高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)41講難點(diǎn)38分類討論思想

難點(diǎn)38 分類討論思想分類討論思想就是根據(jù)所研究對(duì)象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識(shí)點(diǎn)較多，利于考查學(xué)生的知識(shí)面、分類思想和技巧；同時(shí)方式多樣，具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，樹立分類討論思想，應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類不重復(fù)、不遺漏的分析討論.”難點(diǎn)磁場(chǎng)1.（）若函數(shù)在其定義域內(nèi)有極值點(diǎn)，則a的取值為.2.（）設(shè)函數(shù)f(x)=x2+xa+1，xR.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)求函數(shù)f(x)的最小值.案例探究例1已知an是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，Sn為它的前n項(xiàng)和.（1）用Sn表示Sn+1;（2）是否存在自然數(shù)c和k，使得成立.命題意圖：本題主要考查等比數(shù)列、不等式知識(shí)以及探索和論證存在性問題的能力，屬級(jí)題目.知識(shí)依托：解決本題依據(jù)不等式的分析法轉(zhuǎn)化，放縮、解簡(jiǎn)單的分式不等式；數(shù)列的基本性質(zhì).錯(cuò)解分析：第2問中不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，不能確定出.技巧與方法：本題屬于探索性題型，是高考試題的熱點(diǎn)題型.在探討第2問的解法時(shí)，采取優(yōu)化結(jié)論的策略，并靈活運(yùn)用分類討論的思想：即對(duì)雙參數(shù)k,c輪流分類討論，從而獲得答案.解：（1）由Sn=4(1），得，(nN*)（2）要使，只要因?yàn)樗裕?kN*)故只要Sk2cSk，（kN*）因?yàn)镾k+1Sk，(kN*)所以Sk2S12=1.又Sk4，故要使成立，c只能取2或3.當(dāng)c=2時(shí)，因?yàn)镾1=2，所以當(dāng)k=1時(shí)，cSk不成立，從而不成立.當(dāng)k2時(shí)，因?yàn)?，由SkSk+1(kN*)得Sk2Sk+12故當(dāng)k2時(shí)，Sk2c，從而不成立.當(dāng)c=3時(shí)，因?yàn)镾1=2，S2=3，所以當(dāng)k=1，k=2時(shí)，cSk不成立，從而不成立因?yàn)?，又Sk2Sk+12所以當(dāng)k3時(shí)，Sk2c，從而成立.綜上所述，不存在自然數(shù)c,k,使成立.例2給出定點(diǎn)A（a,0)（a0）和直線l：x=1，B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C.求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系.命題意圖：本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡，直線與圓錐曲線的基本知識(shí)，分類討論的思想方法.綜合性較強(qiáng)，解法較多，考查推理能力和綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解題的能力.屬級(jí)題目.知識(shí)依托：求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本方法步驟.橢圓、雙曲線、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本特點(diǎn).錯(cuò)解分析：本題易錯(cuò)點(diǎn)為考生不能巧妙借助題意條件，構(gòu)建動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系式和分類討論軌跡方程表示曲線類型.技巧與方法：精心思考，發(fā)散思維、多途徑、多角度的由題設(shè)條件出發(fā)，探尋動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的關(guān)系式.巧妙地利用角平分線的性質(zhì).解法一：依題意，記B（1，b)，(bR），則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=bx.設(shè)點(diǎn)C(x,y)，則有0xa，由OC平分AOB，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得y=依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有由xa0，得將式代入式，得y2(1a)x22ax+(1+a)y2=0若y0，則(1a)x22ax+(1+a)y2=0(0xa)若y=0則b=0,AOB=，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）滿足上式.綜上，得點(diǎn)C的軌跡方程為（1a）x22ax+(1+a)y2=0(0xa(i)當(dāng)a=1時(shí)，軌跡方程化為y2=x(0x1此時(shí)方程表示拋物線弧段；(ii)當(dāng)a1，軌跡方程化為所以當(dāng)0a1時(shí)，方程表示橢圓弧段；當(dāng)a1時(shí)，方程表示雙曲線一支的弧段.