趣味數(shù)學(xué)抽屜原理

晏子春秋晏子春秋里有一個(gè)里有一個(gè)“二桃殺三士二桃殺三士”的故事，的故事，大意是：大意是： 齊景公養(yǎng)著三名勇士，他們名叫田開疆、齊景公養(yǎng)著三名勇士，他們名叫田開疆、公孫接和古冶子。公孫接和古冶子。 這三名勇士都力大無比，武功超群，為齊景公這三名勇士都力大無比，武功超群，為齊景公立下過不少功勞。但他們也剛愎自用，目中無人，立下過不少功勞。但他們也剛愎自用，目中無人，得罪了齊國的宰相晏嬰。晏子便勸齊景公殺掉他們，得罪了齊國的宰相晏嬰。晏子便勸齊景公殺掉他們，并獻(xiàn)上一計(jì)：以齊景公的名義賞賜三名勇士兩個(gè)桃并獻(xiàn)上一計(jì)：以齊景公的名義賞賜三名勇士兩個(gè)桃子，讓他們自己評功，按功勞的大小吃桃。子，讓他們自己評功，按功勞的大小吃桃。 三名勇士都認(rèn)為自己的功勞很大，應(yīng)該單獨(dú)吃三名勇士都認(rèn)為自己的功勞很大，應(yīng)該單獨(dú)吃一個(gè)桃子。于是公孫接講了自己的打虎功，拿了一一個(gè)桃子。于是公孫接講了自己的打虎功，拿了一只桃；田開疆講了自己的殺敵功，拿起了另一桃。只桃；田開疆講了自己的殺敵功，拿起了另一桃。兩人正準(zhǔn)備要吃桃子古冶子說出了自己更大的功勞。兩人正準(zhǔn)備要吃桃子古冶子說出了自己更大的功勞。 公孫接、田開疆都覺得自己的功勞確實(shí)不如古冶子公孫接、田開疆都覺得自己的功勞確實(shí)不如古冶子大，感到羞愧難當(dāng)，趕忙讓出桃子。并且覺得自己大，感到羞愧難當(dāng)，趕忙讓出桃子。并且覺得自己功勞不如人家，卻搶著要吃桃子，實(shí)在丟人，是好功勞不如人家，卻搶著要吃桃子，實(shí)在丟人，是好漢就沒有臉再活下去，于是都拔劍自刎了。古冶子漢就沒有臉再活下去，于是都拔劍自刎了。古冶子見了，后悔不迭。仰天長嘆道：如果放棄桃子而隱見了，后悔不迭。仰天長嘆道：如果放棄桃子而隱瞞功勞，則有失勇士尊嚴(yán)；為了維護(hù)自己而羞辱同瞞功勞，則有失勇士尊嚴(yán)；為了維護(hù)自己而羞辱同伴，又有損哥們義氣。如今兩個(gè)伙伴都為此而死了，伴，又有損哥們義氣。如今兩個(gè)伙伴都為此而死了，我獨(dú)自活著，算什么勇士！說罷，也拔劍自殺了。我獨(dú)自活著，算什么勇士！說罷，也拔劍自殺了。 晏子采用借晏子采用借“桃桃”殺人的辦法，不費(fèi)吹灰之殺人的辦法，不費(fèi)吹灰之力，便達(dá)到了他預(yù)定的目的，可說是善于運(yùn)用權(quán)力，便達(dá)到了他預(yù)定的目的，可說是善于運(yùn)用權(quán)謀。漢朝有人在一首詩中曾不無諷刺地寫道：謀。漢朝有人在一首詩中曾不無諷刺地寫道：“一朝被讒言，二桃殺三士。誰能為此謀，一朝被讒言，二桃殺三士。誰能為此謀，相國務(wù)晏子！相國務(wù)晏子！” 在晏子的權(quán)謀之中，包含了一個(gè)重要的在晏子的權(quán)謀之中，包含了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)原理數(shù)學(xué)原理抽屜原理抽屜原理。 “ “ 抽屜原理抽屜原理”又稱又稱“鴿籠原理鴿籠原理”，最先是由，最先是由1919世世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄里克雷狄里克雷提出來的，所以又稱提出來的，所以又稱“狄狄里克雷原理里克雷原理”。狄里克雷狄里克雷德國數(shù)學(xué)家。對數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和德國數(shù)學(xué)家。對數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。之一。18051805年年2 2月月1313日生于迪倫，日生于迪倫，18591859年年5 5月月5 5日卒于格丁根。中學(xué)時(shí)曾受教于物理學(xué)家日卒于格丁根。中學(xué)時(shí)曾受教于物理學(xué)家G.S.G.S.歐姆；歐姆；1822182218261826年在巴黎求學(xué)，深受年在巴黎求學(xué)，深受J.-J.-B.-J.B.-J.傅里葉的影響傅里葉的影響 。回國后先后在布雷斯?；貒笙群笤诓祭姿箘诖髮W(xué)、柏林軍事學(xué)院和柏林大學(xué)任教勞大學(xué)、柏林軍事學(xué)院和柏林大學(xué)任教2727年，年，對德國數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生巨大影響。對德國數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生巨大影響。18391839年任柏年任柏林大學(xué)教授，林大學(xué)教授，18551855年接任年接任C.F.C.F.高斯在格丁根高斯在格丁根大學(xué)的教授職位。大學(xué)的教授職位。狄利克雷原則是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理。把它狄利克雷原則是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理。把它推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式。