金版教程高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專題整合突破 專題一集合、常用邏輯用語 第三講 不等式及線性規(guī)劃 Word版含解析

第三講不等式及線性規(guī)劃 必記公式1a2b22ab(取等號(hào)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)ab)2ab2(a，bR)3. (a>0，b>0)42(a2b2)(ab)2(a，bR，當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)重要結(jié)論1不等式的四個(gè)性質(zhì)注意不等式的乘法、乘方與開方對(duì)符號(hào)的要求，如(1)a>b，c>0ac>bc，a>b，c<0ac<bc.(2)a>b>0，c>d>0ac>bd.(3)a>b>0an>bn(nN，n1)(4)a>b>0>(nN，n2)2四類不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc>0(a0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集(2)簡(jiǎn)單分式不等式的解法>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)；0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.(3)簡(jiǎn)單指數(shù)不等式的解法當(dāng)a>1時(shí)，af(x)>ag(x)f(x)>g(x)；當(dāng)0<a<1時(shí)，af(x)>ag(x)f(x)<g(x)(4)簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式的解法當(dāng)a>1時(shí)，logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0；當(dāng)0<a<1時(shí)，logaf(x)>logag(x)f(x)<g(x)且f(x)>0，g(x)>0.3判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域的方法在直線AxByC0的某一側(cè)任取一點(diǎn)(x0，y0)，通過Ax0By0C的符號(hào)來判斷AxByC>0(或AxByC<0)所表示的區(qū)域失分警示1忽略限制條件致誤：應(yīng)用不等式的性質(zhì)時(shí)，要注意限制條件2注意符號(hào)成立的條件：用基本不等式求最值時(shí)，若連續(xù)進(jìn)行放縮，只有各等號(hào)成立的條件保持一致時(shí)，結(jié)論的等號(hào)才成立3忽略基本不等式求最值的條件致誤：利用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”，三個(gè)條件缺一不可4解分式不等式時(shí)，直接把分母乘到另一邊，不注意分母的取值范圍致誤5線性目標(biāo)函數(shù)的斜率與可行域的邊界斜率大小分不清6yx中截距符號(hào)弄反，導(dǎo)致平移時(shí)上下方向錯(cuò)誤 考點(diǎn)不等式的性質(zhì)及解法典例示法典例1(1)2016合肥質(zhì)檢函數(shù)f(x)x23xa，g(x)2xx2，若f(g(x)0對(duì)x0,1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Ae，) Bln 2，)C2，) D.解析本題主要考查二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)如圖所示，在同一坐標(biāo)系中畫出yx21，y2x，yx2的圖象，由圖象可知，在0,1上，x212x<x2恒成立，即12xx2<，當(dāng)且僅當(dāng)x0或x1時(shí)等號(hào)成立，1g(x)<，f(g(x)0f(1)013a0a2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是2，)，故選C.答案C(2)2014山東高考已知實(shí)數(shù)x，y滿足ax<ay(0<a<1)，則下列關(guān)系式恒成立的是()A.> Bln (x21)>ln (y21)Csinx>siny Dx3>y3解析因?yàn)?<a<1，ax<ay，所以x>y.對(duì)于選項(xiàng)A，取x2，y1，則<，顯然A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，取x1，y2，則ln (x21)<ln (y21)，顯然B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，取x，y，則sin>sin，顯然C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若x>y，則x3>y3一定成立，故選D.答案D求解不等式的方法(1)對(duì)于一元二次不等式，應(yīng)先化為一般形式ax2bxc>0(a0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集(2)解簡(jiǎn)單的分式、指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的基本思想是把它們等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解(3)解決含參數(shù)不等式的難點(diǎn)在于對(duì)參數(shù)的恰當(dāng)分類，關(guān)鍵是找到對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論的原因，確定好分類標(biāo)準(zhǔn)，有理有據(jù)、層次清楚地求解針對(duì)訓(xùn)練12016石家莊質(zhì)檢(二)函數(shù)f(x)若f(x0)，則x0的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析當(dāng)0x0<1時(shí)，2x0，x0log2，0x0log2.