8、≤x＜2π)取得最大值時，x＝ .
解析：由已知條件可得y＝2sin，又由0≤x＜2π得－≤x－＜，當(dāng)x－＝時y取得最大值，此時x＝.
答案：
B組——能力提升練
1．函數(shù)y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在區(qū)間內(nèi)的圖像是( )
解析：y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|＝對比選項，可知選D.
答案：D
2．已知函數(shù)f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f＝－2，則f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間可以是( )
A. B.
C. D.
解析：∵f＝－2，∴－2sin＝－2，即sin＝1.∴＋φ＝＋2kπ
9、，又∵|φ|<π，∴φ＝，∴f(x)＝－2sin.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.當(dāng)k＝0時，得≤x≤.即f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間可以是.
答案：D
3．若函數(shù)y＝tan ωx(ω∈N*)的圖像的一個對稱中心是，則ω的最小值是( )
A．2 B．3
C．6 D．9
解析：因為正切函數(shù)f(x)＝tan x圖像的對稱中心為(k∈Z)，且函數(shù)y＝tan ωx(ω∈N*)的一個對稱中心是，所以＝(k∈Z)，因此ω＝3k(k∈Z)．因為ω∈N*，所以當(dāng)k＝1時，ω取得最小值3，故選B.
答案：B
4．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>
10、0，ω>0)的圖像與直線y＝b(00，ω>0)的圖像可知f(x)在區(qū)間[6k－3,6k]，k∈Z上是單調(diào)遞減的，故選B.
答案：B
5．若函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且該函數(shù)圖像關(guān)于點(x0,0)成中心對稱，
11、x0∈，則x0＝( )
A. B.
C. D.
解析：由題意得＝，T＝π，則ω＝2.由2x0＋＝kπ(k∈Z)，得x0＝－(k∈Z)，又x0∈，所以x0＝.
答案：A
6．已知函數(shù)f(x)＝cos2＋sinωx－(ω＞0)，x∈R，若f(x)在區(qū)間(π，2π)內(nèi)沒有零點，則ω 的取值范圍是( )
A．(0，] B．(0，]∪[，)
C．(0，] D．(0，]∪[，]
解析：函數(shù)f(x)＝cos2＋sin ωx－＝cosωx＋sinωx＝sin(ωx＋)，可得T＝≥π，0＜ω≤2，f(x)在區(qū)間(π，2π)內(nèi)沒有零點，函數(shù)的圖像如圖兩種類型，結(jié)合三角函數(shù)可得：
12、或，
解得ω∈(0，]∪[，)．
答案：B
7．已知函數(shù)f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖像的對稱軸完全相同，若x∈，則f(x)的取值范圍是( )
A. B．[－3,3]
C. D.
解析：因為兩個函數(shù)圖像的對稱軸完全相同，所以這兩個函數(shù)的周期相同，即ω＝2，所以函數(shù)f(x)＝3sin(2x－)．當(dāng)x∈[0，]時，2x－∈[－，]，由正弦函數(shù)的圖像及其性質(zhì)知， f(x)min＝f(0)＝－，f(x)max＝f()＝3，故選A.
答案：A
8．(2018長沙市模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋)－cos(x＋)，若存在x1，x2，…
13、，xn滿足0≤x1＜x2＜…＜xn≤6π，且|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|＝12(n≥2，n∈N*)，則n的最小值為( )
A．6 B．10
C．8 D．12
解析：f(x)＝sin(x＋)－cos(x＋)＝sin(x＋－)＝sin x，所以|f(xn－1)－f(xn)|≤2，又|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|＝12(n≥2，n∈N*)，所以要使n取最小值，需x1＝0，x2＝，x3＝，x4＝，…，x7＝，x8＝6π.故滿足條件的最小整數(shù)n為8.
