--4平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 質(zhì)量檢測
第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入(自我評估、考場亮劍,收獲成功后進(jìn)入下一章學(xué)習(xí)!)(時(shí)間120分鐘,滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1(2009·天津高考)i是虛數(shù)單位,()A12iB12iC12i D12i解析:12i.答案:D2已知向量a(5,6),b(6,5),則a與b ()A垂直 B不垂直也不平行C平行且同向 D平行且反向解析:已知向量a(5,6),b(6,5),a·b30300,則a與b垂直答案:A3(2010·利辛模擬)已知向量a(2,3),b(1,2),若(mab)(a2b),則實(shí)數(shù)m( )A. B C. D.解析:mabm(2,3)(1,2)(2m1,3m2),a2b(2,3)2(1,2)(4,1)(mab)(a2b)12m(3m2)×4.m.答案:B4如圖,已知a,b,3,用a,b表示,則等于 ()Aab B.abC.ab D.ab解析:()ab.答案:B5若在ABC中,|3,|5,|4,則|5| ()A4 B2 C2 D.解析:根據(jù)三邊邊長易知ABC為直角三角形cos,.|5|225|2|210|·|cos,160.|5|4.答案:A6(2010·鞍山模擬)已知復(fù)數(shù)z1i,則等于 ()A2i B2i C2 D2解析:2i.答案:A7已知命題:“若k1ak2b0,則k1k20”是真命題,則下面對a,b的判斷正確的是 ()Aa與b一定共線 Ba與b一定不共線Ca與b一定垂直 Da與b中至少有一個(gè)為0解析:假設(shè)a與b共線,由已知得k1ak2b,如果a、b均為非零向量,與已知條件矛盾如果a、b中至少有一個(gè)非零向量,明顯的與已知矛盾,排除A、D.把k1ak2b0兩邊平方得a2b22k1k2a·b0,因?yàn)閗1k20,所以a·b不一定等于0,排除C.答案:B8若平面向量a(1,2)與b的夾角是180°,且|b|3,則b的坐標(biāo)為 ()A(3,6) B(3,6)C(6,3) D(6,3)解析:由題意設(shè)ba(1,2)由|b|3得29.±3.因?yàn)閍與b的夾角是180°.所以3.答案:A9(2010·黃岡模擬)已知A、B、C是銳角ABC的三個(gè)內(nèi)角,向量p(1sinA,1cosA),q(1sinB,1cosB),則p與q的夾角是 ()A銳角 B鈍角 C直角 D不確定解析:銳角ABC中,sinAcosB0,sinBcosA0,故有p·q(1sinA)(1sinB)(1cosA)(1cosB)0,同時(shí)易知p與q方向不相同,故p與q的夾角是銳角答案:A10已知非零向量,和滿足·0,且·,則ABC為 ()A等邊三角形 B等腰非直角三角形C非等腰三角形 D等腰直角三角形解析:、均為單位向量由·0,得| |.由·1×1×cosC,得C45°.故三角形為等腰直角三角形答案:D11如圖,AB是半圓O的直徑,C,D是弧AB的三等分點(diǎn),M,N是線段AB的三等分點(diǎn),若OA6,則·的值為 ()A13 B26 C18 D36解析:·()·()····6×6cos60°6×2cos120°6×2cos120°2×2cos180°26.答案:B12設(shè)a(a1,a2),b(b1,b2)定義一種向量積:ab(a1,a2) (b1,b2)(a1b1,a2b2)已知m,n,點(diǎn)P(x,y)在ysinx的圖象上運(yùn)動(dòng) ,點(diǎn)Q在yf(x)的圖象上運(yùn)動(dòng),滿足mn(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則yf(x)的最大值A(chǔ)及最小正周期T分別為 ()A2, B2,4 C.,4 D.,解析:設(shè)Q(x0,y0),(x0,y0),(x,y),mn,(x0,y0)(x,y),代入ysinx中得,2y0sin,所以最大值為,周期為4.答案:C二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分將答案填寫在題中的橫線上)13已知復(fù)數(shù)z1m2i,z234i,若為實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)m_.