數(shù)學(xué)人教A版必修4 第二章　平面向量 單元測(cè)試2 含解析

（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料(時(shí)間：100 分鐘，滿(mǎn)分：120 分)一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的)1.ABACBCBA化簡(jiǎn)后等于()A3ABB.ABC.BAD.CA解析：選 B.原式(ABBA)(ACBC)(ABAB)(ACCB)0ABAB，故選B.2已知 i(1，0)，j(0，1)，則與 2i3j 垂直的向量是()A3i2jB2i3jC3i2jD2i3j解析：選 C.2i3j(2，3)，C 中3i2j(3，2)因?yàn)?2(3)320，所以 2i3j 與3i2j 垂直3下列說(shuō)法正確的是()A兩個(gè)單位向量的數(shù)量積為 1B若 abac，且 a0，則 bcC.ABOAOBD若 bc，則(ac)bab解析：選 D.A 中，兩向量的夾角不確定，故 A 錯(cuò)；B 中，若 ab，ac，b 與 c 反方向，則不成立，故 B 錯(cuò)；C 中，應(yīng)為ABOBOA，故 C 錯(cuò)；D 中，因?yàn)?bc，所以 bc0，所以(ac)babcbab，故 D 正確4已知向量 a(1，1)，b(2，x)，若 ab 與 4b2a 平行，則實(shí)數(shù) x 的值是()A2B0C1D2解析：選 D.因?yàn)?a(1，1)，b(2，x)，所以 ab(3，x1)，4b2a(6，4x2)，由于 ab 與 4b2a 平行，得 6(x1)3(4x2)0，解得 x2.5已知兩個(gè)非零向量 a，b 滿(mǎn)足|ab|ab|，則下面結(jié)論正確的是()AabBabC|a|b|Dabab解析：選 B.因?yàn)閨ab|ab|(ab)2(ab)2ab0，所以 ab，選 B.6已知向量 a(3，4)，b(3，1)，a 與 b 的夾角為，則 tan 等于()A.13B13C3D3解析：選 D.由題意，得 ab3(3)415，|a|5，|b| 10，則 cos ab|a|b|55 10110.0，sin 1cos2310，tan sin cos 3.7已知四邊形 ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn) A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且BC2AD，則頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為()A(2，72)B(2，12)C(3，2)D(1，3)解析：選 A.設(shè) D(x，y)，則BC(4，3)，AD(x，y2)又BC2AD，故42x，32（y2） ，解得x2，y72.8兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力 F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們的夾角為 90時(shí)，合力的大小為 20 N，則當(dāng)它們的夾角為 120時(shí)，合力的大小為()A40 NB10 2 NC20 2 ND. 10 N解析：選 B.對(duì)于兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力 F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們的夾角為 90，合力的大小為20 N 時(shí)，由三角形法則可知，這兩個(gè)力的大小都是 10 2 N；當(dāng)它們的夾角為 120時(shí)，由三角形法則可知力的合成構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，因此合力的大小為 10 2 N.9A，B，C，D 為平面上四個(gè)互異點(diǎn)，且滿(mǎn)足(DBDC2DA)(ABAC)0，則ABC的形狀是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等邊三角形解析：選 B.(DBDC2DA)(ABAC)(DBDADCDA)(ABAC)(ABAC)(ABAC)AB2AC20，|AB|AC|，ABC 為等腰三角形10在平面直角坐標(biāo)系中，若 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 A，B，C 三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上的等價(jià)條件為存在唯一的實(shí)數(shù)， 使得OCOA(1)OB成立， 此時(shí)稱(chēng)實(shí)數(shù)為“向量OC關(guān)于OA和OB的終點(diǎn)共線(xiàn)分解系數(shù)”若已知 P1(3，1)，P2(1，3)，且向量OP3與向量 a(1，1)垂直，則“向量OP3關(guān)于OP1和OP2的終點(diǎn)共線(xiàn)分解系數(shù)”為()A3B3C1D1解析：選 D.設(shè)OP3(x，y)，則由OP3a 知 xy0，于是OP3(x，x)，設(shè)OP3OP1(1)OP2，(x，x)(3，1)(1)(1，3)，1.二、填空題(本大題共 5 小題，每小題 4 分，共 20 分把答案填在題中橫線(xiàn)上)11已知點(diǎn) A(1，5)，a(2，3)，若AB3a，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為_(kāi)解析：設(shè) B(x，y)，(x1，y5)3(2，3)，x16，y59，解得x5，y4.答案：(5，4)12設(shè) e1，e2是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，a3e14e2，be12e2.若以 a，b 為基底表示向量 e12e2，即 e12e2ab，則_解析：由 a3e14e2，be12e2，得 e115a25b，e2110a310b，e12e225a15b，即251515.