解法二：如圖，設(shè)D是l與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)C作CEx軸，E是垂足.（i）當(dāng)BD0時(shí)，設(shè)點(diǎn)C(x,y)，則0xa，y0由CEBD，得.COA=COB=CODBOD=COABOD2COA=BOD整理，得(1a)x22ax+(1+a)y2=0(0xa)(ii)當(dāng)BD=0時(shí)，BOA=，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0)，滿足上式.綜合(i)、(ii)，得點(diǎn)C的軌跡方程為(1a)x22ax+(1+a)y2=0(0xa)以下同解法一.解法三：設(shè)C(x,y)、B(1,b)，則BO的方程為y=bx，直線AB的方程為當(dāng)b0時(shí)，OC平分AOB，設(shè)AOC=,直線OC的斜率為k=tan,OC的方程為y=kx于是又tan2=bb=C點(diǎn)在AB上由、消去b，得又，代入，有整理，得(a1)x2(1+a)y2+2ax=0 當(dāng)b=0時(shí)，即B點(diǎn)在x軸上時(shí)，C(0,0)滿足上式：a1時(shí)，式變?yōu)楫?dāng)0a1時(shí)，表示橢圓弧段；當(dāng)a1時(shí)，表示雙曲線一支的弧段；當(dāng)a=1時(shí)，表示拋物線弧段.錦囊妙計(jì)分類討論思想就是依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)問題分類、求解，要特別注意分類必須滿足互斥、無漏、最簡(jiǎn)的原則.分類討論常見的依據(jù)是：1.由概念內(nèi)涵分類.如絕對(duì)值、直線的斜率、指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)、直線與平面的夾角等定義包含了分類.2.由公式條件分類.如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、極限的計(jì)算、圓錐曲線的統(tǒng)一定義中圖形的分類等.3.由實(shí)際意義分類.如排列、組合、概率中較常見，但不明顯、有些應(yīng)用問題也需分類討論.在學(xué)習(xí)中也要注意優(yōu)化策略，有時(shí)利用轉(zhuǎn)化策略，如反證法、補(bǔ)集法、變更多元法、數(shù)形結(jié)合法等簡(jiǎn)化甚至避開討論.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.（）已知其中aR，則a的取值范圍是( )A.a0 B.a2或a2C.2a2 D.a2或a22.（）四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有( )A.150種 B.147種 C.144種 D.141種二、填空題3.（）已知線段AB在平面外，A、B兩點(diǎn)到平面的距離分別為1和3，則線段AB的中點(diǎn)到平面的距離為.4.（）已知集合A=xx23x+2=0,B=xx2ax+(a1)=0，C=xx2mx+2=0，且AB=A，AC=C，則a的值為，m的取值范圍為.三、解答題5.（）已知集合A=xx2+px+q=0，B=xqx2+px+1=0,A,B同時(shí)滿足：AB,AB=2.求p、q的值.6.（）已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x2+y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與MQ的比等于常數(shù)(0).求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.7.()已知函數(shù)y=f(x)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線.當(dāng)nyn+1(n=0,1,2,)時(shí)，該圖象是斜率為bn的線段（其中正常數(shù)b1），設(shè)數(shù)列xn由f(xn)=n(n=1,2,)定義.（1）求x1、x2和xn的表達(dá)式；（2）計(jì)算xn；（3）求f(x)的表達(dá)式，并寫出其定義域.8.（）已知a0時(shí)，函數(shù)f(x)=axbx2（1）當(dāng)b0時(shí)，若對(duì)任意xR都有f(x)1，證明a2b;（2）當(dāng)b1時(shí)，證明：對(duì)任意x0,1,f(x)1的充要條件是b1a2；（3）當(dāng)0b1時(shí)，討論：對(duì)任意x0,1,f(x)1的充要條件.參 考 答 案難點(diǎn)磁場(chǎng)1.解析：即f(x)=(a1)x2+ax=0有解.當(dāng)a1=0時(shí)，滿足.當(dāng)a10時(shí)，只需=a2(a1)0.答案：或a=12.解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)=(x)2+x+1=f(x)，此時(shí)f(x)為偶函數(shù).當(dāng)a0時(shí)，f(a)=a2+1,f(a)=a2+2a+1.f(a)f(a),f(a)f(a)此時(shí)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).（2）當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)=x2x+a+1=(x)2+a+若a，則函數(shù)f(x)在(,a上單調(diào)遞減.