高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

（四）直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、知識歸納：（一）直線和圓的位置關(guān)系1直線和圓位置關(guān)系的判定方法一是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立成方程組，利用判別式來討論位置關(guān)系.0，直線和圓相交；=0，直線和圓相切；0，直線和圓相離.方法二是幾何的觀點，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較.dR，直線和圓相交；d=R，直線和圓相切；dR，直線和圓相離.2直線和圓相切，這類問題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況，而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況.3直線和圓相交，這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題.（二）圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，。；二、學(xué)習(xí)要點：1.有關(guān)直線和圓的位置關(guān)系，一般要用圓心到直線的距離與半徑的大小來確定.2.當(dāng)直線和圓相切時，求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑，求切線長一般要用切線、半徑及圓外點與圓心連線構(gòu)成的直角三角形；與圓相交時，弦長的計算也要用弦心距、半徑及弦長的一半構(gòu)成的直角三角形.3.有關(guān)圓的問題，注意圓心、半徑及平面幾何知識的應(yīng)用.4.在確定點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時，經(jīng)常要用到距離，因此，兩點間的距離公式、點到直線的距離公式等應(yīng)熟練掌握，靈活運用.三、例題分析：例1、已知一個圓和軸相切，在直線上截得的弦長為，且圓心在直線上，求圓的方程。例2從點發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，其反射光線所在的直線與圓相切，求光線所在直線的方程.例3、已知mR，直線l：和圓C：。（1）求直線l斜率的取值范圍；（2）直線l能否將圓C分割成弧長的比值為的兩段圓弧？為什么？例4已知圓A的圓心在曲線上，圓A與y軸相切，又與另一圓 相外切，求圓A的方程. PMNO1O2例5如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2=4，過動點P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN（M、N分別為切點），使得試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點P的軌跡方程四、練習(xí)題（一）選擇題1設(shè)，則直線與圓的位置關(guān)系為A相切 B相交 C相切或相離 D相交或相切2已知直線ax+by+c=0（abc0）與圓x2+y2=1相切，則三條邊長分別為a、b、c的三角形A是銳角三角形 B是直角三角形 C是鈍角三角形 D不存在3設(shè)直線過點，其斜率為1, 且與圓相切,則的值為A B2 C2 D44“”是“直線與圓相切”的A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件5.若直線始終平分圓的周長,則 的最小值為 A B C D7圓與圓的位置關(guān)系是：A外切 B內(nèi)切 C相交 D外離8在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點A（1，2）距離為1，且與點B（3，1）距離為2的直線共有A1條 B2條 C3條 D4條9若圓（x3）2（y+5）2r2上有且只有兩個點到直線4x3y=2的距離等于1，則半徑r的范圍是A.（4，6） B.4，6） C.（4，6 D.4，610一動圓與圓x2+y2=1和x2+y28x+12=0都相切，則動圓圓心軌跡為A.圓 B橢圓 C雙曲線一支 D拋物線（二）填空題：11設(shè)為圓上的動點，則點到直線的距離的最小值為 _ .12已知圓和直線. 若圓與直線沒有公共點，則的取值范圍是 .13設(shè)直線與圓相交于、兩點，且弦 的長為，則_14過點（1，）的直線l將圓(x2)2y24分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k （三）解答題：15圓內(nèi)有一點，AB為經(jīng)過點P且傾斜角為的弦。（1）當(dāng)時，求弦AB的長；（2）當(dāng)弦AB被點P平分時求直線AB的方程。16已知圓： （1）求圓心的坐標(biāo)及半徑的大??；（2）若不過原點的直線與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，求直線的方程；（3）從圓外一點向圓引一條切線，切點為，為坐標(biāo)原點，且，求點的軌跡方程。17已知直線與圓交于兩點，為坐標(biāo)原點，求的值。