高中數(shù)學《第二章 數(shù)列》歸納整合課件 新人教A版必修5

知識網(wǎng)絡知識網(wǎng)絡本章歸納整合本章歸納整合 數(shù)列的概念及表示方法 (1)定義：按照一定順序排列著的一列數(shù) (2)表示方法：列表法、圖象法、通項公式法和遞推公式法 (3)分類：按項數(shù)有限還是無限分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按項與項之間的大小關系可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列和常數(shù)列要點歸納要點歸納1 等差數(shù)列、等比數(shù)列性質的對比等差數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列等比數(shù)列性性質質設設an是等差數(shù)列，若是等差數(shù)列，若stmn，則，則asataman；從等差數(shù)列中抽取等距從等差數(shù)列中抽取等距離的項組成的數(shù)列是一個離的項組成的數(shù)列是一個等差數(shù)列；等差數(shù)列；等差數(shù)列中連續(xù)等差數(shù)列中連續(xù)m項的項的和組成的新數(shù)列是等差數(shù)和組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，即：列，即：Sm，S2mSm，S3mS2m，是等差數(shù)列是等差數(shù)列設設an是等比數(shù)列，若是等比數(shù)列，若stmn，則，則asataman；從等比數(shù)列中抽取等距離從等比數(shù)列中抽取等距離的項組成的數(shù)列是一個等比的項組成的數(shù)列是一個等比數(shù)列；數(shù)列；等比數(shù)列中連續(xù)等比數(shù)列中連續(xù)m項的和項的和組成的新數(shù)列是等比數(shù)列，組成的新數(shù)列是等比數(shù)列，即：即：Sm，S2mSm，S3mS2m，是等比數(shù)列是等比數(shù)列(注意：注意：當當q1且且m為偶數(shù)時，不為偶數(shù)時，不是等比數(shù)列是等比數(shù)列)2 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法 (2)中項公式法：2an1anan2an是等差數(shù)列；an12anan2(an0)an是等比數(shù)列 (3)通項公式法：ananb(a，b是常數(shù))an是等差數(shù)列；ancqn(c，q為非零常數(shù))an是等比數(shù)列 (4)前n項和公式法：Snan2bn(a，b為常數(shù)，nN*)an是等差數(shù)列；Snaqna(a，q為常數(shù)，且a0，q0，q1，nN*)an是等比數(shù)列3專專題一題一數(shù)列通項公式的求法數(shù)列通項公式的求法 數(shù)列的通項公式是數(shù)列的核心之一，它如同函數(shù)中的解析式一樣，有解析式便可研究函數(shù)的性質，而有了數(shù)列的通項公式，便可求出數(shù)列中的任何一項及前n項和 常見的數(shù)列通項公式的求法有以下幾種： (1)觀察歸納法求數(shù)列的通項公式 就是觀察數(shù)列的特征，橫向看各項之間的關系結構，縱向看各項與序號n的內(nèi)在聯(lián)系，結合常見數(shù)列的通項公式，歸納出所求數(shù)列的通項公式 (2)利用公式法求數(shù)列的通項公式 數(shù)列符合等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義，求通項時，只需求出a1與d或a1與q，再代入公式ana1(n1)d或ana1qn1中即可 (3)利用an與Sn的關系求數(shù)列的通項公式 如果給出的條件是an與Sn的關系式，可利用 (4)利用累加法、累乘法求數(shù)列的通項公式 形如：已知a1，且an1anf(n)(f(n)是可求和數(shù)列)的形式均可用累加法； (5)構造法(利用數(shù)列的遞推公式研究數(shù)列的通項公式) 若由已知條件直接求an較難，可以通過整理變形等，從中構造出一個等差數(shù)列或等比數(shù)列，從而求出通項公式 已知數(shù)列an滿足an1an3n2且a12，求an. 解a2a1312， a3a2322， a4a3332， anan13(n1)2， 以上各項相加，得 ana13123(n1)2(n1)【例例1】【例例2】 已知數(shù)列an滿足an13an2(nN*)，a11，求通項公式 解an13an2可變?yōu)閍n113(an1)， 令bnan1，則bn13bn且b1a112， bn是以2為首項，以3為公比的等比數(shù)列 bn23n1， anbn123n11.【例例3】【例例4】 求數(shù)列的前n項和Sn通常要掌握以下方法： 公式法：直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，注 意對等比數(shù)列q1的討論 錯位相減法：主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導過程的推廣 分組轉化法：把數(shù)列的每一項分成兩項，使其轉化為幾個等差、等比數(shù)列再求和 裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項 倒序相加法：把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加(即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣)專專題題二二數(shù)列求和數(shù)列求和12345【例例5】【例例6】 求和Snx2x23x3nxn.【例例7】 數(shù)列是高中代數(shù)的重點內(nèi)容之一，也是高考的必考內(nèi)容及重點考查的范圍，它始終處在知識的交匯點上，如數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等其他知識交匯進行命題它包涵知識點多、思想豐富、綜合性強，已成為近年高考的一大亮點 專專題題三三數(shù)列的交匯問題數(shù)列的交匯問題【例例8】 已知單調遞增的等比數(shù)列已知單調遞增的等比數(shù)列an滿足滿足a2a3a428，且，且a32是是a2，a4的等差中項的等差中項(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式； Sn12222323n2n， 2Sn122223324(n1)2nn2n1， ，得Sn222232nn2n1 已知數(shù)列an的前n項和Sn2n22n，數(shù)列bn的前 n項和Tn2bn. (1)求數(shù)列an與bn的通項公式； (2)設cnan2bn，證明：當且僅當n3時，cn1cn. (1)解a1S14. 對于n2，有anSnSn12n(n1)2(n1)n4n. 綜上an的通項公式an4n. 將n1代入Tn2bn，得b12b1，故T1b11. (求bn)法一對于n2， 由Tn12bn1，Tn2bn 得bnTnTn1(bnbn1)，【例例9】 Tn221n(T12)21n， Tn221n，bnTnTn1(221n)(222n)21n. 綜上，bn的通項公式bn21n. (2)證明法一由cnan2bnn225n， 即cn1cn. 法二由cnan2bnn225n，得 cn1cn24n(n1)22n224n(n1)22 當且僅當n3時，cn1cn0， 即cn1cn. 數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，也是高考的考查重點，考查的內(nèi)容主要有兩個方面：第一方面是數(shù)列的基本概念；第二方面是數(shù)列的運算，即運用通項公式、前n項和公式以及數(shù)列的性質求數(shù)列的一些基本量的問題，在這部分內(nèi)容的考查中除了考查基礎知識以外，重點是考查靈活運用知識解決問題的能力命題趨勢命題趨勢1 在最近幾年高考試卷中，探索性題型在數(shù)列中考查較多，解決探索性題型應具備較高的數(shù)學思維能力，即觀察、分析、歸納和猜想問題的能力，研究與分析探索性題型有利于培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)造精神，另一方面，綜合題型在數(shù)列中考查比較多，這主要是因為綜合題是數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與解析幾何等知識的交匯點，具有較強的考查思維能力的功能可以預見的是：有關數(shù)列的綜合題型仍將是熱點和重點之一，應用題型在最近幾年試卷中也有所體現(xiàn)，所涉及的內(nèi)容很廣泛，要求學生有寬闊的知識面，能在相關知識背景中處理問題2