2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 四 漸開線與擺線講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc

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四 漸開線與擺線 1．漸開線的產(chǎn)生過程 把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切而逐漸展開，那么鉛筆畫出的曲線就是圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做基圓． 2．?dāng)[線的概念及產(chǎn)生過程 圓的擺線就是一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時圓周上一個定點的軌跡，圓的擺線又叫旋輪線． 3．圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程 (1)圓的漸開線方程：(φ為參數(shù)) (2)擺線的參數(shù)方程：(φ為參數(shù))． 圓的漸開線的參數(shù)方程 [例1]　求半徑為4的圓的漸開線的參數(shù)方程． [思路點撥]　關(guān)鍵根據(jù)漸開線的生成過程，歸結(jié)到向量知識和三角的有關(guān)知識建立等式關(guān)系． [解]　以圓心為原點O，繩端點的初始位置為M0，向量的方向為x軸正方向，建立坐標(biāo)系，設(shè)漸開線上的任意點M(x，y)，繩拉直時和圓的切點為A，故OA⊥AM，按漸開線定義，弧的長和線段AM的長相等，記和x軸正向所夾的角為θ(以弧度為單位)，則|AM|＝＝4θ. 作AB垂直于x軸，過M點作AB的垂線，由三角函數(shù)和向量知識，得 ＝(4cos θ，4sin θ)． 由幾何知識知∠MAB＝θ，＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 所以＝＋ ＝(4cos θ＋4θsin θ， 4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)， 4(sin θ－θcos θ))． 又＝(x，y)， 因此有 這就是所求圓的漸開線的參數(shù)方程． 圓的漸開線的參數(shù)方程中，字母r表示基圓的半徑，字母φ是指繩子外端運動時繩子上的定點M相對于圓心的張角；另外，漸開線的參數(shù)方程不宜化為普通方程． 1．已知圓的漸開線的參數(shù)方程(φ為參數(shù))，則此漸開線對應(yīng)基圓的半徑是________． 解析：圓的漸開線的參數(shù)方程可化為(φ為參數(shù))，圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑r＝3. 答案：3 2．已知圓的直徑為2，其漸開線的標(biāo)準參數(shù)方程對應(yīng)的曲線上的兩點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別是和，求A，B兩點的距離． 解：根據(jù)條件可知圓的半徑是1，所以對應(yīng)的漸開線參數(shù)方程是(φ為參數(shù))， 分別把φ＝和φ＝代入，可得A，B兩點的坐標(biāo)分別為A，B. 那么，根據(jù)兩點之間的距離公式可得A，B兩點的距離為 |AB|＝ ＝ . 即A，B兩點之間的距離為 . 圓的擺線的參數(shù)方程 [例2]　求半徑為2的圓的擺線的參數(shù)方程．(如圖所示，開始時定點M在原點O處，取圓滾動時轉(zhuǎn)過的角度α(以弧度為單位)為參數(shù))． [思路點撥]　利用向量知識和三角函數(shù)的有關(guān)知識求解． [解]　當(dāng)圓滾過α角時，圓心為點B，圓與x軸的切點為A，定點M的位置如圖所示，∠ABM＝α. 由于圓在滾動時不滑動，因此線段OA的長和圓弧的長相等，它們的長都等于2α，從而B點坐標(biāo)為(2α，2)， 向量＝(2α，2)，向量＝(2sin α，2cos α)， ＝(－2sin α，－2cos α)， 因此＝＋ ＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 又動點M的坐標(biāo)為(x，y)，向量＝(x，y) 所以 這就是所求擺線的參數(shù)方程． (1)圓的擺線的實質(zhì)是一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時圓周上一個定點的軌跡． (2)根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過程，可知其中的字母r是指定圓的半徑，參數(shù)φ是指圓上定點相對于某一定點運動所張開的角度大?。? 3．?dāng)[線(0≤t≤2π)與直線y＝2的交點的直角坐標(biāo)是________． 答案：(π－2,2)，(3π＋2,2) 4．圓的半徑為r，沿x軸正向滾動，圓與x軸相切于原點O.圓上點M起始處沿順時針已偏轉(zhuǎn)φ角．試求點M的軌跡方程． 解：如圖所示，作MA⊥x軸于點A，作CB⊥MA于點B，則xM＝rφ－rcos＝r(φ－sin φ)，yM＝r＋rsin＝r(1－cos φ)．即點M的軌跡方程為 一、選擇題 1．半徑為3的圓的擺線上某點的縱坐標(biāo)為0，那么其橫坐標(biāo)可能是(　　) A．π　　　　　　　　　 B．2π C．12π D．14π 解析：選C　根據(jù)條件可知，圓的擺線方程為 (φ為參數(shù))，把y＝0代入， 得φ＝2kπ(k∈Z)，此時x＝6kπ(k∈Z)． 