【導(dǎo)與練】新課標高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11篇 復(fù)數(shù)的概念與運算學(xué)案 理

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1、第六十九課時 復(fù)數(shù)的概念與運算（課前預(yù)習(xí)案）考綱要求1.了解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義。2.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除的運算法則。3.了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴充的基本思想。基礎(chǔ)知識梳理1復(fù)數(shù)：形如 的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a , b分別叫它的 和 2分類：設(shè)復(fù)數(shù)：(1) 當 0時，z為實數(shù)；(2) 當 0時，z為虛數(shù)；(3) 當 0, 且 0時，z為純虛數(shù).3復(fù)數(shù)相等：如果兩個復(fù)數(shù) 相等且 相等就說這兩個復(fù)數(shù)相等.4共軛復(fù)數(shù)：當兩個復(fù)數(shù)實部 ，虛部 時這兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)(當虛部不為零時，也可說成互為共軛虛數(shù))5若zabi, (a, bR), 則 | z | ； z .

2、6復(fù)平面：建立直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面, x軸叫做 ， 叫虛軸7復(fù)數(shù)zabi(a, bR)與復(fù)平面上的點 建立了一一對應(yīng)的關(guān)系8兩個實數(shù)可以比較大小、但兩個復(fù)數(shù)如果不全是實數(shù)，就 比較它們的大小.9. 復(fù)數(shù)的運算：（1）(a+bi) (c+di)= ；（2）(a+bi)(c+di)= ； （3）(a+bi)(c+di)= ；（4）i具有周期性:4n+1= ；4n+2= ； 4n+3= ； 4n= ；n+n+1+n+2+n+3 = （nN）(1+i)2 ; (1-i)2 ; ； . 預(yù)習(xí)自測1 i是虛數(shù)單位，則i_.2 若復(fù)數(shù)(1i)(1ai)是純虛數(shù)，則實數(shù)a_.3 復(fù)數(shù)(34i)

3、i(其中i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限4 (2011浙江)把復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作，i為虛數(shù)單位若z1i，則(1z)等于()A3i B3iC13i D35 (2012北京)設(shè)a，bR.“a0”是“復(fù)數(shù)abi是純虛數(shù)”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件第六十九課時 復(fù)數(shù)的概念與運算（課堂探究案）典型例題考點1.復(fù)數(shù)的概念【典例1】 (1)已知aR，復(fù)數(shù)z12ai，z212i，若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為()A1 Bi C. D0(2)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，則“m1”是

4、“z1z2”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件【變式1】（1）（2013年高考上海卷（理）設(shè),是純虛數(shù),其中i是虛數(shù)單位,則m=_（2）（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）已知a, bR, i是虛數(shù)單位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 則a + bi = _.考點2.復(fù)數(shù)的運算【典例2】（1）（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標卷數(shù)學(xué)（理）設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則（）ABCD（2）（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）復(fù)數(shù)的模為（）ABCD（3）（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）已知是虛數(shù)單位,則（）A

5、BCD【變式2】 (1)已知復(fù)數(shù)z，是z的共軛復(fù)數(shù)，則z_.(2)復(fù)數(shù)的值是_(3)已知復(fù)數(shù)z滿足2i，則z_.考點3.復(fù)數(shù)的幾何意義【典例3】（1）（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）若復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi),對應(yīng)的點的坐標是（）ABCD（2）（2013年高考湖南卷（理）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限 （3）（2013年高考湖北卷（理）在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限（4）（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)

6、的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【變式3】已知z是復(fù)數(shù)，z2i、均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(zai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍當堂檢測1 (2012廣東)設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)等于()A65i B65iC65i D65i2 (2012山東)若復(fù)數(shù)z滿足z(2i)117i(i為虛數(shù)單位)，則z為()A35i B35iC35i D35i3 (2012福建)若復(fù)數(shù)z滿足zi1i，則z等于()A1i B1i C1i D1i4 若1bi，其中a，b都是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則|abi|等于()A. B. C. D15 (2012上海)計算：_(i為虛數(shù)單位

7、)第六十九課時 復(fù)數(shù)的概念與運算(課后鞏固案) A組全員必做題1 (2012湖北)方程x26x130的一個根是()A32i B32iC23i D23i2 設(shè)f(n)nn(nN*)，則集合f(n)中元素的個數(shù)為()A1 B2 C3 D無數(shù)個3 對任意復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)，i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是()A|z|2y Bz2x2y2C|z|2x D|z|x|y|4 (2012湖南)已知復(fù)數(shù)z(3i)2(i為虛數(shù)單位)，則|z|_.5設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i(z1)32i(i為虛數(shù)單位)，則z的實部是_6 (2012江蘇)設(shè)a，bR，abi(i為虛數(shù)單位)，則ab的值為_B組提高選做題1 已知復(fù)數(shù)z滿