當(dāng)1x02時(shí)，42x0，x0，x02，故選C.22014江蘇高考已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案解析要滿足f(x)x2mx1<0對(duì)于任意xm，m1恒成立，只需即解得<m<0.考點(diǎn)基本不等式的應(yīng)用典例示法題型1利用基本不等式求最值典例22015湖南高考若實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的最小值為()A. B2C2 D4解析解法一：由已知得，且a>0，b>0，abb2a2，當(dāng)且僅當(dāng)b2a時(shí)成立，ab2.解法二：由題設(shè)易知a>0，b>0，2，即ab2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，選C.答案C題型2基本不等式的綜合應(yīng)用典例3已知點(diǎn)A(0，1)，B(3,0)，C(1,2)，平面區(qū)域P是由所有滿足(2<m,2<n)的點(diǎn)M組成的區(qū)域，若區(qū)域P的面積為16，則mn的最小值為_解析由題意知(3,1)，(1,3)，(2,2)，所以cosA，sinA.如圖，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)G，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使m，n，且2，2，作DKAB，EQAB，F(xiàn)TAC，GQAC，則四邊形AFHD、四邊形AGQE、四邊形HKQT都是平行四邊形由題意可知點(diǎn)M組成的區(qū)域P為圖中的陰影部分，即四邊形HKQT及其內(nèi)部，所以四邊形HKQT的面積為|HK|HT|sinA(m2)(n2)16，即(m2)(n2)2，mn2m2n20，即2(mn)mn2，因?yàn)?(mn)mn222，所以(mn)28(mn)80，所以mn42或mn42(舍)，即mn的最小值是42，此時(shí)mn2.答案42利用基本不等式解題應(yīng)關(guān)注三方面(1)利用基本不等式求最值的注意點(diǎn)在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，必須保證“一正，二定，三相等”，湊出定值是關(guān)鍵若兩次連用基本不等式，要注意等號(hào)的取得條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)(2)求條件最值問題的兩種方法一是借助條件轉(zhuǎn)化為所學(xué)過的函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù))，借助于函數(shù)單調(diào)性求最值；二是可考慮通過變形直接利用基本不等式解決(3)結(jié)構(gòu)調(diào)整與應(yīng)用基本不等式基本不等式在解題時(shí)一般不能直接應(yīng)用，而是需要根據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結(jié)合點(diǎn)”，即把研究對(duì)象化成適用基本不等式的形式，常見的轉(zhuǎn)化方法有xxaa(x>a)若1，則mxny(mxny)1(mxny)manb2(字母均為正數(shù))分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值.即化為ymf(A,g(x)Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來求最值.考點(diǎn)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題典例示法題型1知約束條件求目標(biāo)函數(shù)最值典例42016天津高考設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z2x5y的最小值為()A4 B6C10 D17解析解法一：如圖，已知約束條件所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中所示的三角形區(qū)域ABC(包含邊界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，可知當(dāng)直線yx過點(diǎn)B(3,0)時(shí)，z取得最小值23506.解法二：由題意知，約束條件所表示的平面區(qū)域的頂點(diǎn)分別為A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入z2x5y，得z10,6,17，故z的最小值為6.答案B題型2知最值求參數(shù)典例52015山東高考已知x，y滿足約束條件若zaxy的最大值為4，則a()A3 B2C2 D3解析畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)zaxy的最大值為4，即目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線與可行域有公共點(diǎn)時(shí)，在y軸上的截距的最大值為4，作出過點(diǎn)D(0,4)的直線，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)B(2,0)處取得最大值，故有a204，解得a2.