初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第7講 化歸—解方程組的基本思想

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1、第七講 化歸—解方程組的基本思想 初中階段已學(xué)過的方程組有：二元一次方程組、三元一次方程組、二元二次方程組． 盡管具體到每類方程組的解法不全相同，但縱有千變?nèi)f化，而萬變不離其宗： 化歸是解方程組的基本思想，降次與消元是化歸的主要途徑，因式分解、換元是降次的常用方法，代人法、加減法是消元的兩種主要手段． 解一些特殊方程組(如未知數(shù)系數(shù)較大，未知數(shù)個(gè)數(shù)較多等)，需要在整體分析方程組特點(diǎn)基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用一些技巧與方法，常用的技巧與方法有迭加、迭乘、換元、配方、取倒等． 注：轉(zhuǎn)化與化歸是解方程(組)的基本思想，常見形式有： 分式方程整式化 無理方程有理化 高次方

2、程低次化 多元方程一元化 通過恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，化歸目的明確，復(fù)雜的方程(組)就會(huì)變?yōu)槲覀兪煜さ?、簡單的方?組)． 【例題求解】 【例1】已知正實(shí)數(shù)、、滿足，則= ． 思路點(diǎn)撥 由想到從分解因式入手，還需整體考慮． 【例2】方程組的正整數(shù)解的組數(shù)是（ ） A．4 B．3 C 2 D．1 思路點(diǎn)撥 直接消元降次解三元二次方程組較困難，從分析常數(shù)項(xiàng)的特征入手． 【例

3、3】 解下列方程組： (1) （2） (3) 思路點(diǎn)撥 對(duì)于(1)，先求出整體、的值，對(duì)于(2)，視、為整體，可得到、的值；對(duì)于(3)設(shè)，，用換元法解． 【例4】 已知、、三數(shù)滿足方程組，試求方程的根． 思路點(diǎn)撥 先構(gòu)造以、為兩根的一元二次方程，從判別式入

4、手，突破的值． 注：方程與方程組在一定的條件下可相互轉(zhuǎn)化，借助配方法、利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)是促使轉(zhuǎn)化的常用工具，一個(gè)含多元的方程，往往蘊(yùn)含著方程組． 【例5】已知方程組有兩個(gè)實(shí)數(shù)解為和且，，設(shè)， (1)求的取值范圍；(2)試用關(guān)于的代數(shù)式表示出； (3)是否存在的的值?若存在，就求出所有這樣的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 思路點(diǎn)撥 代人消元，得到關(guān)于的一元二次方程，綜合運(yùn)用根的判別式、韋達(dá)定理等知識(shí)求解，解題中注意隱含條件的制約，方能準(zhǔn)確求出的取值范

5、圍． 注：方程組解的性質(zhì)、個(gè)數(shù)的探討問題，往往轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的個(gè)數(shù)、性質(zhì)的討論，但這種轉(zhuǎn)化不一定是等價(jià)的，注意隱含條件的制約，如本例中，則，這就是一個(gè)隱含條件． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組的解是，試寫出符合要求的方程組 (只要填寫一個(gè)即可)． 2．若方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解，則的取值是 ． 3．實(shí)數(shù)、、滿足，則的值為 ． 4．

6、已知、、2是正整數(shù)，并且滿足，那么的值等于 ． 5．已知，，則的值為( ) A．2001 B．2002 C． 2003 D．2004 6．已知，，則=（ ） A．337 B．17 C．97 D．1 7．解下列方程組： （1） （2）

7、 (3) 8．已知方程組有兩個(gè)實(shí)數(shù)解和，且，求的值． 9．方程組的解是 ． 10．已知實(shí)數(shù)，是方程組的解，則+= ． 11．已知，且，則是的值為 ．

8、 12．已知方程組的兩組解是（）與（），則的值是 ． 13．已知，，則的值是( ) A．4 B．2 C．一2 D．0 14．設(shè)，為實(shí)數(shù)，且滿足，則=（ ） A．1 B．一1 C． 2 D．一2 15．解下列方程組： (1) （2） (3) 16．已知方程組的兩個(gè)解為和，且，是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，若． (1)求的值； (2)不解方程組判斷方程組的兩個(gè)解能否都是正數(shù)?為什么? 17．已知、是方程的兩個(gè)實(shí)根，解方程組 18．已知、為實(shí)數(shù)，且滿足，，求的值． 參考答案 6