層次分析法 論文

歐洲五大足球俱樂部的數(shù)學(xué)建模分析論文統(tǒng)計(jì)學(xué) 楊子清 101201010117前言：縱觀當(dāng)今歐洲足壇，風(fēng)起云涌，豪強(qiáng)并起。巴薩皇馬，稱雄西甲；德甲拜仁，一枝獨(dú)秀；藍(lán)黑軍團(tuán)國際米蘭，逐鹿意甲之天下；英超一霸切爾西，竟然也能在高手如林的歐冠賽場捧杯。歐洲的足球水平為何如此之高？五大豪強(qiáng)的經(jīng)驗(yàn)又帶給了我們什么樣的啟示呢？這便是本文要探討的問題。本文引用了數(shù)學(xué)建模的思想，采用了層次分析法對歐洲五大足球俱樂部的綜合實(shí)力進(jìn)行理性而深入的分析。所謂數(shù)學(xué)建模，就是對現(xiàn)實(shí)世界中的某一特定現(xiàn)象，為了某一特定的目的，做的簡化假設(shè)，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。而層次分析法，是建模中常用的方法之一。通過層與層之間的對比分析，得出實(shí)際問題中的某些結(jié)論。本文所研究的問題是關(guān)于五大足球俱樂部的綜合實(shí)力排名情況。現(xiàn)實(shí)的足球世界中，影響一支球隊(duì)的綜合能力有許多。例如進(jìn)攻能力、防守能力、球員能力、教練的執(zhí)教能力、裁判的執(zhí)法能力等。這些因素都是對于一支的球隊(duì)綜合實(shí)力有著或多或少的影響。但他們各自的權(quán)重并不一樣，所以，如何篩選這些因素是本文分析的關(guān)鍵所在。 眾所周知，當(dāng)數(shù)學(xué)模型建立之后，還不能馬上用于實(shí)際分析，必須對模型做進(jìn)一步的檢驗(yàn)。由于本文數(shù)據(jù)分析過程較為繁瑣，所以檢驗(yàn)部分并非人工完成，而是運(yùn)用電腦軟件R來完成的。采用了Satty的檢驗(yàn)方法對模型進(jìn)行分析，使模型分析的可信度大大提高。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型、層次分析法、歐洲足球一、 數(shù)學(xué)建模的基本過程：如下圖所示實(shí)際問題抽象、簡化假設(shè)、設(shè)定參數(shù)、變量數(shù)學(xué)建模模型求解參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)符合否?模型應(yīng)用圖1：數(shù)學(xué)建?；玖鞒虉D層次分析法把人的思維層次化、數(shù)量化, 并用數(shù)學(xué)為分析、決策、預(yù)報(bào)或控制提供定量的依據(jù)。這一方法的特點(diǎn)是在對復(fù)雜決策問題的本質(zhì)、影響因素以及內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析之后, 構(gòu)建一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型, 然后利用較少的定量信息, 把決策的思維過程數(shù)學(xué)化, 從而為求解多目標(biāo)、多準(zhǔn)則或無結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問題提供一種簡便的決策方法 , 尤其適合于人的定性判斷起重要作用的、對決策結(jié)果難于直接準(zhǔn)確計(jì)量的場合。二、問題重述本文將對歐洲五大足球俱樂部（巴塞羅那、皇家馬德里、國際米蘭、切爾西、拜仁慕尼黑）的綜合實(shí)力進(jìn)行分析。利用層次分析法，把問題分成三個(gè)層次，即目標(biāo)層、準(zhǔn)則層、方案層。其基本思想是：通過準(zhǔn)則層各因素對目標(biāo)層的重要程度比較的量化，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)，得出前述的各權(quán)系數(shù)。三、問題分析首先本文的研究目的是為了評價(jià)歐洲五大球隊(duì)（巴薩、皇馬、拜仁、國米、切爾西）的綜合實(shí)力。對于一支球隊(duì)來說，球員是組成球隊(duì)的重要部分，因此，球員能力高低將直接影響球隊(duì)的實(shí)力。