故選B.答案B解決線性規(guī)劃問題應(yīng)關(guān)注三方面(1)首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決(2)畫可行域時(shí)應(yīng)注意區(qū)域是否包含邊界 (3)對(duì)目標(biāo)函數(shù)zAxBy中B的符號(hào)，一定要注意B的正負(fù)與z的最值的對(duì)應(yīng)，要結(jié)合圖形分析提醒：目標(biāo)函數(shù)是線性時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義與直線的截距有關(guān)；若目標(biāo)函數(shù)形如z，可考慮(x，y)與(a，b)兩點(diǎn)連線的斜率；若目標(biāo)函數(shù)形如z(xa)2(yb)2，可考慮(x，y)與(a，b)兩點(diǎn)距離的平方全國(guó)卷高考真題調(diào)研12015全國(guó)卷若x，y滿足約束條件則的最大值為_答案3解析作出可行域如圖中陰影部分所示，由可行域知，在點(diǎn)A(1,3)處，取得最大值3.22016全國(guó)卷某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為_元答案216000解析由題意，設(shè)產(chǎn)品A生產(chǎn)x件，產(chǎn)品B生產(chǎn)y件，利潤(rùn)z2100x900y，線性約束條件為作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，又由xN，yN，可知取得最大值時(shí)的最優(yōu)解為(60,100)，所以zmax210060900100216000(元)其它省市高考題借鑒32016山東高考若變量x，y滿足則x2y2的最大值是()A4 B9C10 D12答案C解析作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，設(shè)P(x，y)為平面區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)，則x2y2表示|OP|2.顯然，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，|OP|2，即x2y2取得最大值由解得故A(3，1)所以x2y2的最大值為32(1)210.故選C.42015陜西高考設(shè)f(x)ln x,0<a<b，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是()Aqr<p Bpr<qCqr>p Dpr>q答案B解析0<a<b，>，又f(x)ln x在(0，)上單調(diào)遞增，故f()<f，即q>p，r(f(a)f(b)(ln aln b)lnfp，pr<q.故選B.52014四川高考若a>b>0，c<d<0，則一定有()A.> B.<C.> D.<答案D解析解法一：c<d<0cd>0<<0<<0><.解法二：依題意取a2，b1，c2，d1，代入驗(yàn)證得A、B、C均錯(cuò)，只有D正確62014上海高考若實(shí)數(shù)x，y滿足xy1，則x22y2的最小值為_答案2解析x22y222xy2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取“”，x22y2的最小值為2. 一、選擇題12016青海西寧二模已知a，b，cR，那么下列命題中正確的是()A若a>b，則ac2>bc2B若>，則a>bC若a3>b3且ab<0，則>D若a2>b2且ab>0，則<答案C解析當(dāng)c0時(shí)，可知A不正確；當(dāng)c<0時(shí)，可知B不正確；對(duì)于C，由a3>b3且ab<0知a>0且b<0，所以>成立，C正確；當(dāng)a<0且b<0時(shí)，可知D不正確22016北京平谷統(tǒng)考已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，有下列命題：若ab>0，bcad>0，則>0；若ab>0，>0，則bcad>0；若bcad>0，>0，則ab>0.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3答案D解析對(duì)于，ab>0，bcad>0，>0，正確；對(duì)于，ab>0，又>0，即>0，bcad>0，正確；對(duì)于，bcad>0，又>0，即>0，ab>0，正確故選D.32015浙江金華期中若對(duì)任意的x0,1，不等式1kx1lx恒成立，則一定有()Ak0，l Bk0，lCk，l Dk，l答案D解析當(dāng)k1且x0,1時(shí)，1kx1x1,2，不等式1kx不恒成立，可排除A、B；當(dāng)k且x0,1時(shí)，1kx1x，不等式1kx不恒成立，排除C，故選D.4已知函數(shù)f(x)若|f(x)|ax，則a的取值范圍是()A(，0 B(，1C2,1 D2,0答案D解析由題意作出y|f(x)|的圖象：當(dāng)a>0時(shí)，yax與yln (x1)的圖象在x>0時(shí)必有交點(diǎn)，所以a0.當(dāng)x0時(shí)，|f(x)|ax顯然成立；當(dāng)x<0時(shí)，|f(x)|x22x，|f(x)|ax恒成立ax2恒成立，又x2<2，a2.2a0，故選D.5已知函數(shù)f(x)則不等式f(x)x2的解集為()A1,1 B2,2C2,1 D1,2答案A解析解法一：當(dāng)x0時(shí)，x2x2，1x0，當(dāng)x>0時(shí)，x2x2，0<x1.