《人教A版理科高考數(shù)學(xué)一輪細(xì)講精練【第十二篇】推理與證明、算法、復(fù)數(shù)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《人教A版理科高考數(shù)學(xué)一輪細(xì)講精練【第十二篇】推理與證明、算法、復(fù)數(shù)（78頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第十二篇推理與證明、算法、復(fù)數(shù)A第1講合情推理與演繹推理最新考綱1了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用2了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理3了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.知 識(shí) 梳 理1合情推理(1)歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理(2)類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推
2、理簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理2演繹推理(1)演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷辨 析 感 悟1對(duì)合情推理的認(rèn)識(shí)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確()(2)由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情
3、推理()(3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適()(4)(教材習(xí)題改編)一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是1,2,3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是ann(nN*)()(5)(2014安慶調(diào)研改編)在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為12，則它們的面積比為14，類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為12，則它們的體積比為18.()2對(duì)演繹推理的認(rèn)識(shí)(6)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的()(7)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確()感悟提升三點(diǎn)提醒一是合情推理包括歸納推理和類比推理，所得到的結(jié)論都
4、不一定正確，其結(jié)論的正確性是需要證明的二是在進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤，如(3)三是應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先明確什么是大前提，什么是小前提，如果大前提與推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的如果大前提錯(cuò)誤，盡管推理形式是正確的，所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的如(7)學(xué)生用書(shū)第200頁(yè)考點(diǎn)一歸納推理【例1】 (2013湖北卷)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，第n個(gè)三角形數(shù)為n2n，記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N
5、(n,3)n2n，正方形數(shù) N(n,4)n2，五邊形數(shù) N(n,5)n2n，六邊形數(shù) N(n,6)2n2n可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)_.解析由N(n,3)n2n，N(n,4)n2n，N(n,5)n2n，N(n,6)n2n，推測(cè)N(n，k)n2n，k3.從而N(n,24)11n210n，N(10,24)1 000.答案1 000規(guī)律方法 歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法【訓(xùn)練1】 (1)(2014佛山質(zhì)檢)觀察下列不等式：1
6、；.則第5個(gè)不等式為_(kāi)(2)(2013陜西卷)觀察下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)解析(2)由已知的三個(gè)等式左邊的變化規(guī)律，得第n個(gè)等式左邊為(n1)(n2)(nn)，由已知的三個(gè)等式右邊的變化規(guī)律，得第n個(gè)等式右邊為2n與n個(gè)奇數(shù)之積，即2n135(2n1)答案(1)(2)(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)考點(diǎn)二類比推理【例2】 在平面幾何里，有“若ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積為SABC(abc)r”，拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四面體ABCD的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3
7、，S4，內(nèi)切球的半徑為r，則四面體的體積為_(kāi)”審題路線三角形面積類比為四面體的體積三角形的邊長(zhǎng)類比為四面體四個(gè)面的面積內(nèi)切圓半徑類比為內(nèi)切球的半徑二維圖形中類比為三維圖形中的得出結(jié)論答案V四面體ABCD(S1S2S3S4)r規(guī)律方法 在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點(diǎn)：找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如：三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積等等；找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊(直線)垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等【訓(xùn)練2】 二維空間中圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l2r，二維測(cè)度(面積)Sr2，觀察發(fā)現(xiàn)Sl；三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S4r2，
8、三維測(cè)度(體積)Vr3，觀察發(fā)現(xiàn)VS.則四維空間中“超球”的四維測(cè)度W2r4，猜想其三維測(cè)度V_.解析由已知，可得圓的一維測(cè)度為二維測(cè)度的導(dǎo)函數(shù)；球的二維測(cè)度是三維測(cè)度的導(dǎo)函數(shù)類比上述結(jié)論，“超球”的三維測(cè)度是四維測(cè)度的導(dǎo)函數(shù)，即VW(2r4)8r3.答案8r3考點(diǎn)三演繹推理【例3】 數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a11，an1Sn(nN*)證明：(1)數(shù)列是等比數(shù)列；(2)Sn14an.證明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2，又10， (小前提)故是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列(結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)(2)
