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新編高中數(shù)學(xué)北師大版選修21:第2章 單元綜合檢測(cè)2 Word版含解析

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新編高中數(shù)學(xué)北師大版選修21:第2章 單元綜合檢測(cè)2 Word版含解析

新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料第二章單元綜合檢測(cè)(二)(時(shí)間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,等于()A BC D解析:.答案:A2若向量a,b是平面內(nèi)的兩個(gè)不相等的非零向量,非零向量c在直線l上,則c·a0且b·c0是l的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析:用向量的數(shù)量積考查線線垂直與線面垂直當(dāng)ab時(shí),由c·a0且c·b0得不出l;反之,由l一定有c·a0且c·b0,故選B.答案:B32014·山東省濟(jì)寧市質(zhì)檢已知向量a(2,3,5)與b(4,x,y)平行,則x,y的值分別為()A6和10 B6和10C6和10 D6和10解析:本題主要考查空間兩向量平行的坐標(biāo)表示因?yàn)橄蛄縜(2,3,5)與b(4,x,y)平行,所以,解得x6,y10,故選B.答案:B42014·四川省成都七中期末考試已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0,1),平行于向量a(2,1,1),平面過(guò)直線l與點(diǎn)M(1,2,3),則平面的法向量不可能是()A(1,4,2) B(,1,)C(,1,) D(0,1,1)解析:本題主要考查平面的法向量因?yàn)?0,2,4),直線l平行于向量a,若n是平面的法向量,則必須滿足,把選項(xiàng)代入驗(yàn)證,只有選項(xiàng)D不滿足,故選D.答案:D5已知a(cos,1,sin),b(sin,1,cos),則向量ab與ab的夾角是()A90° B60°C30° D0°解析:因?yàn)閨a|b|,所以(ab)·(ab)a2b2|a|2|b|20,則(ab)(ab)答案:A6如右圖所示,在四棱錐SABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論:0;0;0;··;·0,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A1 B2C3 D4解析:因?yàn)?,所以正確;又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,SASBSCSD2,所以·2×2×cosASB,·2×2×cosCSD,而ASBCSD,于是··,因此正確,其余三個(gè)都不正確答案:B7空間四邊形ABCD的各邊及對(duì)角線長(zhǎng)均為1,E是BC的中點(diǎn),則()A·<·B··C·>·D·與·不能比較大小解析:如右圖,易證AEBC,故·0,取BD中點(diǎn)F,連接EF,AF,則EFCD.在AEF中,AEAF,EF,得AEF是銳角,所以,是鈍角,即,是鈍角,所以·<0,故選C.答案:C8在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,M、N分別是棱BB1、B1C1的中點(diǎn),若CMN90°,則異面直線AD1與DM所成的角為()A30° B45°C60° D90°解析:建立如圖所示坐標(biāo)系設(shè)ABa,ADb,AA1c,則A1(b,0,0),A(b,0,c),C1(0,a,0),C(0,a,c),B1(b,a,0),D(0,0,c),N,M.CMN90°,··b2c20,cb.·(b,0,b)·b2b20,AD1DM,即異面直線AD1與DM所成的角為90°.答案:D92014·陜西省高新一中期末考試如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1,AB1,BC2,AA13,則點(diǎn)B到直線A1C的距離為()A BC D1解析:本題主要考查空間點(diǎn)到直線的距離過(guò)點(diǎn)B作BE垂直A1C,垂足為E,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,y,z),則A1(0,0,3),B(1,0,0),C(1,2,0),(1,2,3),(x,y,z3),(x1,y,z)因?yàn)?,所以,解得,所?,),所以點(diǎn)B到直線A1C的距離|,故選B.答案:B102014·安徽省合肥一中月考設(shè)OABC是四面體,G1是ABC的重心,G是OG1上的一點(diǎn),且OG3GG1,若xyz,則(x,y,z)為()A(,)B(,)C(,)D(,)解析:本題主要考查空間向量的基本定理因?yàn)镚1是ABC的重心,所以×()()(2),因G是OG1上的一點(diǎn),且OG3GG1,所以()×(2)(2),所以xyz,故選A.答案:A11在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A BC D解析:以A為原點(diǎn)建系,設(shè)棱長(zhǎng)為1.則A1(0,0,1),E(1,0,),D(0,1,0),(0,1,1),(1,0,)設(shè)平面A1ED的法向量為n1(1,y,z),則n1(1,2,2),平面ABCD的一個(gè)法向量為n2(0,0,1)cosn1,n2.