8、足12i，則復(fù)數(shù)z_.2已知復(fù)數(shù)zxyi，且|z2|，則的最大值為_3.已知復(fù)數(shù)z1滿足(z12)(1i)1i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1z2是實數(shù)，求z2.4復(fù)數(shù)z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是實數(shù)，求實數(shù)a的值5.已知復(fù)數(shù)z，且|z|2，求|zi|的最大值，以及取得最大值時的z.第六十九課時復(fù)數(shù)的概念與運算參考答案預(yù)習(xí)自測1 答案i解析iii.2 答案1解析由(1i)(1ai)(1a)(a1)i是純虛數(shù)得，由此解得a1.3答案B解析由于(34i)i43i，因此該復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標是(4,3)，相對應(yīng)的點位于第二象限，選B.4答案A解析(1z)(2i

9、)(1i)3i.5答案B解析當a0，且b0時，abi不是純虛數(shù)；若abi是純虛數(shù)，則a0.故“a0”是“復(fù)數(shù)abi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件.典型例題【典例1】【答案】(1)A(2)A解析(1)由i是純虛數(shù)，得a1，此時i，其虛部為1.(2)由，解得m2或m1，所以“m1”是“z1z2”的充分不必要條件【變式1】（1）m=-2. （2） 【典例2】（1）A；（2）B ；（3）B 【變式2】答案(1)(2)16(3)i解析(1)方法一|z|，z|z|2.方法二z，z.(2)2416.(3)由2i，得ziiiii.【典例3】（1）C ；（2）B ；（3）D ；（4）D 【變式3】解設(shè)zxyi(x

10、、yR)，z2ix(y2)i，由題意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，由題意得x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根據(jù)條件，可知，解得2a6，實數(shù)a的取值范圍是(2,6)當堂檢測1答案D解析(5i6i2)(5i6)65i，故選D.2答案A解析z(2i)117i，z35i.3答案A解析方法一由zi1i得z11i.方法二設(shè)zabi(a，bR)，由zi1i，得(abi)i1i，即bai1i.由復(fù)數(shù)相等的充要條件得即z1i.4答案A解析由1bi得a2，b1，所以abi2i，所以|abi|.所以選A.5答案12i解析12i. A組全員必做題1答案A解析方法一x32i，

11、故應(yīng)選A.方法二令xabi，a，bR，(abi)26(abi)130，即a2b26a13(2ab6b)i0，解得即x32i，故應(yīng)選A.2 答案C解析f(n)nnin(i)n，f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0，集合中共有3個元素3答案D解析xyi(x，yR)，|z|xyixyi|2yi|2y|，A不正確；對于B，z2x2y22xyi，故不正確；|z|2y|2x不一定成立，C不正確；對于D，|z|x|y|，故D正確4答案10解析方法一z(3i)2，|z|(3i)2|3i|210.方法二z(3i)296ii286i，|z|10.5答案1解析設(shè)zabi(a、bR)，由i(z1

12、)32i，得b(a1)i32i，a12，a1.6答案8解析(2515i)53i，a5，b3.ab8.B組提高選做題1 答案i解析zi.2答案解析|z2|，(x2)2y23.由圖可知max.3.解(z12)(1i)1iz12i.設(shè)z2a2i，aR，則z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2R，a4.z242i.4解1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是實數(shù)，a22a150，解得a5或a3.又(a5)(a1)0，a5且a1，故a3.5.解方法一設(shè)zxyi(x，yR)，|z|2，x2y24，|zi|xyii|x(y1)i|.y24x24，2y2.故當y2時，52y取得最大值9，從而取最大值3，此時x0，即|zi|取得最大值3時，z2i.方法二類比實數(shù)絕對值的幾何意義，可知方程|z|2表示以原點為圓心，以2為半徑的圓，而|zi|表示圓上的點到點A(0,1)的距離如圖，連接AO并延長與圓交于點B(0，2)，顯然根據(jù)平面幾何的知識可知，圓上的點B到點A的距離最大，最大值為3，即當z2i時，|zi|取得最大值3.