解析:是實(shí)數(shù),64m0,故m.答案:14(文)若向量a(12,23)與b(4,1)共線,則_.解析:依題意得4(23)(12)0,由此解得.答案:(理)已知a(3,2),b(1,2),(ab)b,則實(shí)數(shù)_.解析:(ab)b,(ab)·ba·bb2150,.答案:15已知平面向量a,b,c滿足abc0,且a與b的夾角為135°,c與b的夾角為120°,|c|2,則|a|_.解析:根據(jù)已知條件,組成以|a|,|b|,|c|為邊長的三角形,由正弦定理得,又|c|2,所以|a|.答案:16在直角坐標(biāo)系xOy中,i、j分別是與x軸,y軸平行的單位向量,若直角三角形ABC中,ij,2imj,則實(shí)數(shù)m_.解析:本題考查了向量的運(yùn)算由已知可得i(m1)j.當(dāng)A90°時(shí),·(ij)·(2imj)2m0,m2.當(dāng)B90°時(shí),·(ij)·i(m1)·j(1m1)m0,m0.當(dāng)C90°時(shí),·(2imj)·i(m1)j2m(m1)m2m20,此時(shí)m不存在故m0或2.答案:0或2三、解答題(本大題共6小題,共74分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足:|z|13iz,化簡解:設(shè)zabi(a,bR),而|z|13iz,即13iabi0,則,z43i.34i.18(本小題滿分12分)如圖,在平行四邊形ABCD中,M,N分別為DC,BC的中點(diǎn),已知c,d,試用c,d表示,.解:法一:設(shè)a,b,則ad(b), bc(a), 將代入得ad()c(a)adc,代入得bc()(dc)cd.故dc,cd.法二:設(shè)a,b.所以b,a,因而,即(2dc),(2cd)19(本小題滿分12分)已知向量a(cos(),sin(),b(cos(),sin()(1)求證:ab;(2)若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t,使xa(t23)b,ykatb,滿足xy,試求此時(shí)的最小值解:(1)證明:a·bcos()·cos()sin()·sin()sincossincos0.ab.(2)由xy得:x·y0,即a(t23)b·(katb)0,ka2(t33t)b2tk(t23)a·b0,k|a|2(t33t)|b|20.又|a|21,|b|21,kt33t0,kt33t.t2t3(t)2.故當(dāng)t時(shí),有最小值.20(本小題滿分12分)在ABC中,角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c,已知向量m(1,2sinA),n(sinA,1cosA),且滿足mn,bca.(1)求角A的大??;(2)求sin的值解:(1)mn,1cosA2sin2A,即2cos2AcosA10,解得cosA1(舍去),cosA.又0A,A.(2)bca,由正弦定理可得sinBsinCsinA.又C(AB)B,sinBsin,即sinBcosB,sin.21(本小題滿分12分)已知向量a(cosx,sinx),b(cosx,cosx),c(1,0)(1)若x,求向量a,c的夾角;(2)當(dāng)x,時(shí),求函數(shù)f(x)2a·b1的最大值解:(1)設(shè)a,c的夾角為,當(dāng)x時(shí),cosa,ccosxcoscos.0a,c,a,c.(2)f(x)2a·b12(cos2xsinxcosx)12sinxcosx(2cos2x1)sin2xcos2xsin(2x)x,2x,2,sin(2x)1,當(dāng)2x,即x時(shí),f(x)max1.22(本小題滿分14分)已知ABC的面積為S,滿足S3,且·6, 與的夾角為.(1)求角的取值范圍;(2)求函數(shù)f()sin22sin·cos3cos2的最小值解:(1)由題意知,·| |·| |cos6, S|·|sin()|·|sin, 由,得tan,即3tanS.由S3,得3tan3,即tan1.又為與的夾角,(0,(2)f()sin22sin·cos3cos21sin22cos22sin2cos22sin(2),2,當(dāng)2,即時(shí),f()取得最小值為3.9