9、由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)， (小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)對(duì)于任意正整數(shù)n，都有Sn14an.(結(jié)論)(第(2)問(wèn)的大前提是第(1)問(wèn)的結(jié)論以及題中的已知條件)學(xué)生用書(shū)第201頁(yè)規(guī)律方法 演繹推理是從一般到特殊的推理；其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略【訓(xùn)練3】 “因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)ylogax是增函數(shù)(大前提)，而ylogx是對(duì)數(shù)函數(shù)(小前提)，所以ylogx是增函數(shù)(結(jié)論)”，以上推理的錯(cuò)誤是()A大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤B小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤
10、導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤D大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤解析當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)ylogax是增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)ylogax是減函數(shù)故大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤答案A1合情推理主要包括歸納推理和類比推理數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向2演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明主要通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行3合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定正確而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下)創(chuàng)新突破12新定義下的歸納推理【
11、典例】 (2013湖南卷)對(duì)于Ea1，a2，a100的子集Xai1，ai2，aik，定義X的“特征數(shù)列”為x1，x2，x100，其中xi1xi2xik1，其余項(xiàng)均為0.例如：子集a2，a3的“特征數(shù)列”為0,1,1,0,0，0.(1)子集a1，a3，a5的“特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于_；(2)若E的子集P的“特征數(shù)列”p1，p2，p100滿足p11，pipi11,1i99；E的子集Q的“特征數(shù)列”q1，q2，q100滿足q11，qjqj1qj21,1j98，則PQ的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)突破1：讀懂信息，對(duì)于集合Xai1，ai2，aik來(lái)說(shuō)，定義X的“特征數(shù)列”為x1，x2，x100是一個(gè)新的數(shù)列，該數(shù)列
12、的xi1xi2xik1，其余項(xiàng)均為0.突破2：通過(guò)例子：“子集a2，a3的特征數(shù)列為0,1,1,0，0，0”來(lái)理解“特征數(shù)列”的特征；第2項(xiàng)，第3項(xiàng)為1，其余項(xiàng)為0.突破3：根據(jù)p11，pipi11可寫(xiě)出子集P的“特征數(shù)列”為：1,0,1,0,1,0，1,0，歸納出子集P；同理，子集Q的特征數(shù)列為1,0,0,1,0,0，1,0,0，歸納出子集Q.突破4：由P與Q的前幾項(xiàng)的規(guī)律，找出子集P與子集Q的公共元素即可解析(1)根據(jù)題意可知子集a1，a3，a5的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1,0,0，0，此數(shù)列前3項(xiàng)和為2.(2)根據(jù)題意可寫(xiě)出子集P的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1，0，1,0，則P
13、a1，a3，a2n1，a99(1n50)，子集Q的“特征數(shù)列”為1,0,0,1,0,0，1,0,0,1，則Qa1，a4，a3k2，a100(1k34)，則PQa1，a7，a13，a97，共有17項(xiàng)答案(1)2(2)17反思感悟 此類問(wèn)題一定要抓住題設(shè)中的例子與定義的緊密結(jié)合， 細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，需有一定的邏輯推理能力【自主體驗(yàn)】若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對(duì)于D上的n個(gè)值x1，x2，xn總滿足f(x1)f(x2)f(xn)f，稱函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù)現(xiàn)已知f(x)sin x在(0，)上是凸函數(shù)，則在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析已知f(x
14、1)f(x2)f(xn)f， (大前提)因?yàn)閒(x)sin x在(0，)上是凸函數(shù)，(小前提)所以f(A)f(B)f(C)3f，(結(jié)論)即sin Asin Bsin C3sin .因此sin Asin Bsin C的最大值是.答案對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P379基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù)，以上推理()A結(jié)論正確 B大前提不正確C小前提不正確 D全不正確解析f(x)sin(x21)不是正弦函數(shù)而是復(fù)合函數(shù)，所以小前提不正確答案C2觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由歸納推理
15、得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(x)()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)解析由已知得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，故g(x)g(x)答案D3(2012江西卷)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于()A28 B76 C123 D199解析從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開(kāi)始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10b10123.答案C4(2014長(zhǎng)春調(diào)研)類比“兩角和與差的正弦公式”的形式，對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)：S(x)axax，C(x)