其次，球隊(duì)在比賽的過程中是通過進(jìn)球來獲得比賽的勝利的，而要想進(jìn)球，就要攻破對手的防線，所以進(jìn)攻能力也是綜合實(shí)力的體現(xiàn)。最后，球隊(duì)的防守的效果，是決定球隊(duì)立于不敗之地的關(guān)鍵所在，也是球隊(duì)綜合實(shí)力的一個(gè)評價(jià)指標(biāo)。四、 做出假設(shè)，畫出層次分析圖基于以上的分析：1、 假設(shè)球隊(duì)的綜合實(shí)力主要體現(xiàn)在自身的進(jìn)攻實(shí)力、防守實(shí)力已經(jīng)球員能力。2、 假設(shè)影響一支球隊(duì)獲勝的其他因素均視為隨機(jī)誤差。3、 假設(shè)足球比賽中獲勝、平局、落敗的概率相等（沒有暗箱操作）。故層次分析圖如下所示：五支歐洲俱樂部足球隊(duì)綜合實(shí)力A的綜合實(shí)力進(jìn)攻指數(shù)B1防守指數(shù)B2球員身價(jià)總值B3巴 薩C1皇馬C2拜仁C3國米C4切爾西C5 圖2：層次分析圖五、方案說明1、符號說明：表1：符號說明圖五支球隊(duì)的綜合實(shí)力B1進(jìn)攻指數(shù)B2防守指數(shù)B3球員的身價(jià)總值C1巴薩羅那C2皇家馬德里C3拜仁慕尼黑C4國際米蘭C5切爾西六、 兩兩比較、建立判別矩陣構(gòu)建層次分析結(jié)構(gòu)之后，將問題歸結(jié)為各支俱樂部球隊(duì)三個(gè)體現(xiàn)綜合實(shí)力的指標(biāo)進(jìn)行排序。所以，我們要在各層中對元素進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)建判別矩陣。層次分析法主要是人們對每一層次中各因素相對重要性給出的判斷, 這些判斷通過引入合適的標(biāo)度, 用數(shù)值表示出來, 寫成判斷矩陣。判別矩陣表示針對上一層次因素, 本層次與之有關(guān)因素之間的相對重要性的比較。因此，首先判斷B1、B2、B3對于A的重要性。眾所周知，每一支球隊(duì)都是由每一個(gè)足球運(yùn)動(dòng)員組成的。所以，球隊(duì)實(shí)力的體現(xiàn)最重要的部分，應(yīng)該是球員的身價(jià)總值；其次，評價(jià)一支球隊(duì)的強(qiáng)弱，應(yīng)該看球隊(duì)的進(jìn)攻能力，倘若一支球隊(duì)進(jìn)球多，那么它獲勝的可能性也就比較大：同樣球隊(duì)的防守能力也很重要，只要簡單地設(shè)想一下就知道，如果這支球隊(duì)失球數(shù)越少，那么它獲勝的可能性也就大。接著就是確定各元素的權(quán)重，考慮都各元素對目標(biāo)元素的影響，可用下表數(shù)值表示：表2：權(quán)重的對應(yīng)的數(shù)值Xi/Xj相等較強(qiáng)強(qiáng)很強(qiáng)絕對強(qiáng)aij13579若介于上述二者之間，則取2、4、6、8，由此得到的矩陣A為正互反矩陣。依據(jù)上文的分析，球員身價(jià)的權(quán)重應(yīng)該是最大的。其次是球隊(duì)的進(jìn)攻指數(shù)。權(quán)重最小的應(yīng)該是防守指數(shù)。所以，基于上表的數(shù)據(jù)，我們確定A-B矩陣為：AB1B2B3B1131 /3B21/311/5B3351 各球隊(duì)數(shù)據(jù)如下，通過對一下數(shù)據(jù)的粗步分析:表3：五支球隊(duì)的具體數(shù)據(jù)巴薩羅那的進(jìn)球數(shù)（主要指標(biāo)）最多，傳球成功率也最高，其次是拜仁、皇馬、國米、切爾西。失球數(shù)最多的是巴薩和國米，其次是皇馬和切爾西、最后是拜仁。所以我們可以做出如下矩陣：B1-CB1C1C2C3C4C5C113245C21/311/223C31/23134C41/41/21/212C51/51/31/41/21從數(shù)據(jù)上看，巴薩和國米失球最多，17場比賽共失球19個(gè)，其次是皇馬和切爾西，共失球17個(gè)，而拜仁失球最少，只有7個(gè)。以此建立B2-C矩陣為：B2-CB2C1C2C3C4C5C111/31/511/3C231 1/3 31C353153C411/31/511/3C5351/331從體育網(wǎng)站上獲得的數(shù)據(jù)：目前，各支球員身價(jià)總值為（歐元）：巴薩5.4 億、皇馬5.245億、國米3.6725億、切爾西3.62億、拜仁3.031億。