高中數(shù)學北師大版選修22 第1章 單元綜合檢測2 Word版含解析

2019年北師大版精品數(shù)學資料第一章單元綜合檢測(二)(時間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1下面幾種推理是合情推理的是()由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和都是180°歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；某次考試張軍成績是100分，由此推出全班同學成績都是100分；三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n2)·180°.A僅BCD僅解析：合情推理包括歸納推理和類比推理，都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理歸納推理，應(yīng)是由部分對象的特征，推出全部對象的特征都具備此特征，是類比推理，中僅有一個同學的成績，并不能推出全班同學的成績，故選C.答案：C2正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù)以上推理()A結(jié)論正確B大前提不正確C小前提不正確D全不正確解析：由于函數(shù)f(x)sin(x21)不是正弦函數(shù). 故小前提不正確答案：C3由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點”可類比猜想：“正四面體的內(nèi)切球切于四個面_”()A各正三角形內(nèi)一點B各正三角形的某高線上的點C各正三角形的中心D各正三角形外的某點解析：正三角形的邊對應(yīng)正四面體的面，即正三角形所在的正四面體的側(cè)面，所以邊的中點對應(yīng)的就是正四面體各正三角形的中心故選C.答案：C4已知命題p1為真命題，命題p2為假命題，則在命題q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(¬p1)p2和q4：p1(¬p2)中，真命題是()Aq1，q3Bq2，q3Cq1，q4Dq2，q4解析：由復合命題的真值表知，q1：p1p2為真，q2：p1p2為假，q3：(¬p1)p2為假，q4：p1(¬p2)為真，故真命題是q1，q4，故選C.答案：C5用反證法證明：若ab>0，則2a2b的假設(shè)為()A2a<2bB2a2bC2a>2bD2a2b解析：易知“”的對立面為“>”故選C.答案：C6已知數(shù)列an滿足an1，a11，則可歸納出an的一個通項公式為()AanBanCanDan解析：由an1和a11得a2，a3，a4，a5.歸納上述結(jié)果，得到猜想：an.答案：A7如下圖所示，4個小動物換座位，開始時鼠，猴，兔，貓分別坐1,2,3,4號座位，如果第1次前后排動物互換座位，第2次左右列動物互換座位，第3次前后排動物互換座位，第4次左右列動物互換座位，這樣交替進行下去，那么第2010次互換座位后，小兔所坐的座位號為()A1B2C3D4解析：由題意得第4次互換座位后，4個小動物又回到了原座位，即每經(jīng)過4次互換座位后，小動物回到原座位，而20104×5022，所以第2010次互換座位后的結(jié)果與第2次互換座位后的結(jié)果相同，故小兔坐在2號座位上，應(yīng)選B.答案：B8已知x>0，不等式x2，x3，x4，可推廣為xn1，則a的值為()An2BnnC2nD22n2解析：由x2，xx3，xx4，可推廣為xn1，故ann.答案：B9用數(shù)學歸納法證明“42n13n1(nN*)能被13整除”的第二步中，當nk1時為了使用歸納假設(shè)，對42k13k2變形正確的是()A16(42k13k1)13×3k1B4×42k9×3kC(42k13k1)15×42k12×3k1D3(42k13k1)13×42k1解析：當nk時，式子為42k13k1，則nk1時，式子為42k13k242×42k13×3k116(42k13k1)13×3k1.故選A.答案：A10對于奇數(shù)列1,3,5,7,9，現(xiàn)在進行如下分組：第一組有1個數(shù)1，第二組有2個數(shù)3,5，第三組有3個數(shù)7,9,11，依此類推，則每組內(nèi)奇數(shù)之和Sn與其組的編號數(shù)n的關(guān)系是()ASnn2BSnn3CSnn4DSnn(n1)解析：當n1時，S11；當n2時，S2823；當n3時，S32733；歸納猜想Snn3，故選B.答案：B11古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，比如：他們研究過圖(1)中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖(2)中的1,4,9,16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)的是()A289B1024C1225D1378解析：根據(jù)圖形的規(guī)律可知，第n個三角形數(shù)為an，第n個正方形數(shù)為bnn2，由此可排除選項D(1378不是平方數(shù))，將選項A，B，C中的數(shù)代入到三角形數(shù)與正方形數(shù)表達式中檢驗可知，符合題意的是選項C，故選C.答案：C12六個面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體如圖(1)所示，在平行四邊形ABCD中，有AC2BD22(AB2AD2)，那么在圖(2)所示的平行六面體ABCDA1B1C1D1中，ACBDCADB等于()A2(AB2AD2AA)B3(AB2AD2AA)C4(AB2AD2AA)D4(AB2AD2)解析：如右圖，連A1C1，AC，則四邊形AA1C1C是平行四邊形，故A1C2AC2(AAAC2)連BD，B1D1，則四邊形BB1D1D是平行四邊形，BDDB2(BBBD2)又在ABCD中，AC2BD22(AB2AD2)，AABB，ACBDCADB2(AAAC2)2(BBBD2)2(AC2BD2BBAA)22(AB2AD2)2AA4(AB2AD2AA)故選C.