推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式。形式一：形式一： 設(shè)把設(shè)把n n1 1個(gè)元素分為個(gè)元素分為n n個(gè)集合個(gè)集合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示這表示這n n個(gè)集合里相應(yīng)個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，證明至少存在某個(gè)的元素個(gè)數(shù)，證明至少存在某個(gè)a ai i大于或等于大于或等于2.2.形式二：形式二： 設(shè)把設(shè)把nmnm1 1個(gè)元素分為個(gè)元素分為n n個(gè)集個(gè)集合合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示這表示這n n個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，證明至少存在某個(gè)個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，證明至少存在某個(gè)a ai i大于或等于大于或等于m m1 1。 19471947年，匈牙利數(shù)學(xué)家把這一原理引進(jìn)到中學(xué)生數(shù)年，匈牙利數(shù)學(xué)家把這一原理引進(jìn)到中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中，當(dāng)年匈牙利全國數(shù)學(xué)競賽有一道這樣的試題學(xué)競賽中，當(dāng)年匈牙利全國數(shù)學(xué)競賽有一道這樣的試題：“證明：任何六個(gè)人中，一定可以找到三個(gè)互相認(rèn)識的證明：任何六個(gè)人中，一定可以找到三個(gè)互相認(rèn)識的人，或者三個(gè)互不認(rèn)識的人。人，或者三個(gè)互不認(rèn)識的人。” ” 如果如果B、C、D三人三人互不認(rèn)識互不認(rèn)識，那么我們就找到了，那么我們就找到了三個(gè)三個(gè)互不認(rèn)識互不認(rèn)識的人；如果的人；如果B、C、D三人中有兩個(gè)三人中有兩個(gè)互相互相認(rèn)識認(rèn)識，例如，例如B與與C認(rèn)識，那么，認(rèn)識，那么，A、B、C就是三個(gè)就是三個(gè)互相互相認(rèn)識認(rèn)識的人。不管哪種情況，本題的結(jié)論都是成立的。的人。不管哪種情況，本題的結(jié)論都是成立的。 用用A、B、C、D、E、F代表六個(gè)人，從中隨便找代表六個(gè)人，從中隨便找一個(gè)，例如一個(gè)，例如A吧，把其余五個(gè)人放到吧，把其余五個(gè)人放到“與與A認(rèn)識認(rèn)識”和和“與與A不認(rèn)識不認(rèn)識”兩個(gè)兩個(gè)“抽屜抽屜”里去，根據(jù)抽屜原理，至里去，根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有三個(gè)人。不妨假定在少有一個(gè)抽屜里有三個(gè)人。不妨假定在“與與A認(rèn)識認(rèn)識”的的抽屜里有三個(gè)人，他們是抽屜里有三個(gè)人，他們是B、C、D。(1 16) 162136 1. 1.有黑色、白色、黃色的筷子各有黑色、白色、黃色的筷子各8 8根，混雜在一起，黑暗中想從這些筷根，混雜在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩雙筷子，問至子中取出顏色不同的兩雙筷子，問至少要取多少根才能保證達(dá)到要求？少要取多少根才能保證達(dá)到要求？ 2.2.在在1 1只箱子里面放著紅、黑、白只箱子里面放著紅、黑、白三種顏色的手套各三種顏色的手套各6 6副，如想閉著眼副，如想閉著眼睛從中取出兩副顏色不同的手套，問睛從中取出兩副顏色不同的手套，問至少要取出多少只才能達(dá)到要求？至少要取出多少只才能達(dá)到要求？121212121 12525 3. 在在2323的方格紙中，將的方格紙中，將19這這9個(gè)數(shù)字填入每個(gè)小方格中，并對所有個(gè)數(shù)字填入每個(gè)小方格中，并對所有形如形如“十字十字”的圖形中的的圖形中的5個(gè)數(shù)字和，個(gè)數(shù)字和，對于小方格中的數(shù)字的任意一種填法，對于小方格中的數(shù)字的任意一種填法，其中和數(shù)相等的其中和數(shù)相等的“十字十字”圖形至少有圖形至少有多少個(gè)？多少個(gè)？ 4. 400人中至少有兩個(gè)人的生日相同人中至少有兩個(gè)人的生日相同.分析：生日從分析：生日從1月月1日排到日排到12月月31日，共有日，共有366個(gè)不相個(gè)不相同的生日，我們把同的生日，我們把366個(gè)不同的生日看作個(gè)不同的生日看作366個(gè)抽屜，個(gè)抽屜，400人視為人視為400個(gè)蘋果，由表現(xiàn)形式個(gè)蘋果，由表現(xiàn)形式1可知，至少有兩可知，至少有兩人在同一個(gè)抽屜里，所以這人在同一個(gè)抽屜里，所以這400人中有兩人的生日相人中有兩人的生日相同同.