所以B3-C矩陣：B3C1C2C3C4C5C113957C21/31735C31/91/711/51/3C41/51/3513C51/71/531/31七、一致性檢驗(yàn)對于判別矩陣的一致性檢驗(yàn)，本文采用Saaty提出的平均隨機(jī)一致性檢。若某矩陣為一致性矩陣，其最大特征根為n，其余特征根為0。通常用CI來衡量一致性。如果CI越小，則一致性越好。但這種方法用缺陷，所以，Saaty提出平均隨機(jī)，引入了RI概念，并用CR=CI/RI來衡量矩陣的一致性，當(dāng)CR<0.1時(shí)，則認(rèn)為矩陣有較滿意的一致性。其中：注：Satty給出的RI標(biāo)準(zhǔn)為N12345RI000.580.91.12 運(yùn)用R軟件可以求的矩陣的特征值和特征向量。并可從中確定最大特征根，將其代入公式，就可以求的CR的取值。運(yùn)用R軟件計(jì)算得：A-B矩陣的CR0.07<0.1,所以矩陣A通過一致性檢驗(yàn)。B1-C矩陣的CR=2.232143e-0.8<0.1,B1-C也通過檢驗(yàn)。B2-C矩陣的CR=0<0.1B2-C矩陣通過一致性檢驗(yàn)。B3-C矩陣的CR=-2.232143e-0.8<0.1B3-C矩陣通過一致性檢驗(yàn)。八、 模型的優(yōu)缺點(diǎn)該模型主要運(yùn)用了層次分析法進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，其優(yōu)點(diǎn)是：1、 通過層與層之間的對比分析，使讀者對于這五大足球俱樂部的綜合實(shí)力有了進(jìn)一步的認(rèn)識(主要通過判別矩陣)。2、 從過層次分析法得到五支球隊(duì)的綜合實(shí)力評價(jià)，要比根據(jù)自己的主觀分析得都的綜合實(shí)力評價(jià)顯得客觀一些。3、 通過建模分析實(shí)際問題可以達(dá)到深入簡出的效果。其缺點(diǎn)是：1、由于本人學(xué)藝不精，沒能完全掌握層次分析法的精髓，故在做一致性別時(shí)沒能采用最好的方法。導(dǎo)致分析的結(jié)果與實(shí)際的結(jié)果有所不同。2、判別矩陣中的各元素自己全是本人憑經(jīng)驗(yàn)臆測得出的。沒有經(jīng)過專業(yè)人士的認(rèn)證。所以得出的判別矩陣可能與真實(shí)的判別矩陣略有不同。九、結(jié)論基于模型本身，通過以上的分析可以得出最終的綜合實(shí)力排名情況為：巴薩、拜仁、皇馬、切爾西、國米。在這五大俱樂部球隊(duì)中，巴薩羅那隊(duì)擁有豪華的球員陣容，進(jìn)攻能力是五支球隊(duì)當(dāng)中最強(qiáng)的，但防守的能力比較弱；皇馬同樣擁有豪華的球員陣容，但進(jìn)攻能力稍弱，防守能力也稍弱（或許是因?yàn)檫@幾場比賽是狀態(tài)低迷的原因）；拜仁雖然沒有豪華的球員陣容，但進(jìn)攻能力比較強(qiáng)，而防守能力又是這五支球隊(duì)中最好的，歷來都是歐冠的一支勁旅。因此，個(gè)人認(rèn)為拜仁擁有很強(qiáng)的實(shí)力；國米最近幾場比賽中所體現(xiàn)的進(jìn)攻能力和防守能力都偏弱，可以說球隊(duì)正處于下滑期，但就此判斷國米的真實(shí)實(shí)力為時(shí)尚早，再怎么說，畢竟也是當(dāng)年叱咤綠茵場的米蘭雙雄中的一員；切爾西也是沒有豪華的球員陣容，所以進(jìn)攻能力偏弱是可以理解的，但切爾西的防守能力還是可以跟五大球隊(duì)抗衡的。2012年，切爾西正是憑借自己的防守能力擊敗各路豪強(qiáng)，奪得歐冠聯(lián)賽的冠軍。因此，切爾西的實(shí)力也不容小覷。十、附錄 1、陳汝棟 于延榮 數(shù)學(xué)某型與數(shù)學(xué)建模 國防工業(yè)出版社 2009 2、王宗軍 綜合評價(jià)的方法、問題及其研究趨勢理科學(xué)學(xué)報(bào) 高等教育出版社 2009 3、李虎 足球天下 第五頻道出版社 2012 4、陶路 歐洲五大聯(lián)賽球隊(duì)排行榜 新浪體育 R軟件運(yùn)行結(jié)果如下：圖3：A-B矩陣運(yùn)行結(jié)果圖4：B1-C矩陣運(yùn)行結(jié)果圖5：B2-C矩陣運(yùn)行結(jié)果圖6：B3-C矩陣運(yùn)行結(jié)果10