16、axax，其中a0，且a1，下面正確的運(yùn)算公式是()S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)A B C D解析經(jīng)驗(yàn)證易知錯(cuò)誤依題意，注意到2S(xy)2(axyaxy)，S(x)C(y)C(x)S(y)2(axyaxy)，因此有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；同理有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)綜上所述，選B.答案B5由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：“mnnm”類比得到“abba”；“(mn)tmtnt”類比得到
17、“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”類比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”類比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”類比得到“|ab|a|b|”；“”類比得到“”以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4解析正確；錯(cuò)誤答案B二、填空題6(2014西安五校聯(lián)考)觀察下式：112；23432；3456752；4567891072，則得出結(jié)論：_.解析各等式的左邊是第n個(gè)自然數(shù)到第3n2個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，右邊是中間奇數(shù)的平方，故得出結(jié)論：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)27若等差數(shù)列an
18、的首項(xiàng)為a1，公差為d，前n項(xiàng)的和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，且通項(xiàng)為a1(n1)，類似地，請(qǐng)完成下列命題：若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列bn的首項(xiàng)為b1，公比為q，前n項(xiàng)的積為Tn，則_答案數(shù)列為等比數(shù)列，且通項(xiàng)為b1()n18(2014揭陽(yáng)一模)給出下列等式：2cos ，2cos ，2cos ，請(qǐng)從中歸納出第n個(gè)等式：_.答案2cos 三、解答題9給出下面的數(shù)表序列：表1表2表31131354 4812其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n個(gè)數(shù)是1,3，5，2n1，從第2行起，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和寫(xiě)出表4，驗(yàn)證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到
19、表n(n3)(不要求證明)解表4為1357 4812 1220 32它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32，它們構(gòu)成首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列將這一結(jié)論推廣到表n(n3)，即表n(n3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列10f(x)，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明解f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想f(x)f(1x).證明：f(x)f(1x).能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1(2012江西卷)觀察下列事實(shí)：|x|y|1的不
20、同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4，|x|y|2的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為8，|x|y|3的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為12，則|x|y|20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為()A76 B80 C86 D92解析由|x|y|1的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4，|x|y|2的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為8，|x|y|3的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為12，歸納推理得|x|y|n的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4n，故|x|y|20的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為80.故選B.答案B2古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)比如：他們研究過(guò)圖1中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16，這樣
21、的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A289 B1 024 C1 225 D1 378解析觀察三角形數(shù)：1,3,6,10，記該數(shù)列為an，則a11，a2a12，a3a23，anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)an123n，觀察正方形數(shù)：1,4,9,16，記該數(shù)列為bn，則bnn2.把四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字，分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1 225.答案C二、填空題3在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為格點(diǎn)若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)，則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形格點(diǎn)多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，邊界上的格
22、點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng).例如圖中ABC是格點(diǎn)三角形，對(duì)應(yīng)的S1，N0，L4.(1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S，N，L分別是_；(2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為SaNbLc，其中a，b，c為常數(shù)若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N71，L18，則S_(用數(shù)值作答)解析(1)四邊形DEFG是一個(gè)直角梯形，觀察圖形可知：S(2)3，N1，L6.(2)由(1)知，S四邊形DEFGa6bc3.SABC4bc1.在平面直角坐標(biāo)系中，取一“田”字型四邊形，構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的正方形，該正方形中S4，N1，L8.則Sa8bc4.聯(lián)立解得a1，b.c1.SNL1，若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N71，L18，則S7118179.答案(1)3,1,
