湖南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)習(xí)題課.ppt

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1 求圖1所示系統(tǒng)中均勻剛性桿AB在A點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)x的等效質(zhì)量 桿的質(zhì)量為m A端彈簧的剛度為k 鉸C點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為al 0 a 1 試求C點(diǎn)鉸支座放置何處時(shí)系統(tǒng)的固有頻率達(dá)到最大值 圖1 解 取x為廣義坐標(biāo) 根據(jù)等效系統(tǒng)與原系統(tǒng)的動(dòng)能相等得 由于固有頻率與質(zhì)量的平方根成反比 欲得到最高固有頻率 必須使me為極小 得 代入 是為極小值 故鉸鏈應(yīng)放在離A端處 故 2 一彈簧k與阻尼器c并聯(lián)于無(wú)質(zhì)量的水平板上 今將一質(zhì)量m輕放在板上后立即松手 系統(tǒng)即作衰減振動(dòng) 問(wèn)質(zhì)量m的最大振幅是多少 發(fā)生在何時(shí) 最大速度是多少 發(fā)生在何時(shí) 設(shè)阻尼比0 1 圖2 解 系統(tǒng)自由振動(dòng)的微分方程為 在t 0 x x0 的初始條件下的響應(yīng)為 式中 對(duì) 1 式取一次導(dǎo)數(shù) 最大振幅應(yīng)發(fā)生在時(shí) 由 2 式可知 時(shí)質(zhì)量m振幅最大 代入 1 式得 最大速度發(fā)生在時(shí) 由 2 式可得 或 時(shí)速度最大 代入 2 式得 應(yīng)注意最大速度并不發(fā)生在質(zhì)量m過(guò)靜平衡位置時(shí) 這是和無(wú)阻尼自由振動(dòng)不同之處 3 一飛機(jī)升降舵的控制板鉸接于升降舵的軸上 如圖3所示O點(diǎn) 另有一相當(dāng)于扭簧k 的聯(lián)動(dòng)裝置控制其轉(zhuǎn)動(dòng) 已知控制板繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IO 為計(jì)算控制板系統(tǒng)的固有頻率 用圖示試驗(yàn)方法測(cè)定k 將升降舵固定 而在控制板的自由端聯(lián)接兩個(gè)彈簧k1 k2 使k2的一端有簡(jiǎn)諧支承運(yùn)動(dòng)y asin 調(diào)節(jié)激振頻率至系統(tǒng)共振 測(cè)定共振頻率為 0 試計(jì)算k 及控制板的固有頻率 圖3 控制板 升降舵 當(dāng)我們需要操縱飛機(jī)抬頭或低頭時(shí) 水平尾翼中的升降舵就會(huì)發(fā)生作用 升降舵是水平尾翼中可操縱的翼面部分 其作用是對(duì)飛機(jī)進(jìn)行俯仰操縱 紅線表示氣流方向 也就是飛機(jī)機(jī)頭方向吹過(guò)來(lái)的風(fēng)的方向 黑線表示平尾 藍(lán)線表示升降舵舵面 圖1 飛機(jī)起飛時(shí)升降舵舵面的情況 飛機(jī)往前飛 氣流就往后吹 氣流遇到升降舵上翹的舵面產(chǎn)生阻力 阻力產(chǎn)生壓力 壓力把升降舵舵面往下壓 飛機(jī)機(jī)頭就會(huì)自然向上了 飛機(jī)就往上飛 圖2 飛機(jī)下降時(shí)候升降舵舵面的情況 圖3 飛機(jī)就是平飛狀態(tài) 圖1 圖2 圖3 控制板的固有圓頻率為 圖3 解 取廣義坐標(biāo) 如圖 系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為 故 共振頻率為 1 求圖1所示系統(tǒng)的固有頻率 AB為剛性桿 桿本身質(zhì)量忽略不計(jì) 圖1 圖b 解 方法 1 能量法取廣義坐標(biāo) 如圖 利用等效質(zhì)量和等效剛度的概念 可把原系統(tǒng)等效成為圖b所示等效系統(tǒng) 根據(jù)等效前后動(dòng)能相等 Ie Ke me 得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 等效轉(zhuǎn)動(dòng)剛度 根據(jù)等效前后勢(shì)能相等 固有頻率為 取m1 m2 K1 K2處的豎向位移為廣義坐標(biāo) 如何等效 方法 2 定義法設(shè)使系統(tǒng)繞A點(diǎn)產(chǎn)生單位角加速度需要施加彎矩M 則在m1 m2上產(chǎn)生繞A點(diǎn)的慣性矩 設(shè)使系統(tǒng)產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角需要施加彎矩M 則在K1 K2處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力 對(duì)支點(diǎn)取矩 固有頻率為 2 一質(zhì)量m 2000kg 以勻速度v 3cm s運(yùn)動(dòng) 與彈簧K 阻尼器C相撞后一起作自由振動(dòng) 如圖所示 已知K 48020N m C 1960N s m 問(wèn)質(zhì)量m在相撞后多少時(shí)間達(dá)到最大振幅 最大振幅是多大 圖2 解 系統(tǒng)自由振動(dòng)的微分方程為 在t 0 x 0 的初始條件下的響應(yīng)為 由 得最大振幅發(fā)生在 令 代入得tm 0 3s 最大振幅為 應(yīng)注意最大振幅并不發(fā)生在 即時(shí) 此時(shí) 3 求圖3所示系統(tǒng)在支撐運(yùn)動(dòng)為ys y0sin t時(shí)的振動(dòng)微分方程 AB為剛性桿 圖3 解 方法 1 按原系統(tǒng)列振動(dòng)微分方程 設(shè) 為AB桿的相對(duì)轉(zhuǎn)角 y為m上下運(yùn)動(dòng)時(shí)的絕對(duì)位移 AB桿的靜平衡位置為水平 由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)有 y 故 由動(dòng)量矩或牛頓定律建立方程 將 1 代入 2 式 經(jīng)化簡(jiǎn)可得系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為 代入 得 所以 方法 2 按等效系統(tǒng)列振動(dòng)微分方程 將系統(tǒng)在B點(diǎn)y方向上等效 利用勢(shì)能相等求等效剛度Ke有 由牛頓定理有 將 3 式代入 4 式得到系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為 或