)(2)可知當(dāng)n1時(shí)，不等式成立9已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn1，且an0，nN.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通項(xiàng)公式；(2)證明通項(xiàng)公式的正確性解：(1)當(dāng)n1時(shí)，由已知得a11，即a2a120.a11(a10)當(dāng)n2時(shí)，由已知得a1a21，將a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN)(2)證明：由(1)知，當(dāng)n1時(shí)，通項(xiàng)公式成立假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)，通項(xiàng)公式成立，即ak.由于ak1Sk1Sk，將ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1時(shí)通項(xiàng)公式成立由可知對(duì)所有nN，an都成立10設(shè)數(shù)列an滿足an1anan1，n1,2,3.(1)當(dāng)a12時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個(gè)通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)a3時(shí)，證明對(duì)所有的n1，有ann2.解：(1)由a12，得a2aa113，由a23，得a3a2a214，由a34，得a4a3a315.由此猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式：ann1(n1)(2)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1，a1312，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)不等式成立，即akk2，那么，當(dāng)nk1時(shí)ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是說，當(dāng)nk1時(shí)，ak1(k1)2.根據(jù)和，對(duì)于所有n1，有ann2.