18 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)。19已知實數(shù)x、y滿足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.（四）直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系參考答案三、例題分析：例1.解：設(shè)所求圓的方程為：，則有解方程組得或，則所求圓的方程為或例2解：圓（x2）2（y2）21關(guān)于x軸的對稱方程是（x2）2（y2）21.設(shè)l方程為y3k（x3），由于對稱圓心（2，2）到l的距離為圓的半徑1，從而可得，化簡得：，解得k1，k2故所求l的方程是3x4y30或4x3y30.例3、（1）直線的方程可化為，此時斜率因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立所以，斜率k的取值范圍是；（2）不能.由（知的方程為，其中；圓的圓心為，半徑；圓心到直線的距離由，得，即，從而，若與圓相交，則圓截直線所得的弦所對的圓心角小于，所以不能將圓分割成弧長的比值為的兩端??；（4）解析：兩圓為，則，兩圓相交。選B例4解：設(shè)圓A的方程為則有解得或則圓A的方程為或例5解：以O(shè)1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系， 則O1（-2，0），O2（2，0），由已知：,即，PMNO1O2Oyx 因為兩圓的半徑都為1,所以有：，設(shè)P（x,y） 則（x+2）2+y2-1=2(x-2)2+y2-1， 即 綜上所述，所求軌跡方程（或）四、練習(xí)題一、選擇題 110 CBB4C 6BBA10解析：1解析圓心到直線的距離為d=，圓半徑為. ，直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離. 選C2解析：由題意得=1，即c2=a2+b2，由a、b、c構(gòu)成的三角形為直角三角形. 選B3解析：設(shè)直線過點(0，a)，其斜率為1， 且與圓x2+y2=2相切，設(shè)直線方程為，圓心(0，0)道直線的距離等于半徑， ， a 的值2，選B 8解析：分別以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線有兩條，即為所求. 選B9數(shù)形結(jié)合法解. 選A二、填空題：11 1_ . 12 (0, ) . 13_0_14 k 11解析：圓心（0，0）到直線3x4y10=0的距離d=2.再由dr=21=1，知最小距離為1. 答案：112解：由題意知，圓心(-5,0) 到直線 l:3x+y+5=0 的距離 d 必須大于圓的半徑 因為d，所以0r從而應(yīng)填(0, )13解析：設(shè)直線與圓相交于、兩點，且弦的長為，則圓心(1，2)到直線的距離等于1，0 14 (數(shù)形結(jié)合)由圖形可知點A在圓的內(nèi)部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線,所以三、解答題：15解：（1）直線AB的方程是：，則圓心到直線的距離是由勾股定理（2）當(dāng)弦AB被點P平分時，有，則由直線方程的點斜式，可得直線AB的方程為：16解：（1）圓的方程可化為：，則圓心坐標(biāo)為，半徑（2）依題意，可設(shè)直線的方程為，則由，得或，即直線的方程為或（3）因為與圓相切，切點為，則有，又 故，即 化簡得：，這就是點的軌跡方程17解：設(shè)，由得，則故，即18【解析】 本小題主要考查直線與圓的方程、點到直線的距離公式，考查數(shù)學(xué)運算求解能力、綜合分析問題的能力。滿分16分。(1)設(shè)直線的方程為：，即由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，結(jié)合點到直線距離公式，得： 化簡得：求直線的方程為：或，即或(2) 設(shè)點P坐標(biāo)為，直線、的方程分別為：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，即：因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：圓心到直線與直線的距離相等。 故有：，化簡得：關(guān)于的方程有無窮多解，有： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解之得：點P坐標(biāo)為或。19解：（1）方程x2+y24x+1=0表示以點（2，0）為圓心，以為半徑的圓.設(shè)=k，即y=kx，由圓心（2，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k2=3. 所以kmax=，kmin=.（也可由平面幾何知識，有OC=2，OP=，POC=60，直線OP的傾斜角為60，直線OP的傾斜角為120解之）（2）設(shè)yx=b，則y=x+b，僅當(dāng)直線y=x+b與圓切于第四象限時，縱軸截距b取最小值.由點到直線的距離公式，得=，即b=2， 故（yx）min=2.（3）x2+y2是圓上點與原點距離之平方，故連結(jié)OC，與圓交于B點，并延長交圓于C，則（x2+y2）max=OC=2+， （x2+y2）min=OB=2.