答案：C
9．設(shè)
14、函數(shù)f(x)＝(x∈R)，則f(x)( )
A．在區(qū)間上是減函數(shù)
B．在區(qū)間上是增函數(shù)
C．在區(qū)間上是增函數(shù)
D．在區(qū)間上是減函數(shù)
解析：由f(x)＝可知，f(x)的最小正周期為π.由kπ≤x＋≤＋kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即f(x)在(k∈Z)上單調(diào)遞增；由＋kπ≤x＋≤π＋kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即f(x)在(k∈Z)上單調(diào)遞減．將各選項逐項代入驗證，可知B正確．
答案：B
10．若函數(shù)f(x)同時具有以下兩個性質(zhì)：①f(x)是偶函數(shù)；②對任意實數(shù)x，都有f＝f.則f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝cos x
15、B．f(x)＝cos
C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos 6x
解析：由題意可得，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且它的圖像關(guān)于直線x＝對稱．因為f(x)＝cos x是偶函數(shù)，f＝，不是最值，故不滿足圖像關(guān)于直線x＝對稱，故排除A.因為函數(shù)f(x)＝cos＝－sin 2x是奇函數(shù)，不滿足條件①，故排除B.因為函數(shù)f(x)＝sin＝cos 4x是偶函數(shù)，且f＝－1，是最小值，故滿足圖像關(guān)于直線x＝對稱，故C滿足條件．因為函數(shù)f(x)＝cos 6x是偶函數(shù)，f＝0，不是最值，故不滿足圖像關(guān)于直線x＝對稱，故排除D.
答案：C
11．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)圖像相鄰對稱軸間的距離為，
16、f(0)＝，則g(x)＝2cos(ωx＋φ)在區(qū)間上的最小值為( )
A．－ B．－2
C．－1 D．1
解析：由題意得函數(shù)f(x)的最小正周期為π，則ω＝2，由f(0)＝，可得φ＝，所以g(x)＝2cos(ωx＋φ)即為g(x)＝2cos.因為x∈，所以2x＋∈，得－1≤cos≤，則g(x)在區(qū)間上的最小值為－2.
答案：B
12．已知函數(shù)f(x)＝2cos22x－2.給出下列命題：①存在β∈R，f(x＋β)為奇函數(shù)；②存在α∈(0，)，f(x)＝f(x＋2α)對x∈R恒成立；③任意x1，x2∈R，若|f(x1)－f(x2)|＝2，則|x1－x2|的最小值為；④任意x1，x2
17、∈R，若f(x1)＝f(x2)＝0，則x1－x2＝kπ(k∈Z)．其中的真命題有( )
A．①② B．③④
C．②③ D．①④
解析：由題意，f(x)＝2cos22x－2＝cos 4x－1.對于①，f(x)＝cos 4x－1的圖像如圖所示，函數(shù)f(x＋β)的圖像是f(x)的圖像向左或向右平移|β|個單位長度得到的，它不會是奇函數(shù)，故①錯誤；對于②，f(x)＝f(x＋2α)，所以cos 4x－1＝cos(4x＋8α)－1，所以8α＝2kπ，k∈Z，所以α＝，k∈Z.又α∈(0，)，所以取α＝或時，f(x)＝f(x＋2α)對x∈R恒成立，故②正確；對于③，|f(x1)－f(x2)|＝|
18、cos 4x1－cos 4x2|＝2時，|x1－x2|的最小值為＝＝，所以③正確；對于④，任意x1，x2∈R，當(dāng)f(x1)＝f(x2)＝0時，x1－x2＝kT＝k＝，k∈Z，所以④錯誤．綜上，真命題是②③，故選C.
答案：C
13．函數(shù)y＝tan的圖像與x軸交點的坐標(biāo)是 ．
解析：由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)．∴函數(shù)y＝tan的圖像與x軸交點的坐標(biāo)是，k∈Z.
答案：，k∈Z
14．設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f＝f＝－f，則f(x)的最小正周期為 ．
19、
解析：由f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f＝－f知，f(x)有對稱中心，由f＝f知f(x)有對稱軸x＝＝π.
記f(x)的最小正周期為T，則T≥－，
即T≥π.故π－＝＝，
解得T＝π.
答案：π
15．已知函數(shù)：①f(x)＝2sin(2x＋)；②f(x)＝2sin(2x－)；③f(x)＝2sin(x＋)；④f(x)＝2sin(2x－)．其中，最小正周期為π且圖像關(guān)于直線x＝對稱的函數(shù)序號是 ．
解析：對于①，其最小正周期T＝＝π，其圖像的對稱軸為2x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，顯然x＝不是函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋)圖像的對稱軸，①錯誤；對于②，其最小正周期T＝＝π，其圖像的對稱軸為2x－＝kπ＋(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，顯然x＝是函數(shù)f(x)＝2sin(2x－)圖像的對稱軸，②正確；對于③，其最小正周期T＝＝4π，③錯誤；對于④，其最小正周期T＝＝π，其圖像的對稱軸為2x－＝kπ＋(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，顯然x＝不是函數(shù)f(x)＝2sin(2x－)圖像的對稱軸，④錯誤．
答案：②
同步優(yōu)化探究理數(shù)北師大版練習(xí)：第三章 第三節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) Word版含解析