即所成的銳二面角的余弦值為.答案:B12如右圖,四棱錐SABCD的底面為正方形,SD底面ABCD.則下列結(jié)論中不正確的是()AACSBBAB平面SCDCSA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角DAB與SC所成的角等于DC與SA所成的角解析:四邊形ABCD是正方形,ACBD.又SD底面ABCD,SDAC.其中SDBDD,AC面SDB,從而ACSB.故A正確;易知B正確;設(shè)AC與DB交于O點(diǎn),連接SO.則SA與平面SBD所成的角為ASO,SC與平面SBD所成的角為CSO,又OAOC,SASC,ASOCSO.故C正確;由排除法可知選D.答案:D二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)132014·清華附中月考在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知A(1,2,3)、B(2,1,1),若直線AB交平面xOz于點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)解析:本題主要考查空間直角坐標(biāo)系中,直線與平面相交的交點(diǎn)坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識(shí)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,0,z),則(x1,2,z3),(1,3,4),因?yàn)榕c共線,所以,解得,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,0,)答案:(,0,)142014·湖南省長(zhǎng)沙一中期末考試如圖,在三棱錐ABCD中,DA,DB,DC兩兩垂直,且DBDC,E為BC中點(diǎn),則·等于_解析:本題主要考查求空間兩向量的數(shù)量積因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),所以(),因?yàn)樵谌忮FABCD中,DA,DB,DC兩兩垂直,且DBDC,所以·()·()()0.答案:015如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AB4,AD3,AA15,BAD90°,BAA1DAA160°,則對(duì)角線AC1的長(zhǎng)度等于_解析:()22222·2·2·169252×4×3×cos90°2×4×5×cos60°2×3×5×cos60°50201585,|.答案:16正四棱錐SABCD中,O為頂點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SOOD,則直線BC與平面PAC所成的角是_解析:如右圖,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)ODSOOAOBOCa,則A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0),P(0,),則(2a,0,0),(a,),(a,a,0),設(shè)平面PAC的法向量為n,可求得n(0,1,1),則cos,n,n60°,直線BC與平面PAC所成的角為90°60°30°.答案:30°三、解答題(本大題共6小題,共70分)17(10分)如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,CM2MA,A1N2ND,且a,b,c,試用a,b,c表示向量.解:()()abc,abc.18(12分)已知e1,e2,e3為空間的一個(gè)基底,且2e1e23e3,e12e2e3,3e1e22e3,e1e2e3.(1)判斷P,A,B,C四點(diǎn)是否共面;(2)能否以,作為空間的一個(gè)基底?若不能,說(shuō)明理由;若能,試以這一基底表示向量.解:(1)假設(shè)四點(diǎn)共面,則存在實(shí)數(shù)x,y,z使xyz,且xyz1.即2e1e23e3x(e12e2e3)y(3e1e22e3)z(e1e2e3)比較對(duì)應(yīng)的系數(shù),得一關(guān)于x,y,z的方程組解得與xyz1矛盾,故四點(diǎn)不共面;(2)若向量,共面,則存在實(shí)數(shù)m,n使mn,同(1)可證,這不可能,因此,可以作為空間的一個(gè)基底,令a,b,c,由e12e2e3a,3e1e22e3b,e1e2e3c聯(lián)立得到方程組:從中解得所以17530.19. (12分)2014·陜西高考四面體ABCD及其三視圖如圖所示,過(guò)棱AB的中點(diǎn)E作平行于AD,BC的平面分別交四面體的棱BD,DC,CA于點(diǎn)F,G,H.(1)證明:四邊形EFGH是矩形;(2)求直線AB與平面EFGH夾角的正弦值解:(1)證明:由該四面體的三視圖可知,BDDC,BDAD,ADDC,BDDC2,AD1.由題設(shè),BC平面EFGH,平面EFGH平面BDCFG,平面EFGH平面ABCEH,BCFG,BCEH,F(xiàn)GEH.同理EFAD,HGAD,EFHG,四邊形EFGH是平行四邊形又ADDC,ADBD,AD平面BDC,ADBC,EFFG,四邊形EFGH是矩形(2)法一:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),(0,0,1),(2,2,0),(2,0,1)設(shè)平面EFGH的法向量n(x,y,z),EFAD,F(xiàn)GBC,n·0,n·0,得取n(1,1,0),sin|cos,n|.