高中數(shù)學《第二章 圓錐曲線與方程》歸納整合課件 新人教A版選修21

知識網(wǎng)絡知識網(wǎng)絡本本 章章 歸歸 納納 整整 合合我們把曲線看作滿足條件我們把曲線看作滿足條件p的點的點M的集合的集合PM|p(M)，建立，建立坐標系后集合坐標系后集合P中任一元素中任一元素M都有唯一有序?qū)崝?shù)對都有唯一有序?qū)崝?shù)對(x，y)和它和它對應；滿足條件對應；滿足條件p的的(x，y)構(gòu)成二元方程構(gòu)成二元方程f(x，y)0，也就是，也就是說對于集合說對于集合Q(x，y)|f(x，y)0中的任一元素中的任一元素(x，y)，都，都有一點有一點M與它對應，且點與它對應，且點M是集合是集合P中的一個元素，中的一個元素，p和和Q的的這種對應關(guān)系就是曲線與方程的關(guān)系曲線與方程的關(guān)系，這種對應關(guān)系就是曲線與方程的關(guān)系曲線與方程的關(guān)系，反映了空間形式和數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，應加強對概念的理反映了空間形式和數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，應加強對概念的理解和與實際問題的聯(lián)系解和與實際問題的聯(lián)系要點歸納要點歸納1研究橢圓、雙曲線、拋物線三種圓錐曲線的方法是一致研究橢圓、雙曲線、拋物線三種圓錐曲線的方法是一致的例如在研究完橢圓的幾何特征、定義、標準方程、簡的例如在研究完橢圓的幾何特征、定義、標準方程、簡單性質(zhì)等以后，通過類比就能得到雙曲線、拋物線所要研單性質(zhì)等以后，通過類比就能得到雙曲線、拋物線所要研究的問題以及研究的基本方法究的問題以及研究的基本方法對于圓錐曲線的有關(guān)問題，要有運用圓錐曲線定義解題的對于圓錐曲線的有關(guān)問題，要有運用圓錐曲線定義解題的意識，意識，“回歸定義回歸定義”是一種重要的解題策略如是一種重要的解題策略如(1)在求軌跡在求軌跡時，若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)圓錐曲時，若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)圓錐曲線的方程，寫出所求的軌跡方程；線的方程，寫出所求的軌跡方程；(2)涉及橢圓、雙曲線上涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個焦點構(gòu)成的三角形問題時，常用定義結(jié)合解三的點與兩個焦點構(gòu)成的三角形問題時，常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決；角形的知識來解決；(3)在求有關(guān)拋物線的最值問題時，常在求有關(guān)拋物線的最值問題時，常利用定義把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，結(jié)合幾何利用定義把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解決圖形利用幾何意義去解決23直線直線l與圓錐曲線有無公共點，等價于由它們的方程組成與圓錐曲線有無公共點，等價于由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解，方程組有幾組實數(shù)解，直線的方程組有無實數(shù)解，方程組有幾組實數(shù)解，直線l與圓與圓錐曲線就有幾個公共點；方程組沒有實數(shù)解，直線錐曲線就有幾個公共點；方程組沒有實數(shù)解，直線l與曲與曲線線C就沒有公共點就沒有公共點(1)有關(guān)弦長問題，應注意運用弦長公式及韋達定理；有關(guān)弦長問題，應注意運用弦長公式及韋達定理；(2)有關(guān)垂直問題，要注意運用斜率關(guān)系及韋達定理，設而有關(guān)垂直問題，要注意運用斜率關(guān)系及韋達定理，設而不求，簡化運算不求，簡化運算4專專題一題一求曲線的方程求曲線的方程 求曲線方程是解析幾何的基本問題之一，其求解的基本求曲線方程是解析幾何的基本問題之一，其求解的基本方法有：方法有： (1)直接法：建立適當?shù)淖鴺讼?，設動點為直接法：建立適當?shù)淖鴺讼?，設動點為(x，y)，根據(jù)，根據(jù)幾何條件直接尋求幾何條件直接尋求x、y之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式 (2)代入法：利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的代入法：利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的動點的關(guān)系，把所求動點轉(zhuǎn)換為已知動點具體地說，就是動點的關(guān)系，把所求動點轉(zhuǎn)換為已知動點具體地說，就是用所求動點的坐標用所求動點的坐標x、y來表示已知動點的坐標并代入已知動點來表示已知動點的坐標并代入已知動點滿足的曲線的方程，由此即可求得所求動點坐標滿足的曲線的方程，由此即可求得所求動點坐標x、y之間的關(guān)之間的關(guān)系式系式 (3)定義法：如果所給幾何條件正好符合圓、橢圓、定義法：如果所給幾何條件正好符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義，則可直接利用這些已知曲雙曲線、拋物線等曲線的定義，則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動點的軌跡方程線的方程寫出動點的軌跡方程 (4)參數(shù)法：當很難找到形成曲線的動點參數(shù)法：當很難找到形成曲線的動點P(x，y)的坐的坐標標x，y所滿足的關(guān)系式時，借助第三個變量所滿足的關(guān)系式時，借助第三個變量t，建立，建立t和和x，t和和y的關(guān)系式的關(guān)系式x(t)，y(t)，再通過一些條件消掉，再通過一些條件消掉t就間就間接地找到了接地找到了x和和y所滿足的方程，從而求出動點所滿足的方程，從而求出動點P(x，y)所形所形成的曲線的普通方程成的曲線的普通方程 (5)交軌法：有些情況下，所求的曲線是由兩條動直線交軌法：有些情況下，所求的曲線是由兩條動直線的交點的交點P(x，y)所形成的，既然是動直線，那么這兩條直線所形成的，既然是動直線，那么這兩條直線的方程就必然含有變動的參數(shù)，通過解兩直線方程所組成的的方程就必然含有變動的參數(shù)，通過解兩直線方程所組成的方程組，就能將交點方程組，就能將交點P(x，y)的坐標用這些參數(shù)表達出來，的坐標用這些參數(shù)表達出來，也就求出了動點也就求出了動點P(x，y)所形成的曲線的參數(shù)方程，消掉參所形成的曲線的參數(shù)方程，消掉參數(shù)就得到了動點數(shù)就得到了動點P(x，y)所形成的曲線的普通方程所形成的曲線的普通方程 過點過點P(2，4)作兩條互相垂直的直線作兩條互相垂直的直線l1、l2，若，若l1交交x軸于軸于A點，點，l2交交y軸于軸于B點，求線段點，求線段AB的中點的中點M的軌跡方程的軌跡方程【例例1】解法一解法一設點設點M的坐標為的坐標為(x，y)M為線段為線段AB的中點，的中點，A的坐標為的坐標為(2x，0)，B坐標為坐標為(0，2y)l1l2，且，且l1、l2過點過點P(2，4)，整理得整理得x2y50(x1)當當x1時，時，A、B的坐標分別為的坐標分別為(2，0)、(0，4)，線段線段AB的中點坐標是的中點坐標是(1，2)，它滿足方程，它滿足方程x2y50綜上所述點綜上所述點M的軌跡方程是的軌跡方程是x2y50.法二法二設設M的坐標為的坐標為(x，y)，則，則A、B兩點的坐標分別是兩點的坐標分別是(2x，0)，(0，2y)，連接，連接PM.l1l2，2|PM|AB|.法三法三l1l2，OAOB.O、A、P、B四點共圓，且該圓的圓心為四點共圓，且該圓的圓心為M，|MP|MO|.點點M的軌跡為線段的軌跡為線段OP的中垂線的中垂線 圓錐曲線的定義是相對應標準方程和幾何性質(zhì)的圓錐曲線的定義是相對應標準方程和幾何性質(zhì)的“源源”，對于圓錐曲線的有關(guān)問題，要有運用圓錐曲線定義，對于圓錐曲線的有關(guān)問題，要有運用圓錐曲線定義解題的意識，解題的意識，“回歸定義回歸定義”是一種重要的解題策略是一種重要的解題策略 研究有關(guān)點間的距離的最值問題時，常用定義把曲研究有關(guān)點間的距離的最值問題時，常用定義把曲線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到另一焦點的距離或利用定線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到另一焦點的距離或利用定義把曲線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為其到相應準線的距離，義把曲線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為其到相應準線的距離，再從幾何圖形利用幾何意義去解決有關(guān)的最值問題再從幾何圖形利用幾何意義去解決有關(guān)的最值問題專專題題二二圓錐曲線定義的應用圓錐曲線定義的應用 拋物線拋物線y22px(p0)上有上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點，三點，F(xiàn)是它的焦是它的焦點，若點，若|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，則則 ()Ax1，x2，x3成等差數(shù)列成等差數(shù)列By1，y2，y3成等差數(shù)列成等差數(shù)列Cx1，x3，x2成等差數(shù)列成等差數(shù)列Dy1，y3，y2成等差數(shù)列成等差數(shù)列【例例2】解析解析如圖，過如圖，過A、B、C分別作準線的垂線，垂足分別為分別作準線的垂線，垂足分別為A，B，C，由拋物線定義：，由拋物線定義：|AF|AA|，|BF|BB|，|CF|CC|.2|BF|AF|CF|，答案答案A【例例3】 (1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定，方程與圓錐曲線方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定，通常消去方程組中變量通常消去方程組中變量y(或或x)得到關(guān)于變量得到關(guān)于變量x(或或y)的一元的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式二次方程，考慮該一元二次方程的判別式，則有：，則有：0直線與曲線有兩個交點；直線與曲線有兩個交點；0直線與曲線有一個直線與曲線有一個交點；交點；0直線與曲線無交點直線與曲線無交點 