2019年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第1章 三角形的證明 2 直角三角形教案 （新版）北師大版.doc

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2　直角三角形 第1課時(shí)　直角三角形的性質(zhì)與判定 教學(xué)目標(biāo) 一、基本目標(biāo) 1．掌握勾股定理及其逆定理，并能應(yīng)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問題． 2．結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，明確原命題成立，其逆命題不一定成立． 二、重難點(diǎn)目標(biāo) 【教學(xué)重點(diǎn)】 掌握直角三角形的性質(zhì)定理(勾股定理)及判定定理的證明方法． 【教學(xué)難點(diǎn)】 運(yùn)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問題． 教學(xué)過程 環(huán)節(jié)1　自學(xué)提綱，生成問題 【5 min閱讀】 閱讀教材P14～P16的內(nèi)容，完成下面練習(xí)． 【3 min反饋】 (一)直角三角形的性質(zhì)與判定 1．直角三角形的兩個(gè)銳角互余．反之，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形． 2．勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方． 3．如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形． 4．下列四組線段中，能組成直角三角形的是(　D　) A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3 B．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4 C．a(chǎn)＝2，b＝4，c＝5 D．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5 5．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90，若b＝5，c＝13，則a＝12；若a＝8，b＝6，則c＝10. (二)命題與逆命題 1．在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題． 2．如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ恚? 環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題 活動(dòng)1　小組討論(師生互學(xué)) 【例1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，AB＝13 cm，BC＝5 cm，CD⊥AB于點(diǎn)D.求： (1)AC的長(zhǎng)； (2)△ABC的面積； (3)CD的長(zhǎng)． 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)觀察圖形與已知條件，利用勾股定理求AC的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式計(jì)算△ABC的面積，利用等面積法求CD的長(zhǎng)． 【解答】(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90，AB＝13 cm，BC＝5 cm，∴AC＝＝12 cm. (2)S△ABC＝CBAC＝30 cm2. (3)∵S△ABC＝ACBC＝CDAB， ∴CD＝＝ cm. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))解此類題時(shí)，一般是先利用勾股定理求出第三邊，利用兩種方法表示出同一個(gè)直角三角形的面積，然后根據(jù)面積相等得出一個(gè)方程，再解這個(gè)方程即可． 【例2】寫出下列各命題的逆命題，并判斷其逆命題是真命題還是假命題． (1)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)； (2)垂直于同一條直線的兩直線平行； (3)相等的角是內(nèi)錯(cuò)角； (4)有一個(gè)角是60的三角形是等邊三角形． 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)什么是逆命題？逆命題一定是真命題嗎？ 【解答】(1)逆命題：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．該逆命題是真命題． (2)逆命題：如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一條直線(在同一平面內(nèi))．該逆命題是真命題． (3)逆命題：內(nèi)錯(cuò)角相等．該逆命題是假命題． (4)逆命題：等邊三角形有一個(gè)角是60.該逆命題是真命題． 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))逆命題的條件是原命題的結(jié)論，逆命題的結(jié)論是原命題的條件． 【例3】如圖，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝AD，求證：CE⊥EF. 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)觀察圖形，要證CE⊥EF，考慮證△CFE是直角三角形．結(jié)合已知條件，可考慮利用勾股定理的逆定理進(jìn)行證明． 【證明】如題圖，連結(jié)CF，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4.∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，AF＝AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3，∴由勾股定理，得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，F(xiàn)C2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90，即EF⊥CE. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))利用勾股定理的逆定理可以判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形，所以此定理也是判定垂直關(guān)系的一個(gè)主要方法． 活動(dòng)2　鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué)) 1．具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是(　D　) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C 2．如圖，正方形網(wǎng)格中有△ABC，若小方格邊長(zhǎng)為1，則△ABC的形狀為(　A　) A．直角三角形　 B．銳角三角形 C．鈍角三角形　 D．以上答案都不對(duì) 3．命題“全等三角形的周長(zhǎng)相等”的逆命題是周長(zhǎng)相等的三角形是全等三角形． 4．如圖所示，以Rt△ABC的三條邊為邊長(zhǎng)分別向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，且S1＝4，S2＝8，則S3＝ 12. 5．如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高． (1)求證：∠ACD＝∠B； (2)若AC＝3，BC＝4，AB＝5，則求CD的長(zhǎng)． (1)證明：∵CD是Rt△ABC斜邊上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝90，∴∠A＋∠ACD＝∠A＋∠B＝90，∴∠ACD＝∠B. (2)解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，ABCD＝ACBC，∴CD＝＝＝. 活動(dòng)3　拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué)) 【例4】如圖所示，在等腰直角三角形OAA1中，∠OAA1＝90，OA＝1，以O(shè)A1為直角邊作等腰直角三角形OA1A2，以O(shè)A2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，…，則OAn的長(zhǎng)度為______． 【互動(dòng)探索】∵△OAA1為等腰直角三角形，OA＝1，∴OA1＝OA＝.∵△OA1A2為等腰直角三角形，∴OA2＝OA1＝2＝()2.∵△OA2A3為等腰直角三角形，∴OA3＝OA2＝2＝()3.∵△OA3A4為等腰直角三角形，∴OA4＝OA3＝4＝()4，…，∴OAn＝OAn－1＝()n. 【答案】()n 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵． 環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo) (學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)) 1．