23、6(2)79三、解答題4(2012福建卷)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論解(1)選擇式，計(jì)算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式為
24、sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.學(xué)生用書(shū)第202頁(yè)第2講直接證明與間接證明最新考綱1了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程和特點(diǎn)2了解反證法的思考過(guò)程和特點(diǎn).知 識(shí) 梳 理1直接證明(1)綜合法定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫
25、做綜合法框圖表示：PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證的結(jié)論)思維過(guò)程：由因?qū)Ч?2)分析法定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止這種證明方法叫做分析法框圖表示：QP1P1P2P2P3得到一個(gè)明顯成立的條件(其中Q表示要證明的結(jié)論)思維過(guò)程：執(zhí)果索因2間接證明反證法：假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立的證明方法辨 析 感 悟?qū)θN證明方法的認(rèn)識(shí)(1)分析法是從
26、要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件()(2)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾()(3)在解決問(wèn)題時(shí)，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程()(4)證明不等式最合適的方法是分析法()感悟提升兩點(diǎn)提醒一是分析法是“執(zhí)果索因”，特點(diǎn)是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找使結(jié)論成立的充分條件，如(1)；二是應(yīng)用反證法證題時(shí)必須先否定結(jié)論，把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推理，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法所謂矛盾主要指：與已知條件矛盾；與假設(shè)矛盾；與定義、公理、定理矛盾；與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛
27、盾；自相矛盾.考點(diǎn)一綜合法的應(yīng)用【例1】 (2013新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcac；(2)1.證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.學(xué)生用書(shū)第203頁(yè)規(guī)律方法 綜合法往往以分析法為基礎(chǔ)，是分析法的逆過(guò)程，但更要注意從有關(guān)不等式的定理、結(jié)論或題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)證明【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)a0，b0，ab1，求證：8.(
28、2)已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證：3.證明(1)ab1，11222248，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立(2)a，b，c全不相等，且都大于0.與，與，與全不相等，2，2，2，三式相加得6，3，即3.考點(diǎn)二分析法的應(yīng)用【例2】 已知a0，求證：a2.審題路線從結(jié)論出發(fā)觀察不等式兩邊的符號(hào)移項(xiàng)(把不等式兩邊都變?yōu)檎?xiàng))平方移項(xiàng)整理平方移項(xiàng)整理可得顯然成立的結(jié)論證明(1)要證a2，只需要證2a.a0，故只需要證22，即a244a2222，從而只需要證2，只需要證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立規(guī)律方法 (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分
29、條件正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵(2)證明較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過(guò)綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證【訓(xùn)練2】 已知m0，a，bR，求證：2.證明m0，1m0.所以要證原不等式成立，只需證(amb)2(1m)(a2mb2)即證m(a22abb2)0，即證(ab)20，而(ab)20顯然成立，故原不等式得證考點(diǎn)三反證法的應(yīng)用【例3】 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn(nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列(1)解由已
30、知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)證明由(1)得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比數(shù)列，則bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20.pr，與pr矛盾數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列.學(xué)生用書(shū)第204頁(yè)規(guī)律方法 用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)矛盾等，且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的
31、【訓(xùn)練3】 已知a1，求證三個(gè)方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根證明假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則a1.這與已知a1矛盾，所以假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立1分析法的特點(diǎn)：從未知看需知，逐步靠攏已知2綜合法的特點(diǎn)：從已知看可知，逐步推出未知3分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法思考起來(lái)比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，但不便于思考實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來(lái)4利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤，并用假設(shè)的命題進(jìn)行推理，沒(méi)有用假設(shè)命題推理而
