精編高中數(shù)學北師大版選修21：第2章 單元綜合檢測1 Word版含解析

精編北師大版數(shù)學資料第二章單元綜合檢測(一)(時間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)12014福建省福州一中月考已知向量a(1，2,1)，ab(3，6,3)，則b等于()A(2，4,2) B(2,4,2)C(2,0，2) D(2,1，3)解析：本題主要考查空間向量的坐標運算b(ab)a(3，6,3)(1，2,1)(2，4,2)，故選A.答案：A2已知a(2,4,5)，b(3，x，y)，若ab，則()Ax6，y15 Bx3，yCx3，y15 Dx6，y解析：ab，存在實數(shù)，使，.答案：D3已知空間三點A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分別與，垂直，則向量a為()A(1,1,1)B(1，1，1)C(1,1,1)或(1，1，1)D(1，1,1)或(1,1，1)解析：設a(x，y，z)，(2，1,3)，(1，3,2)，又|a|，a，a，或a(1,1,1)或a(1，1，1)答案：C4已知A(1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，則sin，等于()A BC D解析：(1,0,0)，(2，2,1)，cos，sin，.答案：C52014廣東高考已知向量a(1,0，1)，則下列向量中與a成60夾角的是()A(1,1,0) B(1，1,0)C(0，1,1) D(1,0,1)解析：經(jīng)檢驗，選項B中向量(1，1,0)與向量a(1,0，1)的夾角的余弦值為，即它們的夾角為60，故選B.答案：B6若平面的法向量為n，直線l的方向向量為a，直線l與平面的夾角為，則下列關系式成立的是()Acos BcosCsin Dsin解析：若直線與平面所成的角為，直線的方向向量與該平面的法向量所成的角為，則90或90，cos，sin|cos|.答案：D7若兩點A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，當|取最小值時，x的值等于()A19 BC D解析：(1x,2x3，3x3)，則|.故當x時，|取最小值答案：C82014福建省泉州一中期末考試結晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食鹽晶胞的示意圖，其中點代表鈉原子，黑點代表氯原子建立空間直角坐標系Oxyz后，圖中最上層中間的鈉原子所在位置的坐標是()A(，1) B(0,0,1)C(1，1) D(1，)解析：本題主要考查空間直角坐標系中點的坐標的探求觀察圖形，可知圖中最上層中間的鈉原子所在位置的坐標是(，1)，故選A.答案：A92014北京東城區(qū)期末統(tǒng)考如圖，空間四邊形ABCD的四條邊及對角線長都是a，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點，則a2等于()A2 B2C2 D2解析：本題主要考查空間向量的數(shù)量積因為22()222a2cos602a2a2，所以排除A；22()()2a2cos60a2，故選B.答案：B10在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90解析：建系如右圖，設AB1，則B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)(1,0,1)，(0,1,1)cos，.，60，即異面直線BA1與AC1所成的角等于60.答案：C112014湖南省雅禮中學月考已知正方體ABCDA1B1C1D1中，P，M為空間任意兩點，如果有764，那么M必()A在平面BAD1內(nèi) B在平面BA1D內(nèi)C在平面BA1D1內(nèi) D在平面AB1C1內(nèi)解析：本題主要考查四點共面的判斷方法由于76464646()4()1164，于是M，B，A1，D1四點共面，故選C.答案：C12如右圖所示，在四面體PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值為()A BC D解析：如圖所示，作BDAP于D，作CEAP于E，設AB1，則易得CE，EP，PAPB，可以求得BD，ED.，2222222.，cos，即二面角BAPC的余弦值為.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，則_.解析：如圖，bac.答案：abc142014甘肅省蘭州一中期末考試已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab與2ab互相垂直，則k_.解析：本題主要考查空間向量的數(shù)量積向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，所以kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，因為kab與2ab互相垂直，所以(kab)(2ab)0，所以3(k1)2k40，解得k.答案：15在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBCAA12，點D是A1C1的中點，則異面直線AD和BC1所成角的大小為_解析：建立如圖所示坐標系，則(1,1，2)，(0,2，2)，cos，.