直角三角形的性質(zhì)：(1)直角三角形的兩個(gè)銳角互余；(2)直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方(勾股定理)． 2．直角三角形的判定 3．逆命題：在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題． 4．如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ恚? 練習(xí)設(shè)計(jì) 請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！ 第2課時(shí) 直角三角形全等的判斷 教學(xué)目標(biāo) 一、基本目標(biāo) 1．能夠證明直角三角形全等的“HL”定理，并能利用“HL”定理解決實(shí)際問題． 2．進(jìn)一步掌握推理證明的方法，提升演繹推理能力和思維能力． 二、重難點(diǎn)目標(biāo) 【教學(xué)重點(diǎn)】 直角三角形全等的判定方法． 【教學(xué)難點(diǎn)】 直角三角形全等的判定的應(yīng)用． 教學(xué)過程 環(huán)節(jié)1　自學(xué)提綱，生成問題 【5 min閱讀】 閱讀教材P18～P20的內(nèi)容，完成下面練習(xí)． 【3 min反饋】 1．證明三角形全等的方法有：AAS 、ASA、SAS、SSS. 2．斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等．這一定理可以簡(jiǎn)述為“斜邊、直角邊”或“HL”． 3．如圖，∠BAD＝∠BCD＝90，AB＝CB，可以證明△BAD≌△BCD的理由是(　A　) A．HL　 B．ASA C．SAS　 D．AAS 4．下列條件中能判定兩個(gè)直角三角形全等的有(　D　) ①有兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等；②有兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等；③有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等；④有一條直角邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等；⑤有斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等；⑥有兩條邊相等． A．6個(gè)　 B．5個(gè)　　 C．4個(gè)　 D．3個(gè) 環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題 活動(dòng)1　小組討論(師生互學(xué)) 【例1】如圖，已知∠A＝∠D＝90，E、F在線段BC上，DE與AF交于點(diǎn)O，且AB＝CD，BE＝CF.求證：Rt△ABF≌Rt△DCE. 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)證明三角形全等的方法有哪些？已知兩邊對(duì)應(yīng)相等可以尋找哪些條件證明三角形全等？ 【證明】∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90，∴△ABF與△DCE都為直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵ ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)． 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))利用“HL”判定三角形全等，首先要判定這兩個(gè)三角形是直角三角形，然后找出對(duì)應(yīng)的斜邊和直角邊相等即可． 【例2】如圖，已知AD、AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，若AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE. 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)從圖中可以知道，要證BC＝BE，可以從三角形全等入手．觀察圖形判斷Rt△ADC和Rt△AFE全等嗎？Rt△ABD和Rt△ABF呢？ 【證明】∵AD、AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，∴∠D＝∠F＝90.在Rt△ADC和Rt△AFE中，∵∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴CD＝EF.在Rt△ABD和Rt△ABF中，∵∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴BD＝BF，∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))證明線段相等可通過證明三角形全等解決．直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件． 活動(dòng)2　鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué)) 1．下列條件中能說明兩個(gè)直角三角形全等的是(　D　) A．銳角分別相等 B．一條直角邊分別相等 C．斜邊分別相等 D．兩直角邊分別相等 2．如圖所示，AB∥EF∥DC，∠ABC＝90 ，AB＝DC，那么圖中共有全等三角形(　C　) A．5對(duì)　 B．4對(duì)　　 C．3對(duì)　 D．2對(duì) 3．在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D＝90，再補(bǔ)充一個(gè)條件BC＝EF(答案不唯一)，便可得Rt△ABC≌Rt△DEF. 4．如圖，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90，EF過點(diǎn)C，BE⊥EF于點(diǎn)E，DF⊥EF于點(diǎn)F，BE＝DF. 求證：Rt△BCE≌Rt△DCF. 證明：連結(jié)BD.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ABC＝∠ADC＝90，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC.∵BE⊥EF，DF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90.在Rt△BCE和Rt△DCF中，∵ ∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)． 活動(dòng)3　拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué)) 【例3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.點(diǎn)P、Q分別在線段AC和過點(diǎn)A且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合，那么當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，才能使△ABC與△APQ全等？ 【互動(dòng)探索】本題要分情況討論：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此時(shí)AP＝BC＝10，可據(jù)此求出點(diǎn)P的位置；(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此時(shí)AP＝AC，P、C重合，不合題意． 【解答】分情況討論：(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AP＝BC時(shí)，在Rt△ABC和Rt△QPA中，∠C＝∠QAP＝90，BC＝AP，AB＝PQ，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，即AP＝BC＝10；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，AP＝AC，不合題意．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)A為10時(shí)，△ABC與△APQ全等． 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))判定三角形全等的關(guān)鍵是找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，由于本題沒有說明全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，因此要分類討論，以免漏解． 環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo) (學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)) 直角三角形全等的判定定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等．這一定理可以簡(jiǎn)述為“斜邊、直角邊”或“HL”． 練習(xí)設(shè)計(jì) 請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！