32、推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的答題模板13反證法在證明題中的應(yīng)用【典例】 (14分)(2013北京卷)直線ykxm(m0)與橢圓W：y21相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求AC的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形OABC不可能為菱形規(guī)范解答(1)解因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分 (2分)所以可設(shè)A，代入橢圓方程得1，即t.所以|AC|2. (5分)(2)證明假設(shè)四邊形OABC為菱形因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且ACOB，所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240. (7分)設(shè)A(x1，y
33、1)，C(x2，y2)，則，km.所以AC的中點(diǎn)為M. (9分)因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，且m0，k0，所以直線OB的斜率為.(11分)因?yàn)閗1，所以AC與OB不垂直 (13分)所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能為菱形(14分)反思感悟 (1)掌握反證法的證明思路及證題步驟，明確作假設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，應(yīng)用假設(shè)是反證法的基本手段，得到矛盾是反證法的目的(2)當(dāng)證明的結(jié)論和條件聯(lián)系不明顯、直接證明不清晰或正面證明分類較多、而反面情況只有一種或較少時(shí)，常采用反證法(3)利用反證法證明時(shí)，一定要回到結(jié)論上去答題模板用反證法證明數(shù)學(xué)命題的答題模板：第一步
34、：分清命題“pq”的條件和結(jié)論；第二步：作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定綈q；第三步：由p和綈q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于所作的假設(shè)綈q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題.學(xué)生用書(shū)第205頁(yè)【自主體驗(yàn)】設(shè)直線l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿足k1k220.(1)證明：l1與l2相交；(2)證明：l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2y21上證明(1)假設(shè)l1與l2不相交，則l1與l2平行或重合，有k1k2，代入k1k220，得k20.這與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾，從而k1k2，即l1與l2相交(2)由方程組解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
35、從而2x2y22221，所以l1與l2的交點(diǎn)P(x，y)在橢圓2x2y21上對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P381基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1(2014安陽(yáng)模擬)若ab0，則下列不等式中成立的是()A. BabCba D.解析(特值法)取a2，b1，驗(yàn)證C正確答案C2用反證法證明命題：“已知a，bN，若ab可被5整除，則a，b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，反設(shè)正確的是()Aa，b都不能被5整除Ba，b都能被5整除Ca，b中有一個(gè)不能被5整除Da，b中有一個(gè)能被5整除解析由反證法的定義得，反設(shè)即否定結(jié)論答案A3(2014上海模擬)“a”是“對(duì)任意正數(shù)x，均有x1”的()A充分不必要條件 B必要不充
36、分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析當(dāng)a時(shí)，x21，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x時(shí)取等號(hào)；反之，顯然不成立答案A4(2014張家口模擬)分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)abc，且abc0，求證a”索的因應(yīng)是()Aab0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析由題意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案C5(2014天津模擬)p，q(m，n，a，b，c，d均為正數(shù))，則p，q的大小為()Apq Bpq Cpq D不確定解析q p.答案B二、填空題6下列條件：ab0，ab0，
37、b0，a0，b0且0成立，即a，b不為0且同號(hào)即可，故能使2成立答案37已知a，b，m均為正數(shù)，且ab，則與的大小關(guān)系是_解析，a，b，m0，且ab，ba0，.答案8設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：ab2；a2b22.其中能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件的是_(填上序號(hào))答案三、解答題9若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：lglglglg alg blg c.證明a，b，c(0，)，0，0，0.又上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立abc成立上式兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得lglg abc，lglglglg alg blg c.10(2014鶴崗模擬)設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它
38、的前n項(xiàng)和(1)求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？(1)證明假設(shè)數(shù)列Sn是等比數(shù)列，則SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因?yàn)閍10，所以(1q)21qq2，即q0，這與公比q0矛盾，所以數(shù)列Sn不是等比數(shù)列(2)解當(dāng)q1時(shí)，Snna1，故Sn是等差數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，Sn不是等差數(shù)列，否則2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，這與公比q0矛盾綜上，當(dāng)q1時(shí)，數(shù)列Sn是等差數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，Sn不是等差數(shù)列能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1(2014漳州一模)設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則三個(gè)數(shù)a，b，c()A都大于2 B都小