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13f(n)1(nN*)，經(jīng)計算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推測當n2時，有_解析：觀測f(n)中n的規(guī)律為2k(k1,2，)不等式右側(cè)分別為，k1,2，f(2n)>(n2)答案：f(2n)>(n2)14若符號“*”表示求實數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)的運算，即a*b，則a(b*c)用含有運算符號“*”和“”表示的另一種形式是_解析：a(b*c)a(ab)*(ac)答案：(ab)*(ac)15觀察下圖：12343456745678910則第_行的各數(shù)之和等于20112.解析：觀察知，圖中的第n行的各數(shù)構(gòu)成一個首項為n，公差為1，共(2n1)項的等差數(shù)列，其各項和為：Sn(2n1)n(2n1)n(2n1)(n1)(2n1)2.令(2n1)220112，得2n12011.n1006.答案：100616中學數(shù)學中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”“平行關(guān)系”等如果集合A中元素之間的一個關(guān)系“”滿足以下三個條件：(1)自反性；對于任意aA，都有aa；(2)對稱性：對于a，bA，若ab，則有ba；(3)傳遞性：對于a，b，cA，若ab，bc，則有ac.則稱“”是集合A的一個等價關(guān)系例如：“數(shù)的相等”是等價關(guān)系，而“直線的平行”不是等價關(guān)系(自反性不成立)請你再列出三個等價關(guān)系：_.答案：“圖形的全等”“圖形的相似”“非零向量的共線”(答案不唯一)三、解答題(本大題共6小題，共70分)17(10分)觀察右圖，可以發(fā)現(xiàn)：13422，135932，13571642，135792552，由上述具體事實能得出怎樣的結(jié)論？解：將上述事實分別敘述如下：對于正整數(shù)，有前2個奇數(shù)的和等于2的平方；前3個奇數(shù)的和等于3的平方；前4個奇數(shù)的和等于4的平方；前5個奇數(shù)的和等于5的平方；由此猜想：前n(nN*)個連續(xù)奇數(shù)的和等于n的平方，即13(2n1)n2.18(12分)2012·江蘇高考已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列an和bn滿足：an1，nN*，bn1·，nN*，且an是等比數(shù)列，求證：ana1，nN*.解：an>0，bn>0，ab<(anbn)2，1<an1.(*)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由an>0知q>0，下面用反證法證明q1：若q>1，則a1<a2，當n>logq時，an1a1qn>，與(*)矛盾；若0<q<1，則a1>a2>1，當n>logq時，an1a1qn<1，與(*)矛盾綜上所述，q1，從而ana1，nN*.19(12分)有n個圓，其中每兩個圓相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成f(n)n2n2部分證明：(1)n1時，分為2塊，f(1)2，命題成立；(2)假設(shè)nk(kN*)時，被分成f(k)k2k2部分；那么當nk1時，依題意，第k1個圓與前k個圓產(chǎn)生2k個交點，第k1個圓被截為2k段弧，每段弧把所經(jīng)過的區(qū)域分為兩部分，所以平面上凈增加了2k個區(qū)域f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，即nk1時命題成立，由(1)(2)知命題成立20(12分)如圖所示，已知BE，CF分別為ABC的邊AC，AB上的高，G為EF的中點，H為BC的中點求證：HGEF.證明：連結(jié)HE，HF，由CFAB，且H是BC的中點，可知FH是RtBCF斜邊上的中線，所以HFBC.同理可證HEBC.所以HFHE，從而EHF為等腰三角形又G為EF的中點，所以HGEF.21(12分)設(shè)等比數(shù)列an的通項公式為an2n1，記bn2(log2an1)(nN*)，證明：對任意的nN*，不等式···>成立證明：依題意得bn2(log2an1)2(log22n11)2n，則，所以·······.下面用數(shù)學歸納法證明不等式····>成立(1)當n1時，左邊，右邊，>，不等式成立(2)假設(shè)當nk(kN*)時不等式成立，即····>，那么，當nk1時，·····>·>.即當nk1時不等式也成立根據(jù)(1)和(2)可知，不等式對任意的nN*都成立，即不等式···>成立22(12分)已知f(x)(x，a>0)，且f(1)log162，f(2)1.(1)求函數(shù)f(x)的表達式；(2)已知數(shù)列xn的項滿足xn(1f(1)·(1f(2)··(1f(n)，試求x1，x2，x3，x4；(3)猜想數(shù)列xn的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明解：(1)由f(1)log162，f(2)1及f(x)，得即解得(舍去a)，于是f(x)(x1)(2)由f(x)及xn(1f(1)·(1f(2)··(1f(n)，可得：x11f(1)1，x2×(1)，x3×(1)，x4×(1).(3)在為x1，x2，x3，x4所得結(jié)果的分子、分母進行了約分，所以規(guī)律不明顯，若變形為，便可猜想，xn.由于每一項都與很接近，若改寫為，也可猜想xn.下面用數(shù)學歸納法證明xn，nN*.當n1時，x1，而，猜想成立假設(shè)當nk(k1，kN*)時，xn成立，即xk，則當nk1時，xk1(1f(1)·(1f(2)··(1f(k)·(1f(k1)xk·(1f(k1)· 1··.當nk1時，猜想也成立根據(jù)，可知對一切nN*，猜想xn都成立