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2018-2019版高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式學案 新人教A版選修4-5.docx

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2018-2019版高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式學案 新人教A版選修4-5.docx

一二維形式的柯西不等式學習目標1.認識二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式和三角形式,理解它們的幾何意義.2.會用柯西不等式證明一些簡單的不等式,會求某些特定形式的函數(shù)的最值知識點二維形式的柯西不等式思考1(a2b2)(c2d2)與4abcd的大小關系如何?那么(a2b2)(c2d2)與(acbd)2的大小關系又如何?答案(a2b2)(c2d2)4abcd,(a2b2)(c2d2)(acbd)2.思考2當且僅當ab且cd時,(a2b2)(c2d2)4abcd,那么在什么條件下(a2b2)(c2d2)(acbd)2?答案當且僅當adbc時,(a2b2)(c2d2)(acbd)2.思考3若向量(a,b),向量(c,d),你能從向量的數(shù)量積與向量模的積之間的關系發(fā)現(xiàn)怎樣的不等式?答案|acbd|.梳理(1)二維形式的柯西不等式定理1:若a,b,c,d都是實數(shù),則(a2b2)(c2d2)(acbd)2,當且僅當adbc時,等號成立二維形式的柯西不等式的推論:|acbd|(a,b,c,dR);|ac|bd|(a,b,c,dR)(2)柯西不等式的向量形式定理2:設,是兩個向量,則|,當且僅當是零向量,或存在實數(shù)k,使k時,等號成立(3)二維形式的三角不等式定理3:(x1,y1,x2,y2R)當且僅當三點P1,P2與原點O在同一直線上,并且P1,P2點在原點O兩旁時,等號成立推論:對于任意的x1,x2,x3,y1,y2,y3R,有.事實上,在平面直角坐標系中,設點P1,P2,P3的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),根據(jù)P1P2P3的邊長關系有|P1P3|P2P3|P1P2|,當且僅當三點P1,P2,P3在同一直線上,并且點P1,P2在P3點的兩旁時,等號成立類型一利用柯西不等式證明不等式例1已知a1,a2,b1,b2R,求證:(a1b1a2b2)(a1a2)2.證明a1,a2,b1,b2R,(a1b1a2b2)2(a1a2)2.(a1b1a2b2)(a1a2)2.反思與感悟利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不等式時,有時需要將待證不等式進行變形,以具備柯西不等式的運用條件,這種變形往往要認真分析題目的特征,根據(jù)題設條件,利用添項、拆項、分解、組合、配方、數(shù)形結合等方法跟蹤訓練1已知為銳角,a,bR,求證:(ab)2.證明(cos2sin2)2(ab)2,(ab)2.例2若實數(shù)x,y,z滿足x24y2z23,求證:|x2yz|3.證明因為x24y2z23,所以由柯西不等式得x2(2y)2z2(121212)(x2yz)2.整理得(x2yz)29,即|x2yz|3.反思與感悟(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、積”,構造使用柯西不等式的條件(2)此類題也可以用三角不等式,把ABO的三個頂點分別設為O(0,0),A(x1,x2),B(y1,y2)即可跟蹤訓練2設a,b,c為正數(shù),求證:(abc)證明由柯西不等式知,ab,即ab,同理,bc,ac.將上面三個同向不等式相加,得()2(abc),(abc)類型二利用柯西不等式求最值例3若3x4y2,試求x2y2的最小值及最小值點解由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2,得25(x2y2)4,所以x2y2,當且僅當時等號成立,點(x,y)為所求最小值點,解方程組得因此,當x,y時,x2y2取得最小值,最小值為,最小值點為.反思與感悟利用柯西不等式求最值(1)先變形湊成柯西不等式的結構特征,是利用柯西不等式求解的前提條件;(2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式,但只要適當添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項,就可以應用柯西不等式來解,這也是運用柯西不等式解題的技巧;(3)有些最值問題的解決需要反復利用柯西不等式才能達到目的,但在運用過程中,每運用一次前后等號成立的條件必須一致,不能自相矛盾,否則就會出現(xiàn)錯誤多次反復運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一跟蹤訓練3已知a,bR,且9a24b218,求3a2b的最值解由柯西不等式,得(9a24b2)(1212)(3a2b)2,9a24b218,36(3a2b)2.