由得原不等式的解集為x|1x1解法二：作出函數(shù)yf(x)和函數(shù)yx2的圖象，如圖，由圖知f(x)x2的解集為1,16已知a>0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a()A. B.C1 D2答案B解析畫出可行域，如圖所示，由得A(1，2a)，則直線yz2x過點(diǎn)A(1，2a)時(shí)，z2xy取最小值1，故212a1，解得a.72015陜西高考某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為()甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128A.12萬元 B16萬元C17萬元 D18萬元答案D解析設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，每天獲得的利潤(rùn)為z萬元，則有z3x4y，由題意得x，y滿足：不等式組表示的可行域是以O(shè)(0,0)，A(4,0)，B(2,3)，C(0,4)為頂點(diǎn)的四邊形及其內(nèi)部根據(jù)線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)，知當(dāng)直線3x4yz0過點(diǎn)B(2,3)時(shí)，z取最大值18，故該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為18萬元82016山東濰坊模擬一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c(0,1)，已知他投籃一次得分的均值為2，的最小值為()A. B.C. D.答案D解析由題意得3a2b2，3 32，當(dāng)且僅當(dāng)a，b時(shí)取等號(hào)故選D.92016蘭州雙基過關(guān)已知AC、BD為圓O：x2y24的兩條互相垂直的弦，且垂足為M(1，)，則四邊形ABCD 面積的最大值為()A5 B10C15 D20答案A解析如圖，作OPAC于P，OQBD于Q，則OP2OQ2OM23，AC2BD24(4OP2)4(4OQ2)20.又AC2BD22ACBD，則ACBD10，S四邊形ABCDACBD105，當(dāng)且僅當(dāng)ACBD時(shí)等號(hào)成立，四邊形ABCD面積的最大值為5.102016山東菏澤一模已知直線axbyc10(b，c>0)經(jīng)過圓x2y22y50的圓心，則的最小值是()A9 B8C4 D2答案A解析圓x2y22y50化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得x2(y1)26，所以圓心為C(0,1)因?yàn)橹本€axbyc10經(jīng)過圓心C，所以a0b1c10，即bc1.因此(bc)5.因?yàn)閎，c>0，所以2 4.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立由此可得b2c，且bc1，即b，c時(shí)，取得最小值9.二、填空題11已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x24x.那么，不等式f(x2)<5的解集是_答案(7,3)解析f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(|x|)又x0時(shí)，f(x)x24x，不等式f(x2)<5f(|x2|)<5|x2|24|x2|<5(|x2|5)(|x2|1)<0|x2|5<0|x2|<55<x2<57<x<3.故解集為(7,3)122016遼寧五校聯(lián)考設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)zaxby(a>0，b>0)的最大值為10，則a2b2的最小值為_答案解析因?yàn)閍>0，b>0，所以由可行域得，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zaxby過點(diǎn)(4,6)時(shí)取最大值，則4a6b10.a2b2的幾何意義是直線4a6b10上任意一點(diǎn)到點(diǎn)(0,0)的距離的平方，那么最小值是點(diǎn)(0,0)到直線4a6b10距離的平方，即a2b2的最小值是.132015遼寧沈陽質(zhì)檢若直線l：1(a>0，b>0)經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，則直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值是_答案32解析直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b.求直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值即求ab的最小值由直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,2)得1.于是ab(ab)1(ab)3，因?yàn)? 2，所以ab32.142016廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬已知函數(shù)f(x)若對(duì)任意的xR，不等式f(x)m2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案1，)解析對(duì)于函數(shù)f(x)當(dāng)x1時(shí)，f(x)2；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)logx<0.則函數(shù)f(x)的最大值為.則要使不等式f(x)m2m恒成立，則m2m恒成立，即m或m1.