而與圓錐曲線有一個交點的直線，是一種特殊的情而與圓錐曲線有一個交點的直線，是一種特殊的情況況(拋物線中與對稱軸平行，雙曲線中與漸近線平行拋物線中與對稱軸平行，雙曲線中與漸近線平行)，反，反映在消元后的方程上，該方程是一次的映在消元后的方程上，該方程是一次的專題三專題三直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【例例4】 圓錐曲線是高考必考的內(nèi)容，既是重點也是難點重圓錐曲線是高考必考的內(nèi)容，既是重點也是難點重在考查在考查三種曲線的概念和幾何性質(zhì)的應用；三種曲線的概念和幾何性質(zhì)的應用；直線和圓直線和圓錐曲線的位置關(guān)系以及圓錐曲線的綜合應用錐曲線的位置關(guān)系以及圓錐曲線的綜合應用學生分析學生分析問題、解決問題的能力；同時考查數(shù)學思想的認識和理問題、解決問題的能力；同時考查數(shù)學思想的認識和理解重點考查的內(nèi)容如下：解重點考查的內(nèi)容如下： 一、圓錐曲線的定義是圓錐曲線問題的根本，利用一、圓錐曲線的定義是圓錐曲線問題的根本，利用圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個重要命題圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個重要命題點，在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn)點，在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn)命題趨勢命題趨勢 二、圓錐曲線的標準方程是用代數(shù)方法研究圓錐曲線的二、圓錐曲線的標準方程是用代數(shù)方法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)的基礎，高考對圓錐曲線標準方程的考查方式有兩幾何性質(zhì)的基礎，高考對圓錐曲線標準方程的考查方式有兩種：一個是在解答題中作為試題的人口進行考查；二是在選種：一個是在解答題中作為試題的人口進行考查；二是在選擇題和填空題中結(jié)合圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)進行考查擇題和填空題中結(jié)合圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)進行考查 三、圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點內(nèi)容，三、圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點內(nèi)容，高考對此進行重點考查，主要考查橢圓與雙曲線的離心率的高考對此進行重點考查，主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解，試題一般以圓錐曲線的求解、雙曲線的漸近線方程的求解，試題一般以圓錐曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等為主進行交匯命標準方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等為主進行交匯命題題 四、雖然考綱中沒有直接要求關(guān)于直線與圓錐曲線相結(jié)四、雖然考綱中沒有直接要求關(guān)于直線與圓錐曲線相結(jié)合的知識，但直線與圓錐曲線是密不可分的，如雙曲線的漸合的知識，但直線與圓錐曲線是密不可分的，如雙曲線的漸近線、拋物線的準線，圓錐曲線的對稱軸等都是直線高考近線、拋物線的準線，圓錐曲線的對稱軸等都是直線高考不但不回避直線與圓錐曲線，而且在試題中進行重點考查，不但不回避直線與圓錐曲線，而且在試題中進行重點考查，考查方式既可以是選擇題、填空題，也可以是解答題考查方式既可以是選擇題、填空題，也可以是解答題 五、考綱對曲線與方程的要求是五、考綱對曲線與方程的要求是“了解方程的曲線與曲了解方程的曲線與曲線的方程的對應關(guān)系線的方程的對應關(guān)系”，高考對曲線與方程的考查主要體現(xiàn)在，高考對曲線與方程的考查主要體現(xiàn)在以利用圓錐曲線的定義和待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程，以以利用圓錐曲線的定義和待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程，以直接法、代入法等方法求圓錐曲線的方程直接法、代入法等方法求圓錐曲線的方程 六、高考對圓錐曲線的考查是綜合性的，這種綜合性體六、高考對圓錐曲線的考查是綜合性的，這種綜合性體現(xiàn)在圓錐曲線、直線、圓、平面向量、不等式等知識的相互現(xiàn)在圓錐曲線、直線、圓、平面向量、不等式等知識的相互交匯，高考對圓錐曲線的綜合考查主要是在解答題中進行，交匯，高考對圓錐曲線的綜合考查主要是在解答題中進行，一般以橢圓或者拋物線為依托，全面考查圓錐曲線與方程的一般以橢圓或者拋物線為依托，全面考查圓錐曲線與方程的求法、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查函數(shù)、方程、不等求法、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查函數(shù)、方程、不等式、平面向量等在解決問題中的綜合運用式、平面向量等在解決問題中的綜合運用