高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)選修4 第6講 不等式的證明

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1、 精品資料 第6講　不等式的證明 1．求證：＋＋…＋<2(n∈R*)． 證明 ∵<＝－， ∴＋＋…＋<1＋(1－)＋(－)＋…＋(－) ＝1＋(1－)＝2－<2. 2．已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值． 解　∵(x2＋2y2＋3z2) ≥2＝(3x＋2y＋z)2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y＝9z時(shí)，等號(hào)成立．∴(3x＋2y＋z)2≤12， 即－2≤3x＋2y＋z≤2. 當(dāng)x＝－，y＝－，z＝－時(shí)， 3x＋2y＋z＝－2，∴最小值為－2. 3．設(shè)正實(shí)數(shù)a、b滿足a2＋ab－1＋b－2＝3，求證：a＋b－

2、1≤2. 證明　由a2＋ab－1＋b－2＝3，得ab－1＝(a＋b－1)2－3， 又正實(shí)數(shù)a、b滿足a＋b－1≥2， 即ab－1≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”． ∴(a＋b－1)2－3≤，∴a＋b－1≤2. 4．已知an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，求證：n， ∴an＝＋＋…＋>1＋2＋3＋…＋n＝. ∵<， ∴an<＋＋＋…＋ ＝＋(2＋3＋…＋n)＋＝. 綜上得：

3、 將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2， 得＋＋≥＋＋. 6．已知a、b都是正實(shí)數(shù)，且ab＝2.求證：(1＋2a)(1＋b)≥9. 證明　法一　因?yàn)閍、b都是正實(shí)數(shù)，且ab＝2， 所以2a＋b≥2＝4. 所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab≥9. 法二　因?yàn)閍、b都是正實(shí)數(shù)， 所以由柯西不等式可知 (1＋2a)(1＋b)＝[12＋()2][12＋()2]≥(1＋)2. 又ab＝2，所以(1＋)2＝9.所以(1＋2a)(1＋b)≥9. 法三　因?yàn)閍b＝2， 所以(1＋2a)(1＋b)＝(1＋2a)＝5＋2. 因?yàn)閍為正實(shí)數(shù)，所以a＋≥2 ＝2. 所以(1＋

4、2a)(1＋b)≥9. 法四　因?yàn)閍、b都是正實(shí)數(shù)，所以(1＋2a)(1＋b)＝(1＋a＋a)≥33＝9. 又ab＝2，所以(1＋2a)(1＋b)≥9. 7．設(shè)實(shí)數(shù)x、y、z滿足x＋2y－3z＝7，求x2＋y2＋z2的最小值． 證明　由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)[12＋22＋(－3)2]≥(x＋2y－3z)2. ∵x＋2y－3z＝7，∴x2＋y2＋z2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝時(shí)取等號(hào)， 即x＝，y＝1，z＝－時(shí)取等號(hào)． ∴x2＋y2＋z2的最小值為. 8．已知m、n是正數(shù)，證明：＋≥m2＋n2. 證明　∵＋－m2－n2＝＋ ＝＝， ∵m、n均為正實(shí)數(shù)， ∴≥0，∴

5、＋≥m2＋n2. 當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)，等號(hào)成立． 9．已知a、b、c滿足abc＝1，求證：(a＋2)(b＋2)(c＋2)≥27. 證明　(a＋2)(b＋2)(c＋2)＝(a＋1＋1)(b＋1＋1)(c＋1＋1)≥333＝27＝27. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)等號(hào)成立． 10．已知x、y、z均為正數(shù)，求證： ≤ . 證明　由柯西不等式，得 (12＋12＋12)≥2. 即 ≥＋＋. ∴≤ . 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)等號(hào)成立． 11．已知a，b為實(shí)數(shù)，且a>0，b>0. (1)求證：≥9； (2)求(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2的最小值． (1)證明　因?yàn)閍>0，b>0，

6、 所以a＋b＋≥3＝3>0， ① 同理可證：a2＋＋≥3>0. ② 由①②及不等式的性質(zhì)得 ＝33＝9. (2)解　[(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2][12＋12＋22] ≥[(5－2a)1＋2b1＋(a－b)2]2. 所以(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)取等號(hào)，即a＝，b＝. 所以當(dāng)a＝，b＝時(shí)，(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2取最小值. 12．已知a，b為正實(shí)數(shù)． (1)求證：＋≥a＋b； (2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)y＝＋(00，b>0， ∴(a＋b)＝a2＋b2＋＋ ≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2. ∴＋≥a＋b，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立． 法二　∵＋－(a＋b)＝ ＝＝ ＝. 又∵a>0，b>0，∴≥0， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．∴＋≥a＋b. (2)解　∵00， 由(1)的結(jié)論，函數(shù)y＝＋≥(1－x)＋x＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)1－x＝x，即x＝時(shí)等號(hào)成立． ∴函數(shù)y＝＋(0