高三數(shù)學(xué)經(jīng)典備課資料 函數(shù)概念及性質(zhì)教案 新人教A版
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高三數(shù)學(xué)經(jīng)典備課資料 函數(shù)概念及性質(zhì)教案 新人教A版
備課資料知識(shí)點(diǎn)總結(jié)函數(shù)概念及性質(zhì)1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記作:y=f(x),xA.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域.如果只給出解析式y(tǒng)=f(x),而沒有指明它的定義域,則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合;函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:分式的分母不等于零; 偶次方根的被開方數(shù)不小于零;對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的,那么它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合;實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域.2.構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù));兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān).相同函數(shù)的判斷方法:表達(dá)式相同;定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備).函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則,不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域;應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù),它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ);求函數(shù)值域的常用方法有:直接法、換元法、配方法、判別式法、單調(diào)性法等.3.函數(shù)圖象知識(shí)歸納定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù) y=f(x) (xA)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x,y)的集合C,叫做函數(shù) y=f(x)(x A)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y),均在C上,即記為C= P(x,y) | y= f(x), xA.圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行于y軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成.畫法:描點(diǎn)法:根據(jù)函數(shù)解析式和定義域,求出x,y的一些對(duì)應(yīng)值并列表,以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)P(x, y),最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連結(jié)起來.圖象變換法:常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換.作用:直觀地看出函數(shù)的性質(zhì);利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路;提高解題的速度;發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤.4.區(qū)間的概念區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;無窮區(qū)間;區(qū)間的數(shù)軸表示.5.映射一般地,設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射,記作“f:AB”.給定一個(gè)集合A到B的映射,如果aA,bB,且元素a和元素b對(duì)應(yīng),那么,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.說明:函數(shù)是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對(duì)應(yīng),集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f是確定的;對(duì)應(yīng)法則有“方向性”,即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng),它與從B到A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的;對(duì)于映射f:AB來說,則應(yīng)滿足:(1)集合A中的每一個(gè)元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(2)集合A中不同的元素,在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);(3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象.6.函數(shù)的表示法函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等,注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù);解析法:必須注明函數(shù)的定義域;圖象法:描點(diǎn)法作圖要注意:確定函數(shù)的定義域;化簡函數(shù)的解析式;觀察函數(shù)的特征;列表法:選取的自變量要有代表性,應(yīng)能反映定義域的特征.解析法便于算出函數(shù)值;列表法便于查出函數(shù)值;圖象法便于量出函數(shù)值.分段函數(shù):在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù),在不同的范圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式.分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程,而應(yīng)寫成函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號(hào)括起來,并分別注明各部分的自變量的取值情況.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù);分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.復(fù)合函數(shù):如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),則y=fg(x)=F(x)(xA)稱為f、g的復(fù)合函數(shù).7.函數(shù)的單調(diào)性增函數(shù):設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)f(x2),那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意:函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì);必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1、x2;當(dāng)x1<x2時(shí),總有f(x1)<f(x2) .圖象的特點(diǎn):如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的. 函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法:定義法,任取x1、x2D,且x1<x2;作差f(x1)-f(x2);變形(通常是因式分解和配方);定號(hào)(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負(fù));下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).圖象法(從圖象上看升降);復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,復(fù)合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律如下:函數(shù)單調(diào)性u(píng)=g(x)增增減減y=f(u)增減增減y=fg(x)增減減增注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間合在一起寫成其并集.8.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù):一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).奇函數(shù):一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).注意:函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì);函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).由函數(shù)的奇偶性定義,可知函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是,對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,則-x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征:偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.總結(jié):利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟:首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)或f(-x)f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).注意:函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱再根據(jù)定義判定:有時(shí)判定f(-x)=±f(x)比較困難,可考慮根據(jù)是否有f(-x)±f(x)=0或=±1來判定:利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定.9.函數(shù)的解析表達(dá)式函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí),一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的解析式的主要方法有:待定系數(shù)法、換元法、消參法等,如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí),可用待定系數(shù)法;已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式時(shí),可用換元法,這時(shí)要注意元的取值范圍;當(dāng)已知表達(dá)式較簡單時(shí),也可用湊配法;若已知抽象函數(shù)表達(dá)式,則常用解方程組消參的方法求出f(x).10.函數(shù)最大(?。┲捣椒ɡ枚魏瘮?shù)的性質(zhì)(配方法);利用圖象;利用函數(shù)單調(diào)性;如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上單調(diào)遞增,在區(qū)間b,c上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上單調(diào)遞減,在區(qū)間b,c上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b).