高中數(shù)學(xué)北師大版選修12 第3章 單元綜合檢測(cè)2 Word版含解析

第三章單元綜合檢測(cè)(二)(時(shí)間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1下面幾種推理是合情推理的是()由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和都是180歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180；某次考試張軍成績(jī)是100分，由此推出全班同學(xué)成績(jī)都是100分；三角形內(nèi)角和是180，四邊形內(nèi)角和是360，五邊形內(nèi)角和是540，由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n2)180.A. B. C. D. 解析：合情推理包括歸納推理和類比推理，都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理歸納推理，應(yīng)是由部分對(duì)象的特征，推出全部對(duì)象的特征都具備此特征，是類比推理，中僅有一個(gè)同學(xué)的成績(jī)，并不能推出全班同學(xué)的成績(jī)，故選C.答案：C2下列有關(guān)三段論推理“凡是自然數(shù)是整數(shù)，4是自然數(shù)，所以4是整數(shù)”的說法正確的是()A推理正確B推理形式錯(cuò)誤C大前提錯(cuò)誤D小前提錯(cuò)誤解析：三段論中的大前提、小前提以及推理形式都是正確的，所以結(jié)論正確答案：A3由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”可類比猜想：“正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)面_”()A各正三角形內(nèi)一點(diǎn)B各正三角形的某高線上的點(diǎn)C各正三角形的中心D各正三角形外的某點(diǎn)解析：正三角形的邊對(duì)應(yīng)正四面體的面，即正三角形所在的正四面體的側(cè)面，所以邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的就是正四面體各正三角形的中心故選C.答案：C4已知命題p1為真命題，命題p2為假命題，則在命題q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(p1)p2和q4：p1(p2)中，真命題是()A. q1，q3B. q2，q3C. q1，q4 D. q2，q4解析：由復(fù)合命題的真值表知，q1：p1p2為真，q2：p1p2為假，q3：(p1)p2為假，q4：p1(p2)為真，故真命題是q1，q4，故選C.答案：C5用反證法證明：若ab>0，則2a2b的假設(shè)為()A. 2a<2bB. 2a2bC. 2a>2b D. 2a2b解析：易知“”的對(duì)立面為“>”故選C.答案：C6已知數(shù)列an滿足an1，a11，則可歸納出an的一個(gè)通項(xiàng)公式為()AanBanCanDan解析：由an1和a11得a2，a3，a4，a5.歸納上述結(jié)果，得到猜想：an.答案：A7如下圖所示，4個(gè)小動(dòng)物換座位，開始時(shí)鼠，猴，兔，貓分別坐1,2,3,4號(hào)座位，如果第1次前后排動(dòng)物互換座位，第2次左右列動(dòng)物互換座位，第3次前后排動(dòng)物互換座位，第4次左右列動(dòng)物互換座位，這樣交替進(jìn)行下去，那么第2010次互換座位后，小兔所坐的座位號(hào)為()A1B2C3D4解析：由題意得第4次互換座位后，4個(gè)小動(dòng)物又回到了原座位，即每經(jīng)過4次互換座位后，小動(dòng)物回到原座位，而201045022，所以第2010次互換座位后的結(jié)果與第2次互換座位后的結(jié)果相同，故小兔坐在2號(hào)座位上，應(yīng)選B.答案：B8已知x>0，不等式x2，x3，x4，可推廣為xn1，則a的值為()A. n2B. nnC. 2n D. 22n2解析：由x2，xx3，xx4，可推廣為xn1，故ann.答案：B9函數(shù)f(x)是1,1上的減函數(shù)，、是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，且，則下列不等式中正確的是()A. f(sin)>f(cos)B. f(cos)<f(cos)C. f(cos)>f(sin) D. f(sin)<f(sin)解析：因?yàn)?、是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以>，所以>>>0，所以cos<cos()sin.而cos(0,1)，sin(0,1)，f(x)在1,1上是減函數(shù)，故f(cos)>f(sin)答案：C10對(duì)于奇數(shù)列1,3,5,7,9，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組有1個(gè)數(shù)1，第二組有2個(gè)數(shù)3,5，第三組有3個(gè)數(shù)7,9,11，依此類推，則每組內(nèi)奇數(shù)之和Sn與其組的編號(hào)數(shù)n的關(guān)系是()ASnn2BSnn3CSnn4DSnn(n1)解析：當(dāng)n1時(shí)，S11；當(dāng)n2時(shí)，S2823；當(dāng)n3時(shí)，S32733；歸納猜想Snn3，故選B.答案：B11古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，比如：他們研究過圖(1)中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖(2)中的1,4,9,16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)的是()A289B1024C1225D1378解析：根據(jù)圖形的規(guī)律可知，第n個(gè)三角形數(shù)為an，第n個(gè)正方形數(shù)為bnn2，由此可排除選項(xiàng)D(1378不是平方數(shù))，將選項(xiàng)A，B，C中的數(shù)代入到三角形數(shù)與正方形數(shù)表達(dá)式中檢驗(yàn)可知，符合題意的是選項(xiàng)C，故選C.答案：C12六個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體如圖(1)所示，在平行四邊形ABCD中，有AC2BD22(AB2AD2)，那么在圖(2)所示的平行六面體ABCDA1B1C1D1中，ACBDCADB等于()A2(AB2AD2AA)B3(AB2AD2AA)C4(AB2AD2AA)D4(AB2AD2)解析：如圖，連A1C1，AC，則四邊形AA1C1C是平行四邊形，故A1C2AC2(AAAC2)連BD，B1D1，則四邊形BB1D1D是平行四邊形，BDDB2(BBBD2)又在ABCD中，AC2BD22(AB2AD2)，AABB，ACBDCADB2(AAAC2)2(BBBD2)2(AC2BD2BBAA)22(AB2AD2)2AA4(AB2AD2AA)故選C.