法二:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E是AB的中點(diǎn),F(xiàn),G分別為BD,DC的中點(diǎn),得E,F(xiàn)(1,0,0),G(0,1,0),(1,1,0),(2,0,1)設(shè)平面EFGH的法向量n(x,y,z),則n·0,n·0,得取n(1,1,0),sin|cos,n|.20(12分)如圖,四棱錐SABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍,P為側(cè)棱DS上的點(diǎn)(1)求證:ACSD;(2)若SD平面PAC,求二面角PACD的大小;(3)在(2)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE平面PAC.若存在,求SEEC的值;若不存在,試說(shuō)明理由解:(1)證明:連接BD,設(shè)AC交BD于點(diǎn)O,由題意知SO平面ABCD,以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,則高SOa.于是S(0,0,a),D(a,0,0),C(0,a,0),B(a,0,0),(0,a,0),(a,0,a),·0.故OCSD,因此ACSD.(2)由題意知,平面PAC的一個(gè)法向量(a,0,a),平面DAC的一個(gè)法向量(0,0,a),設(shè)所求二面角為,則cos,故所求二面角PACD的大小為30°.(3)在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE平面PAC.由(2)知是平面PAC的一個(gè)法向量,且(a,0,a),(0,a,a),(a,a,0),設(shè)t,則t(a,a(1t),at)由·0,得t,即當(dāng)SEEC21時(shí),.而B(niǎo)E不在平面PAC內(nèi),故BE平面PAC.21(12分)如右圖所示,已知點(diǎn)P在正方體ABCDABCD的對(duì)角線BD上,PDA60°.(1)求DP與CC所成角的大小;(2)求DP與平面AADD所成角的大小解:(1)如圖所示,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD分別為x軸,y軸,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)DA1.則(1,0,0),(0,0,1)連接BD,BD.在平面BBDD中,延長(zhǎng)DP交BD于H.設(shè)(m,m,1)(m>0),由已知,60° ,由·|cos,可得2m.解得m,所以(,1)因?yàn)閏os,所以,45°,即DP與CC所成的角為45°.(2)平面AADD的一個(gè)法向量是(0,1,0),因?yàn)閏os,所以,60°,可得DP與平面AADD所成的角為30°.22(12分)如圖,四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,四邊形ABCD中,ABAD,ABAD4,CD,CDA45°.(1)求證:平面PAB平面PAD;(2)設(shè)ABAP.若直線PB與平面PCD所成的角為30°,求線段AB的長(zhǎng);在線段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到點(diǎn)P,B,C,D的距離都相等?說(shuō)明理由解:(1)證明:因?yàn)镻A平面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB.又ABAD,PAADA,所以AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系(如右圖)在平面ABCD內(nèi),作CEAB交AD于點(diǎn)E,則CEAD.在RtCDE中,DECD·cos45°1.CECD·sin45°1.設(shè)ABAPt,則B(t,0,0),P(0,0,t)由ABAD4,得AD4t.所以E(0,3t,0),C(1,3t,0),D(0,4t,0),(1,1,0),(0,4t,t)設(shè)平面PCD的法向量為n(x,y,z),由n,n,得取xt,得平面PCD的一個(gè)法向量n(t,t,4t)又(t,0,t),故由直線PB與平面PCD所成的角為30°得cos60°|,即,解得t或t4(舍去,因?yàn)锳D4t>0),所以AB.假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到點(diǎn)P,B,C,D的距離都相等設(shè)G(0,m,0)(其中0m4t)則(1,3tm,0),(0,4tm,0),(0,m,t)由|得12(3tm)2(4tm)2,即t3m;(1)由|得(4tm)2m2t2.(2)由(1)、(2)消去t,化簡(jiǎn)得m23m40.(3)由于方程(3)沒(méi)有實(shí)數(shù)根,所以在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到點(diǎn)P,C,D的距離都相等從而,在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到點(diǎn)P,B,C,D的距離都相等

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