從而函數(shù)f(x)在（,a上的最小值為f(a)=a2+1若a，則函數(shù)f(x)在（,a上的最小值為f()=+a，且f()f(a).當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)=x2+xa+1=(x+)2a+若a，則函數(shù)f(x)在a,+上的最小值為f()=a，且f()f(a)；若a，則函數(shù)f(x)在a,+)單調(diào)遞增.從而函數(shù)f(x)在a,+上的最小值為f(a)=a2+1.綜上，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為a；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a2+1；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a+.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：分a=2、a2和a2三種情況分別驗(yàn)證.答案：C2.解析：任取4個(gè)點(diǎn)共C=210種取法.四點(diǎn)共面的有三類：（1）每個(gè)面上有6個(gè)點(diǎn)，則有4×C=60種取共面的取法；（2）相比較的4個(gè)中點(diǎn)共3種；（3）一條棱上的3點(diǎn)與對(duì)棱的中點(diǎn)共6種.答案：C二、3.解析：分線段AB兩端點(diǎn)在平面同側(cè)和異側(cè)兩種情況解決.答案：1或24.解析：A=1,2,B=x(x1)(x1+a)=0,由AB=A可得1a=1或1a=2；由AC=C，可知C=1或.答案：2或33或（2，2）三、5.解：設(shè)x0A，x0是x02+px0+q=0的根.若x0=0，則A=2,0，從而p=2,q=0,B=.此時(shí)AB=與已知矛盾，故x00.將方程x02+px0+q=0兩邊除以x02，得.即滿足B中的方程，故B.A=2,則2A,且2.設(shè)A=2,x0，則B=，且x02（否則AB=）.若x0=，則2B,與2B矛盾.又由AB,x0=，即x0=±1.即A=2,1或A=2,1.故方程x2+px+q=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2，1或2，16.解：如圖，設(shè)MN切圓C于N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是P=MMN=MQ,0.ONMN,ON=1,MN2=MO2ON2=MO21設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，則即（x21)(x2+y2)42x+(42+1)=0.經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個(gè)方程的點(diǎn)都屬于集合P，故方程為所求的軌跡方程.（1）當(dāng)=1時(shí)，方程為x=，它是垂直于x軸且與x軸相交于點(diǎn)（，0）的直線；（2）當(dāng)1時(shí)，方程化為：它是以為圓心，為半徑的圓.7.解：（1）依題意f(0)=0，又由f(x1)=1，當(dāng)0y1，函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b0=1的線段，故由x1=1又由f(x2)=2，當(dāng)1y2時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b的線段，故由即x2x1=x2=1+記x0=0，由函數(shù)y=f(x)圖象中第n段線段的斜率為bn1，故得又由f(xn)=n,f(xn1)=n1xnxn1=()n1,n=1,2,由此知數(shù)列xnxn1為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為.因b1，得(xkxk1)=1+即xn=（2）由（1）知，當(dāng)b1時(shí)，當(dāng)0b1，n, xn也趨于無窮大.xn不存在.（3）由（1）知，當(dāng)0y1時(shí)，y=x，即當(dāng)0x1時(shí)，f(x)=x;當(dāng)nyn+1，即xnxxn+1由（1）可知f(x)=n+bn(xxn)(n=1,2,),由（2）知當(dāng)b1時(shí)，y=f(x)的定義域?yàn)?,);當(dāng)0b1時(shí)，y=f(x)的定義域?yàn)?,+).8.(1)證明：依設(shè)，對(duì)任意xR，都有f(x)11a0,b0a2.（2）證明：必要性：對(duì)任意x0,1，f(x)11f(x），據(jù)此可以推出1f(1)即ab1，ab1對(duì)任意x0,1，f(x)1f(x)1.因?yàn)閎1，可以推出f()1即a·11，a2,b1a2充分性：因?yàn)閎1，ab1，對(duì)任意x0,1.可以推出axbx2b(xx2)xx1即axbx21因?yàn)閎1,a2,對(duì)任意x0,1，可以推出axbx22xbx21即axbx21,1f(x)1綜上，當(dāng)b1時(shí)，對(duì)任意x0,1，f(x)1的充要條件是b1a2.(3)解：a0，0b1x0,1,f(x)=axbx2b1即f(x)1f(x)1f(1)1ab1即ab+1ab+1f(x)(b+1)xbx21即f(x)1所以當(dāng)a0，0b1時(shí)，對(duì)任意x0,1，f(x)1的充要條件是ab+1.內(nèi)容總結(jié)（1）難點(diǎn)38 分類討論思想分類討論思想就是根據(jù)所研究對(duì)象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識(shí)點(diǎn)較多，利于考查學(xué)生的知識(shí)面、分類思想和技巧