答案：1513向量 a(1，2)，b(1，m)，向量 a，b 在直線(xiàn) yx1 上的投影相等，則向量 b_解析：直線(xiàn) yx1 的方向向量為 c(1，1)，則可知ac|c|bc|c|，則 acbc，所以 121m，解得 m4，所以 b(1，4)答案：(1，4)14. 如圖所示，在正方形 ABCD 中，已知|AB|2，若 N 為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn)，則ABAN的最大值是_解析： ABAN|AB|AN|cosBAN， |AN|cosBAN 表示AN在A(yíng)B方向上的投影 又|AB|2，ABAN的最大值是 4.答案：415設(shè)向量 a，b 滿(mǎn)足：|a|3，|b|4，ab0，以 a，b，ab 的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為 1 的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為_(kāi)解析：由題意可知該三角形為直角三角形，其內(nèi)切圓半徑恰好為 1，它與半徑為 1 的圓最多有 4 個(gè)交點(diǎn)答案：4三、解答題(本大題共 5 小題，每小題 10 分，共 50 分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)16已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求|ab|；(2)求向量 a 在向量 ab 方向上的投影解：(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.|a|4，|b|3，ab6.|ab| |a|2|b|22ab 42322（6） 13.(2)a(ab)|a|2ab42610.向量 a 在向量 ab 方向上的投影為a（ab）|ab|101310 1313.17已知向量 a 與 b 的夾角為，|a|2，|b| 3.(1)當(dāng) ab 時(shí)，求(ab)(a2b)的值；(2)當(dāng)56時(shí)，求|2ab|(ab)(ab)的值；(3)定義 ab|a|2 3ab，若 ab7，求的取值范圍解：(1)ab，cos 1.(ab)(a2b)|a|2ab2|b|222 3cos 22 3.(2)|2ab|24|a|24ab|b|21642 3cos56331，|2ab| 31，又(ab)(ab)|a|2|b|21，|2ab|(ab)(ab) 311.(3)ab|a|2 3ab4 32 3cos 7，cos 12，又0，23，18在OAB 的邊 OA，OB 上分別有一點(diǎn) P，Q，已知 OPPA12，OQQB32，連接 AQ，BP，設(shè)它們交于點(diǎn) R，若OAa，OBb.(1)用 a 與 b 表示OR；(2)若|a|1，|b|2，a 與 b 夾角為 60，過(guò) R 作 RHAB 交 AB 于點(diǎn) H，用 a，b 表示OH.解：(1)OP13OA13a，OQ35b，由 A，R，Q 三點(diǎn)共線(xiàn)，可設(shè)ARmAQ.故OROAARamAQam(OQOA)am(35ba)(1m)a35mb.同理，由 B，R，P 三點(diǎn)共線(xiàn)，可設(shè)BRnBP.故OROBBRbn(OPOB)n3a(1n)b.由于 a 與 b 不共線(xiàn)，則有1mn3，35m1n，解得m56，n12.OR16a12b.(2)由 A，H，B 三點(diǎn)共線(xiàn)，可設(shè)BHBA，則OHa(1)b，RHOHOR(16)a(12)b.又RHAB，RHAB0.(16)a(12)b(ba)0.又ab|a|b|cos 601，12，OH12a12b.19已知 a(2sin x，1)，b(2，2)，c(sin x3，1)，d(1，k)(xR，kR)(1)若 x2，2，且 a(bc)，求 x 的值；(2)若函數(shù) f(x)ab，求 f(x)的最小值；(3)是否存在實(shí)數(shù) k 和 x，使得(ad)(bc)？若存在，求出 k 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)bc(sin x1，1)，又 a(bc)，(2sin x)sin x1，即 sin x12.又 x2，2，x6.(2)a(2sin x，1)，b(2，2)，f(x)ab2(2sin x)22sin x2.又 xR，當(dāng) sin x1 時(shí)，f(x)有最小值，且最小值為 0.(3)ad(3sin x，1k)，bc(sin x1，1)，若(ad)(bc)，則(ad)(bc)0，即(3sin x)(sin x1)(1k)0，ksin2x2sin x4(sin x1)25.由 sin x1，1，得 sin x10，2，(sin x1)20，4，故 k5，1存在 k5，1，使得(ad)(bc)20在平面直角坐標(biāo)系中，A(1，1)、B(2，3)、C(s，t)、P(x，y)，ABC 是等腰直角三角形，B 為直角頂點(diǎn)(1)求點(diǎn) C(s，t)；(2)設(shè)點(diǎn) C(s，t)是第一象限的點(diǎn)，若APABmAC，mR，則 m 為何值時(shí)，點(diǎn) P 在第二象限？解：(1)由已知得ABBC，ABBC0.AB(2，3)(1，1)(1，2)，BC(s，t)(2，3)(s2，t3)，(1，2)(s2，t3)0，即 s2t80.又|AB|BC|，即 5 （s2）2（t3）2，即 s2t24s6t80.將代入消去 s，得 t26t80.解得 t2 或 4，相應(yīng)的 s4 或 0，所以點(diǎn) C 為(0，4)或(4，2)(2)由題意取 C(4，2)，AP(x1，y1)，ABmAC(1，2)m(3，1)(13m，2m)APABmAC，x113m，y12m，x23m，y3m.若點(diǎn) P 在第二象限，則23m0.解得23m3.當(dāng)23m3 時(shí)，點(diǎn) P 在第二象限