人教版 高中數(shù)學【選修 21】 章末綜合測評2

2019人教版精品教學資料·高中選修數(shù)學章末綜合測評(二)推理與證明(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1數(shù)列2,5,11,20，x,47，中的x等于()A28B32C33D27【解析】觀察知數(shù)列an滿足：a12，an1an3n，故x203×432.【答案】B2(2016·汕頭高二檢測)有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導函數(shù)f(x)，若f(x0)0，則xx0是函數(shù)f(x)的極值點因為f(x)x3在x0處的導數(shù)值f(0)0，所以x0是f(x)x3的極值點以上推理中()A大前提錯誤B小前提錯誤C推理形式錯誤D結論正確【解析】大前提是錯誤的，若f(x0)0，xx0不一定是函數(shù)f(x)的極值點，故選A.【答案】A3下列推理過程是類比推理的是()A人們通過大量試驗得出擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為B科學家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼C通過檢測溶液的pH值得出溶液的酸堿性D數(shù)學中由周期函數(shù)的定義判斷某函數(shù)是否為周期函數(shù)【解析】A為歸納推理，C，D均為演繹推理，B為類比推理【答案】B4下面幾種推理是合情推理的是()由圓的性質類比出球的有關性質；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內角和是180°歸納出所有三角形的內角和都是180°；由f(x)sin x，滿足f(x)f(x)，xR，推出f(x)sin x是奇函數(shù)；三角形內角和是180°，四邊形內角和是360°，五邊形內角和是540°，由此得凸多邊形內角和是(n2)·180°.ABCD【解析】合情推理分為類比推理和歸納推理，是類比推理，是歸納推理，是演繹推理【答案】C5設a21.522.5，b7，則a，b的大小關系是()Aa>bBabCa<bDa>2(b1)【解析】因為a21.522.5>28>7，故a>b.【答案】A6將平面向量的數(shù)量運算與實數(shù)的乘法運算相類比，易得到下列結論：a·bb·a；(a·b)·ca·(b·c)；a·(bc)a·ba·c；|a·b|a|b|；由a·ba·c(a0)，可得bc.以上通過類比得到的結論中，正確的個數(shù)是()A2個B3個C4個D5個【解析】正確；錯誤【答案】A7證明命題：“f(x)ex在(0，)上是增函數(shù)”現(xiàn)給出的證法如下：因為f(x)ex，所以f(x)ex.因為x>0，所以ex>1,0<<1.所以ex>0，即f(x)>0.所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)，使用的證明方法是()A綜合法B分析法C反證法D以上都不是【解析】從已知條件出發(fā)利用已知的定理證得結論，是綜合法【答案】A8已知c>1，a，b，則正確的結論是()【導學號：19220032】Aa>bBa<bCabDa，b大小不定【解析】要比較a與b的大小，由于c>1，所以a>0，b>0，故只需比較與的大小即可，而，顯然>，從而必有a<b，故選B.【答案】B9設n為正整數(shù)，f(n)1，經(jīng)計算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，觀察上述結果，可推測出一般結論()Af(2n)>Bf(n2)Cf(2n)D以上都不對【解析】f(2)，f(4)f(22)>，f(8)f(23)>，f(16)f(24)>，f(32)f(25)>.由此可推知f(2n).故選C.【答案】C10定義A*B，B*C，C*D，D*A的運算分別對應下面圖1中的(1)(2)(3)(4)，則圖中a，b對應的運算是()圖1AB*D，A*DBB*D，A*CCB*C，A*DDC*D，A*D【解析】根據(jù)(1)(2)(3)(4)可知A對應橫線，B對應矩形，C對應豎線，D對應橢圓由此可知選B.【答案】B11觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10()A28B76C123D199【解析】從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10b10123.【答案】C12在等差數(shù)列an中，若an>0，公差d>0，則有a4·a6>a3·a7，類比上述性質，在等比數(shù)列bn中，若bn>0，公比q>1，則b4，b5，b7，b8的一個不等關系是()Ab4b8>b5b7Bb4b8<b5b7Cb4b7>b5b8Db4b7<b5b8【解析】在等差數(shù)列an中，由于4637時，有a4·a6>a3·a7，所以在等比數(shù)列bn中，由于4857，所以應有b4b8>b5b7或b4b8<b5b7.因為b4b1q3，b5b1q4，b7b1q6，b8b1q7，所以(b4b8)(b5b7)(b1q3b1q7)(b1q4b1q6)b1q6·(q1)b1q3(q1)(b1q6b1q3)(q1)b1q3(q31)(q1)因為q>1，bn>0，所以b4b8>b5b7.