|3a2b|6.當即或時等號成立當a1,b時,3a2b有最大值6.當a1,b時,3a2b有最小值6.1已知a,bR,a2b24,則3a2b的最大值為()A4B2C8D9答案B解析(a2b2)(3222)(3a2b)2,當且僅當3b2a時取等號,所以(3a2b)2413.所以3a2b的最大值為2.2已知a0,b0,且ab2,則()AabBabCa2b22Da2b23答案C解析(a2b2)(1212)(ab)24,a2b22.3設xy0,則的最小值為_答案9解析(12)29,當且僅當xy,即xy時,取等號最小值為9.4設a,b,m,nR,且a2b25,manb5,則的最小值為_答案解析(a2b2)(m2n2)(manb)225,m2n25.當且僅當anbm時取等號5已知a2b21,求證:|acosbsin|1.證明1a2b2(a2b2)(cos2sin2)(acosbsin)2,|acosbsin|1.1利用柯西不等式的關鍵是找出相應的兩組數(shù),應用時要對照柯西不等式的原形,進行多角度的嘗試2柯西不等式取等號的條件也不容易記憶,如(a2b2)(c2d2)(acbd)2等號成立的條件是adbc,可以把a,b,c,d看成等比,則adbc來聯(lián)想記憶一、選擇題1已知a,bR且ab1,則P(axby)2與Qax2by2的關系是()APQBPQCPQDPQ答案A解析設m(x,y),n(,),則|axby|mn|m|n|,(axby)2ax2by2.即PQ.2若a,bR,且a2b210,則ab的取值范圍是()A2,2B2,2C,D(,)答案A解析(a2b2)12(1)2(ab)2,a2b210,(ab)220.2ab2.3函數(shù)y2的最大值是()A.B.C3D5答案B解析根據(jù)柯西不等式知,y12(當且僅當x時取等號)4若3x22y21,則3x2y的取值范圍是()A0, B,0C, D5,5答案C解析(3x2y)25(3x22y2)5,3x2y.5已知a,b,c,d,m,nR,P,Q,則P與Q的大小關系為()APQBPQCPQDPQ答案A解析PQ.PQ.6已知a,b0,且ab1,則()2的最大值是()A2B.C6D12答案D解析()2(11)2(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12,當且僅當,即ab時等號成立二、填空題7設實數(shù)x,y滿足3x22y26,則P2xy的最大值為_答案解析由柯西不等式,得(2xy)2(x)2(y)2(3x22y2)611,所以2xy.8設x,yR,則(xy)的最小值是_答案52解析(xy)2()252,當且僅當時,等號成立9已知x0,y0,且1,則2xy的最小值為_答案32解析2xy(2xy)()2()2232,當且僅當時,等號成立,又1,則此時10已知函數(shù)f(x)34,則函數(shù)f(x)的最大值為_答案5解析由柯西不等式知,(34)2(3242)()2()225.當且僅當34時,等號成立,因此f(x)5.11函數(shù)f(x)3cosx4的最大值為_答案5解析設m(3,4),n(cosx,),則f(x)3cosx4mn|m|n|5.當且僅當mn時,上式取“”此時,34cosx0.解得sinx,cosx.故當sinx,cosx時f(x)3cosx4取得最大值5.12已知關于x的不等式|xa|b的解集為x|2x4則的最大值為_答案4解析由|xa|b,得baxba,則解得a3,b1.又24,當且僅當,即t1時等號成立,故()max4.三、解答題13設a,bR,且ab2.求證:2.證明根據(jù)柯西不等式,有(2a)(2b)()2()22(ab)24.2.原不等式成立四、探究與拓展14若ab1,則22的最小值為()A1B2C.D.答案C解析22a22b22.ab1,a2b2(a2b2)(11)(ab)2.又8,以上兩個不等式都是當且僅當ab時,等號成立22228,當且僅當ab時等號成立15已知a,b(0,),ab1,x1,x2(0,)求證:(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.證明由a,b(0,),ab1,x1,x2(0,),及柯西不等式,可得(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2()2()2(ab)2x1x2,當且僅當,即x1x2時取得等號所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.

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