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13f(n)1(nN*)，經(jīng)計(jì)算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推測(cè)當(dāng)n2時(shí)，有_解析：觀測(cè)f(n)中n的規(guī)律為2k(k1,2，)不等式右側(cè)分別為，k1,2，f(2n)>(n2)答案：f(2n)>(n2)14若符號(hào)“*”表示求實(shí)數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算，即a*b，則a(b*c)用含有運(yùn)算符號(hào)“*”和“”表示的另一種形式是_解析：a(b*c)a(ab)*(ac)答案：(ab)*(ac)15觀察下圖：12343456745678910則第_行的各數(shù)之和等于20112.解析：觀察知，圖中的第n行的各數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為n，公差為1，共(2n1)項(xiàng)的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為：Sn(2n1)n(2n1)n(2n1)(n1)(2n1)2.令(2n1)220112，得2n12011.n1006.答案：100616中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”“平行關(guān)系”等如果集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系“”滿足以下三個(gè)條件：(1)自反性；對(duì)于任意aA，都有aa；(2)對(duì)稱性：對(duì)于a，bA，若ab，則有ba；(3)傳遞性：對(duì)于a，b，cA，若ab，bc，則有ac.則稱“”是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系例如：“數(shù)的相等”是等價(jià)關(guān)系，而“直線的平行”不是等價(jià)關(guān)系(自反性不成立)請(qǐng)你再列出三個(gè)等價(jià)關(guān)系：_.答案：“圖形的全等”、“圖形的相似”、“非零向量的共線”(答案不唯一)三、解答題(本大題共6小題，共70分)17(10分)觀察右圖，可以發(fā)現(xiàn)：13422，135932，13571642，135792552，由上述具體事實(shí)能得出怎樣的結(jié)論？解：將上述事實(shí)分別敘述如下：對(duì)于正整數(shù)，有前2個(gè)奇數(shù)的和等于2的平方；前3個(gè)奇數(shù)的和等于3的平方；前4個(gè)奇數(shù)的和等于4的平方；前5個(gè)奇數(shù)的和等于5的平方；由此猜想：前n(nN*)個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和等于n的平方，即13(2n1)n2.18(12分)2012江蘇高考已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列an和bn滿足：an1，nN*，bn1，nN*，且an是等比數(shù)列，求證：ana1，nN*.解：an>0，bn>0，ab<(anbn)2，1<an1.(*)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由an>0知q>0，下面用反證法證明q1：若q>1，則a1<a2，當(dāng)n>logq時(shí)，an1a1qn>，與(*)矛盾；若0<q<1，則a1>a2>1，當(dāng)n>logq時(shí)，an1a1qn<1，與(*)矛盾綜上所述，q1，從而ana1，nN*.19(12分)若a1>0、a11，an1(n1,2，)(1)求證：an1an；(2)令a1，寫出a2、a3、a4、a5的值，觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an；(3)證明：存在不等于零的常數(shù)p，使是等比數(shù)列，并求出公比q的值解：(1)證明：(采用反證法)假設(shè)an1an，即an，解得an0,1.從而anan1a10,1，與題設(shè)a1>0，a11相矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤故an1an成立(2)a1、a2、a3、a4、a5，an.(3)證明：因?yàn)?，又q，所以(2p2q)anp(12q)0，因?yàn)樯鲜绞顷P(guān)于變量an的恒等式，故可解得q、p1.20(12分)如圖所示，已知BE，CF分別為ABC的邊AC，AB上的高，G為EF的中點(diǎn)，H為BC的中點(diǎn)求證：HGEF.證明：連結(jié)HE，HF，由CFAB，且H是BC的中點(diǎn)，可知FH是RtBCF斜邊上的中線，所以HFBC.同理可證HEBC.所以HFHE，從而EHF為等腰三角形又G為EF的中點(diǎn)，所以HGEF.21(12分)在數(shù)列an中，a11，an12an2n.(1)設(shè)bn.證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)證明：an12an2n，1，bn，bn1bn1，即bn1bn1，b11，故數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列(2)由(1)知，bnn，ann2n1，則Sn120221(n1)2n2n2n1，2Sn121222(n1)2n1n2n，兩式相減，得Snn2n120212n1n2n2n1.22(12分)已知函數(shù)f(x)，如果數(shù)列an滿足a14，an1f(an)，求證：當(dāng)n2時(shí)，恒有an<3成立證明：法一：(直接證法)由an1f(an)得an1，2()2，an1<0或an12；(1)若an1<0，則an1<0<3，結(jié)論“當(dāng)n2時(shí)，恒有an<3”成立；(2)若an12，則當(dāng)n2時(shí)，有an1anan0，an1an，即數(shù)列an在n2時(shí)單調(diào)遞減；由a2<3，可知ana2<3，在n2時(shí)成立綜上，由(1)、(2)知：當(dāng)n2時(shí)，恒有an<3成立法二：(用反證法)假設(shè)an3(n2)，則由已知得an1f(an)，當(dāng)n2時(shí)，(1)(1)<1，(an131)，又易證an>0，當(dāng)n2時(shí)，an1<an，當(dāng)n>2時(shí)，an<an1<<a2；而當(dāng)n2時(shí)，a2<3，當(dāng)n2時(shí)， an<3；這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，當(dāng)n2時(shí)，恒有an<3成立