【答案】A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分將答案填在題中的橫線上)13已知x，yR，且xy>2，則x，y中至少有一個大于1，在用反證法證明時假設應為_【解析】“至少有一個”的否定為“一個也沒有”，故假設應為“x，y均不大于1”(或x1且y1)【答案】x，y均不大于1(或x1且y1)14如圖2，第n個圖形是由正n2邊形“擴展”而來(n1,2,3，)，則第n2(n>2)個圖形中共有_個頂點圖2【解析】設第n個圖形中有an個頂點，則a133×3，a244×4，an(n2)(n2)·(n2)，an2n2n.【答案】n2n15設a>0，b>0，則下面兩式的大小關系為lg(1)_lg(1a)lg(1b)【解析】因為(1)2(1a)(1b)12ab1abab2(ab)()20，所以(1)2(1a)(1b)，所以lg(1)lg(1a)lg(1b)【答案】16(2016·杭州高二檢測)對于命題“如果O是線段AB上一點，則|·|·0”將它類比到平面的情形是：若O是ABC內一點，有SOBC·SOCA·SOBA·0，將它類比到空間的情形應為：若O是四面體ABCD內一點，則有_【導學號：19220033】【解析】根據(jù)類比的特點和規(guī)律，所得結論形式上一致，又線段類比平面，平面類比到空間，又線段長類比為三角形面積，再類比成四面體的體積，故可以類比為VO­BCD·VO­ACD·VO­ABD·VO­ABC·0.【答案】VO­BCD·VO­ACD·VO­ABD·VO­ABC·0三、解答題(本大題共6小題，共70分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)已知a，b，c成等差數(shù)列，求證：abac，b2ac，acbc也成等差數(shù)列【證明】因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2bac，所以(abac)(acbc)b(ac)2ac2(b2ac)所以abac，b2ac，acbc也成等差數(shù)列18(本小題滿分12分)在平面幾何中，對于RtABC，C90°，設ABc，ACb，BCa，則(1)a2b2c2；(2)cos2Acos2B1；(3)RtABC的外接圓半徑r.把上面的結論類比到空間寫出類似的結論，無需證明【解】在空間選取三個面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對象(1)設三個兩兩垂直的側面的面積分別為S1，S2，S3，底面積為S，則SSSS2.(2)設三個兩兩垂直的側面與底面所成的角分別為，則cos2cos2cos21.(3)設三個兩兩垂直的側面形成的側棱長分別為a，b，c，則這個四面體的外接球半徑R.19(本小題滿分12分)已知ABC的三條邊分別為a，b，c，且a>b，求證：<.【證明】依題意a>0，b>0，所以1>0,1ab>0.所以要證<，只需證(1ab)<(1)(ab)，只需證<ab，因為a>b，所以<2<ab，所以<.20(本小題滿分12分)(2016·大同高二檢測)在數(shù)列an中，a11，an1，nN*，求a2，a3，a4，并猜想數(shù)列的通項公式，并給出證明【解】數(shù)列an中，a11，a2，a3，a4，所以猜想an的通項公式an(nN*)此猜想正確證明如下：因為a11，an1，所以，即，所以數(shù)列是以1為首項，公差為的等差數(shù)列，所以1(n1)，即通項公式an(nN*)21(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x3x2，xR.(1)若正數(shù)m，n滿足m·n>1，證明：f(m)，f(n)至少有一個不小于零；(2)若a，b為不相等的正實數(shù)且滿足f(a)f(b)，求證：ab<.【證明】(1)假設f(m)<0，f(n)<0，即m3m2<0，n3n2<0，m>0，n>0，m1<0，n1<0，0<m<1,0<n<1，mn<1，這與m·n>1矛盾，假設不成立，即f(m)，f(n)至少有一個不小于零(2)證明：由f(a)f(b)，得a3a2b3b2，a3b3a2b2，(ab)(a2abb2)(ab)(ab)，ab，a2abb2ab，(ab)2(ab)ab<2，(ab)2(ab)<0，解得ab<.22(本小題滿分12分)設f(x)，g(x)(其中a>0，且a1)(1)523，請你推測g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)來表示；(2)如果(1)中獲得了一個結論，請你推測能否將其推廣【解】(1)f(3)g(2)g(3)f(2)··，又g(5)，g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)(2)由(1)知g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)，即g(32)f(3)g(2)g(3)f(2)，于是推測g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y)證明：f(x)，g(x)，g(xy)，g(y)，f(y)，f(x)g(y)g(x)f(y)··g(xy)