39、于2C至少有一個(gè)不大于2 D至少有一個(gè)不小于2解析a0，b0，c0，6，當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)，“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一個(gè)不小于2.答案D2已知函數(shù)f(x)x，a，b是正實(shí)數(shù)，Af，Bf()，Cf，則A，B，C的大小關(guān)系為()AABC BACBCBCA DCBA解析，又f(x)x在R上是減函數(shù)，ff()f.答案A二、填空題3(2014株洲模擬)已知a，b，(0，)，且1，則使得ab恒成立的的取值范圍是_解析a，b(0，)，且1，ab(ab)1010216，當(dāng)且僅當(dāng)a4，b12時(shí)，等號(hào)成立，ab的最小值為16.要使ab恒成立，需16，0，11,1，12，你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？
40、并加以證明審題路線 觀察前4個(gè)式子，左邊的項(xiàng)數(shù)及分母的變化不難發(fā)現(xiàn)一般的不等式為1(nN*)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解一般結(jié)論：1(nN*)，證明如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，由題設(shè)條件知命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，猜想正確即1.當(dāng)nk1時(shí)，1.當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立根據(jù)(1)、(2)可知，對(duì)nN*,1.規(guī)律方法 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時(shí)命題成立證nk1時(shí)命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來(lái)加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化【訓(xùn)練2】 若函數(shù)f(x)x22x3，定義數(shù)列xn如下：x12，xn1是過(guò)點(diǎn)P(4,5)、Qn
41、(xn，f(xn)的直線PQn與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，試運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：2xnxn13.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，x12，f(x1)3，Q1(2，3)直線PQ1的方程為y4x11，令y0，得x2，因此，2x1x23，即n1時(shí)結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，結(jié)論成立，即2xkxk13.直線PQk1的方程為y5(x4)又f(xk1)x2xk13，代入上式，令y0，得xk24，由歸納假設(shè)，2xk13，xk240，即xk1xk2.所以2xk1xk23，即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由(1)、(2)知對(duì)任意的正整數(shù)n,2xnxn10，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通項(xiàng)公式；(2)證明通項(xiàng)公式的正確性審題
42、路線從特殊入手，正確計(jì)算a1，a2，a3，探求an與n的一般關(guān)系運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法嚴(yán)格證明(1)解當(dāng)n1時(shí)，由已知得a11，a2a120.a11(a10)當(dāng)n2時(shí)，由已知得a1a21，將a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)證明由(1)知，當(dāng)n1,2,3時(shí)，通項(xiàng)公式成立假設(shè)當(dāng)nk(k3，kN*)時(shí)，通項(xiàng)公式成立，即ak.由于ak1Sk1Sk，將ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1時(shí)通項(xiàng)公式成立由、，可知對(duì)所有nN*，an都成立規(guī)律方法 “歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式，這種方法在解決探索性問(wèn)題、存在性
43、問(wèn)題時(shí)起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)x3x，數(shù)列an滿足條件：a11，an1f(an1)試比較與1的大小，并說(shuō)明理由解f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21.函數(shù)g(x)(x1)21x22x在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增，于是由a11，得a2(a11)21221，進(jìn)而得a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想：(1)當(dāng)n1時(shí)，a12111，結(jié)論成立；(2)假設(shè)nk(k1且kN*)時(shí)結(jié)論成立，即ak2k1，當(dāng)nk1時(shí)，由g(x)(x1)21在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增知，ak1
44、(ak1)2122k12k11，當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立由(1)、(2)知，對(duì)任意nN*，都有an2n1.即1an2n，因此，1n1.1在數(shù)學(xué)歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可在較復(fù)雜的式子中，注意由nk到nk1時(shí)，式子中項(xiàng)數(shù)的變化應(yīng)仔細(xì)分析，觀察通項(xiàng)同時(shí)還應(yīng)注意，不用假設(shè)的證法不是數(shù)學(xué)歸納法2對(duì)于證明等式問(wèn)題，在證nk1等式也成立時(shí)，應(yīng)及時(shí)把結(jié)論和推導(dǎo)過(guò)程對(duì)比，以減少計(jì)算時(shí)的復(fù)雜程度；對(duì)于整除性問(wèn)題，關(guān)鍵是湊假設(shè)；證明不等式時(shí)，一般要運(yùn)用放縮法3歸納猜想證明屬于探索性問(wèn)題的一種，一般經(jīng)過(guò)計(jì)算、觀察、歸納，然后猜想出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明由于“猜想”是“證明”的前提和“對(duì)象”，務(wù)必保證猜想的正確性，同時(shí)必須嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟書(shū)寫(xiě) 答題模板14數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用【典例】 (12分)(2012安徽卷改編)數(shù)列xn滿足x10，xn1xxnc(nN*)(1)證明：xn是遞減數(shù)列的充要條件是c0；(2)若0c，證明數(shù)列xn是遞增數(shù)列規(guī)范解答(1)充分性：若c0，由于xn1xxncxncxn，數(shù)列xn是遞減數(shù)列 (2分)必要性：若xn是遞減數(shù)列，則x2x1，且x10.又x2xx1c
人教A版理科高考數(shù)學(xué)一輪細(xì)講精練【第十二篇】推理與證明、算法、復(fù)數(shù)