即異面直線AD和BC1所成角的大小為.答案：16如右圖所示，已知二面角l的平面角為，ABBC，BCCD，AB在平面內(nèi)，BC在l上，CD在平面內(nèi)，若ABBCCD1，則AD的長為_解析：因為，所以22222221112cos()32cos.所以|，即AD的長為.答案：三、解答題(本大題共6小題，共70分)17(10分)如右圖，已知ABCDA1B1C1D1是平行六面體設M是底面ABCD的中心，N是側面BCC1B1對角線BC1上的分點，設，試求、的值解：()()()()，.18(12分)如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.證明：A，E，C1，F(xiàn)四點共面證明：ABCDA1B1C1D1是平行六面體，()().由向量共面的充要條件知A，E，C1，F(xiàn)四點共面19(12分)如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面邊長為. (1)設側棱長為1，求證：AB1BC1；(2)設AB1與BC1的夾角為，求側棱的長解：(1)，.BB1平面ABC，0，0.又ABC為正三角形，.()()2|cos，2110，AB1BC1.(2)結合(1)知|cos，221.又|，cos，得24，|2，即側棱長為2.20(12分)2014廣東省佛山一中期中考試如圖，SA平面ABC，ABBC，SAABBC.(1)求異面直線SC與AB所成角的余弦值；(2)用空間向量的方法證明：BC平面ABS.解：以點A為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系設SAABBCa，則B(a，a,0)，C(0，a,0)，S(0,0，a)(1)(a，a,0)，(0，a，a)cos，故SC與AB所成角的余弦值為.(2)由于(a，a,0)，(0,0，a)，(a，a,0)，顯然，0，0.即ABBC，ASBC，又ABASA，故BC平面ABS.21. (12分)2014山東高考如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是線段AB的中點(1)求證：C1M平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值解：(1)證明：因為四邊形ABCD是等腰梯形，且AB2CD，所以ABDC，又由M是AB的中點，因此CDMA且CDMA.連接AD1，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因為CDC1D1，CDC1D1，可得C1D1MA，C1D1MA，所以四邊形AMC1D1為平行四邊形因此C1MD1A，又C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1，所以C1M平面A1ADD1.(2)法一：連接AC，MC，由(1)知CDAM且CDAM，所以四邊形AMCD為平行四邊形可得BCADMC，由題意ABCDAB60，所以MBC為正三角形，因此AB2BC2，CA，因此CACB.以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.所以A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)，因此M，所以，.設平面C1D1M的法向量n(x，y，z)，由得可得平面C1D1M的一個法向量n(1，1)又(0,0，)為平面ABCD的一個法向量因此cos，n.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值為.法二：由(1)知平面D1C1M平面ABCDAB，過C向AB引垂線交AB于N，連接D1N.由CD1平面ABCD，可得D1NAB，因此D1NC為二面角C1ABC的平面角在RtBNC中，BC1，NBC60，可得CN.所以ND1.在RtD1CN中，cosD1NC.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值為.22(12分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，BAD60，Q為AD的中點(1)若PAPD，求證：平面PQB平面PAD；(2)點M在線段PC上，PMtPC，試確定t的值，使PA平面MQB；(3)在(2)的條件下，若平面PAD平面ABCD，且PAPDAD2，求二面角MBQC的大小解：(1)證明：連接BD，ADAB，BAD60，ABD為正三角形Q為AD的中點，ADBQ.PAPD，Q為AD的中點，ADPQ.又BQPQQ，AD平面PQB.AD平面PAD，平面PQB平面PAD.(2)連接AC，交BQ于N.由AQBC，可得ANQCNB，.PA平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQBMN，PAMN.，即PMPC，t.(3)由PAPDAD2，Q為AD的中點，則PQAD，又平面PAD平面ABCD，PQ平面ABCD.以Q為坐標原點，分別以QA、QB，QP所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標系，則各點的坐標分別為A(1,0,0)，B(0，0)，Q(0,0,0)，P(0,0，)設平面MQB的法向量為n(x，y,1)，可得PAMN，解得n(，0,1)取平面ABCD的法向量m(0,0,1)，cosm，n，故二面角MBQC的大小為60.