解：將一年中的解：將一年中的366366天視為天視為366366個(gè)抽屜，個(gè)抽屜，400400個(gè)人看作個(gè)人看作400400個(gè)蘋果，由抽屜原理的表個(gè)蘋果，由抽屜原理的表現(xiàn)形式現(xiàn)形式1 1可以得知：至少有兩人的生日相可以得知：至少有兩人的生日相同同. .5. 5. 任取任取5 5個(gè)整數(shù)，必然能夠從中選出三個(gè)，個(gè)整數(shù)，必然能夠從中選出三個(gè)，使它們的和能夠被使它們的和能夠被3 3整除整除. .證明：任意給一個(gè)整數(shù)，它被證明：任意給一個(gè)整數(shù)，它被3除，余數(shù)可能為除，余數(shù)可能為0，1，2，我，我們把被們把被3除余數(shù)為除余數(shù)為0，1，2的整數(shù)各歸入類的整數(shù)各歸入類r，r1，r2.至少有至少有一類包含所給個(gè)數(shù)中的至少兩個(gè)一類包含所給個(gè)數(shù)中的至少兩個(gè).因此可能出現(xiàn)兩種情況：因此可能出現(xiàn)兩種情況：.某一類至少包含三個(gè)數(shù)；某一類至少包含三個(gè)數(shù)；.某兩類各含兩個(gè)數(shù)，第三類包含一個(gè)數(shù)某兩類各含兩個(gè)數(shù)，第三類包含一個(gè)數(shù). 若是第一種情況，就在至少包含三個(gè)數(shù)的那一類中任取三若是第一種情況，就在至少包含三個(gè)數(shù)的那一類中任取三數(shù)，其和一定能被數(shù)，其和一定能被3整除；整除； 若是第二種情況，在三類中各取一個(gè)數(shù)，其和也能被若是第二種情況，在三類中各取一個(gè)數(shù)，其和也能被3整整除除.綜上所述，原命題正確綜上所述，原命題正確. 6. 6. 某校派出學(xué)生某校派出學(xué)生204204人上山植樹人上山植樹1530115301株，株，其中最少一人植樹其中最少一人植樹5050株，最多一人植樹株，最多一人植樹100100株，株，則至少有則至少有5 5人植樹的株數(shù)相同人植樹的株數(shù)相同. .證明：按植樹的多少，從證明：按植樹的多少，從50到到100株可以構(gòu)造株可以構(gòu)造51個(gè)抽個(gè)抽屜，則個(gè)問題就轉(zhuǎn)化為至少有屜，則個(gè)問題就轉(zhuǎn)化為至少有5人植樹的株數(shù)在同一人植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里個(gè)抽屜里. (用反證法用反證法)假設(shè)無人或人以上植樹的株數(shù)假設(shè)無人或人以上植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那只有人以下植樹的株數(shù)在同在同一個(gè)抽屜里，那只有人以下植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，而參加植樹的人數(shù)為一個(gè)抽屜里，而參加植樹的人數(shù)為204人，所以，人，所以，每個(gè)抽屜最多有每個(gè)抽屜最多有4人，故植樹的總株數(shù)最多有：人，故植樹的總株數(shù)最多有：4(504(5051519999100)100)4 4251)10050( 1530015301得出矛盾得出矛盾.所以，至少有所以，至少有5 5人植樹的株數(shù)相同人植樹的株數(shù)相同. . 形式一：形式一： 設(shè)把設(shè)把n n1 1個(gè)元素分為個(gè)元素分為n n個(gè)集合個(gè)集合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示這表示這n n個(gè)集合個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，證明至少存在某個(gè)里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，證明至少存在某個(gè)a ai i大于大于或等于或等于2.2.形式二：形式二： 設(shè)把設(shè)把nmnm1 1個(gè)元素分為個(gè)元素分為n n個(gè)集個(gè)集合合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示這表示這n n個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，證明至少存在某個(gè)個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，證明至少存在某個(gè)a ai i大于或等于大于或等于m m1 1。抽屜原理的兩種常見形式抽屜原理的兩種常見形式: 抽屜原理不僅在數(shù)學(xué)中有用，在抽屜原理不僅在數(shù)學(xué)中有用，在現(xiàn)實(shí)生活中也到處在起作用，如招生現(xiàn)實(shí)生活中也到處在起作用，如招生錄取、就業(yè)安排、資源分配、職稱評錄取、就業(yè)安排、資源分配、職稱評定等等，都不難看到抽屜原理的作用。定等等，都不難看到抽屜原理的作用。