2．給出下列說法： ①圓的漸開線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程； ②圓的漸開線也可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標(biāo)之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問題； ③在求圓的擺線和漸開線方程時，如果建立的坐標(biāo)系原點和坐標(biāo)軸選取不同，可能會得到不同的參數(shù)方程； ④圓的漸開線和x軸一定有交點而且是唯一的交點． 其中正確的說法有(　　) A．①③ B．②④ C．②③ D．①③④ 解析：選C　對于一個圓，只要半徑確定，漸開線和擺線的形狀就是確定的，但是隨著選擇體系的不同，其在坐標(biāo)系中的位置也會不同，相應(yīng)的參數(shù)方程也會有所區(qū)別，至于漸開線和坐標(biāo)軸的交點要看選取的坐標(biāo)系的位置． 3．已知一個圓的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，那么圓的擺線方程中參數(shù)取對應(yīng)的點A與點B之間的距離為(　　) A.－1 B. C. D. 解析：選C　根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑為3，那么它的擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，把φ＝代入?yún)?shù)方程中可得 即A， ∴|AB|＝ ＝. 4．如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，曲線AEFGH…叫做“正方形的漸開線”，其中AE，EF，F(xiàn)G，GH…的圓心依次按B，C，D，A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線AEFGH長是(　　) A．3π　　　　　　 B．4π C．5π D．6π 解析：選C　根據(jù)漸開線的定義可知，是半徑為1的圓周長，長度為，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得是半徑為2的圓周長，長度為π；是半徑為3的圓周長，長度為；是半徑為4的圓周長，長度為2π，所以曲線AEFGH的長是5π. 二、填空題 5．我們知道關(guān)于直線y＝x對稱的兩個函數(shù)互為反函數(shù)，則圓的擺線(φ為參數(shù))關(guān)于直線y＝x對稱的曲線的參數(shù)方程為________． 解析：關(guān)于直線y＝x對稱的函數(shù)互為反函數(shù)，而求反函數(shù)的過程主要體現(xiàn)了x與y的互換，所以要寫出擺線方程關(guān)于y＝x對稱的曲線方程，只需把其中的x，y互換． 答案：(φ為參數(shù)) 6．已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，則此漸開線對應(yīng)的基圓的直徑是__________，當(dāng)參數(shù)φ＝時對應(yīng)的曲線上的點的坐標(biāo)為__________． 解析：圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，故直徑為2.求當(dāng)φ＝時對應(yīng)的坐標(biāo)只需把φ＝代入曲線的參數(shù)方程，得x＝＋，y＝－，由此可得對應(yīng)的坐標(biāo)為.　 答案：2　 7．已知一個圓的擺線過點(1,0)，則擺線的參數(shù)方程為______________． 解析：圓的擺線的參數(shù)方程為 令r(1－cos φ)＝0，得φ＝2kπ，代入x＝r(φ－sin φ)，得x＝r(2kπ－sin 2kπ)，又過(1,0)，∴r(2kπ－sin 2kπ)＝1，∴r＝.又r＞0，∴k∈N＋. 答案：(φ為參數(shù)，k∈N＋) 三、解答題 8．有一個半徑是2a的輪子沿著直線軌道滾動，在輪輻上有一點M，與輪子中心的距離是a，求點M的軌跡方程． 解：設(shè)輪子中心為O，則OM＝a.點M的軌跡即是以O(shè)為圓心，a為半徑的基圓的擺線．由參數(shù)方程知點M的軌跡方程為 9．已知一個圓的擺線方程是(φ為參數(shù))，求該圓的面積和對應(yīng)的圓的漸開線的參數(shù)方程． 解：根據(jù)擺線的參數(shù)方程可知圓的半徑為4，所以面積是16π，該圓對應(yīng)的漸開線參數(shù)方程是 (φ為參數(shù)) 10．已知一個圓的擺線過一定點(2,0)，請寫出該圓的半徑最大時該擺線的參數(shù)方程以及對應(yīng)的圓的漸開線的參數(shù)方程． 解：令y＝0，可得a(1－cos φ)＝0， 由于a＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)． 代入x＝a(φ－sin φ)，得x＝a(2kπ－sin 2kπ)(k∈Z)． 又因為x＝2，所以a(2kπ－sin 2kπ)＝2(k∈Z)， 即得a＝(k∈Z)． 又由實際可知a＞0，所以a＝(k∈N＋)． 易知，當(dāng)k＝1時，a取最大值為. 代入即可得圓的擺線的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)) 圓的漸開線的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))