微分方程及其分類(lèi).ppt

一、微分方程的概念二、二階線(xiàn)性偏微分方程的分類(lèi),微分方程及其解法,函數(shù)是研究客觀(guān)事物運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一個(gè)重要工具，因此尋求客觀(guān)事物運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的函數(shù)關(guān)系是十分重要的，然而，在許多問(wèn)題中，往往不能直接找出所需的函數(shù)關(guān)系。但根據(jù)問(wèn)題所給的條件，有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，這樣的關(guān)系式就是所謂的微分方程。,解,為了便于闡述微分方程的有關(guān)概念，先看下面例子：,例1,對(duì)上式兩邊積分有,由于所求曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn),一、微分方程的概念,1.微分方程的定義,凡含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程叫微分方程。,例,2.微分方程的分類(lèi),3.微分方程的階,微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。,例2判斷下列方程是否為微分方程？若是，是幾階的微分方程？,解,（1）是，1階；,（2）是，1階；,（3）是，2階；,（4）是，3階；,（5）是，1階；,（6）不是。,4.微分方程的解,任何代入微分方程后使微分方程恒成立的函數(shù)。（1）微分方程的通解如果在微分方程的解中，所含的獨(dú)立的常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解就叫微分方程的通解（2）微分方程的特解當(dāng)微分方程的通解中各任意常數(shù)都取定值時(shí)所得的解（3）微分方程的初始條件,確定通解中的任意常數(shù)的附加條件。,5.微分方程解的幾何意義,通解的圖象:,積分曲線(xiàn)族.,特解的圖象:,微分方程的積分曲線(xiàn).,例3,解,又因?yàn)檫@個(gè)解中含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，而方程為二階微分方程，所以,因此方程滿(mǎn)足初始條件的特解為,二階線(xiàn)性偏微分方程的分類(lèi),本章將介紹二階線(xiàn)性偏微分方程的基本概念、分類(lèi)方法和偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)化.特別對(duì)于常系數(shù)的二階線(xiàn)性偏微分方程的化簡(jiǎn)方法也進(jìn)行了詳細(xì)討論，這對(duì)后面的偏微分方程求解是十分有用的.,在數(shù)學(xué)物理方程的建立過(guò)程中，我們主要討論了三種類(lèi)型的偏微分方程：波動(dòng)方程；熱傳導(dǎo)方程；穩(wěn)定場(chǎng)方程這三類(lèi)方程描寫(xiě)了不同物理現(xiàn)象及其過(guò)程，后面我們將會(huì)看到它們的解也表現(xiàn)出各自不同的特點(diǎn),我們?cè)诮馕鰩缀沃兄缹?duì)于二次實(shí)曲線(xiàn),其中,為常數(shù)，且設(shè),10.2數(shù)學(xué)物理方程的分類(lèi),則當(dāng),時(shí)，上述二次曲線(xiàn)分別為雙,曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)和橢圓受此啟發(fā)，下面我們來(lái)對(duì)二階線(xiàn)性偏,微分方程進(jìn)行分類(lèi).,下面主要以含兩個(gè)自變量的二階線(xiàn)性偏微分方程為例，進(jìn)行理論分析而對(duì)于更多個(gè)自變量的情形盡管要復(fù)雜一些，但討論的基本方法是一樣的,兩個(gè)自變量(x,y)的二階線(xiàn)性偏微分方程所具有的普遍形式為,（10.2.1）,其中,為,的已知函數(shù),定理10.2.1如果,是方程,(10.2.2),的一般積分，則,是方程,(10.2.3),的一個(gè)特解,在具體求解方程(10.2.10)時(shí)，需要分三種情況討論判別式,1.當(dāng)判別式,以求得兩個(gè)實(shí)函數(shù)解,時(shí)，從方程(10.2.10)可,也就是說(shuō)，偏微分方程(10.2.1)有兩條實(shí)的特征線(xiàn)于是，令,即可使得,同時(shí)，根據(jù)(10.2.4)式，就可以斷定,所以，方程(10.2.6)即為,(10.2.4),或者進(jìn)一步作變換,于是有,所以,又可以進(jìn)一步將方程(10.2.11)化為,這種類(lèi)型的方程稱(chēng)為雙曲型方程我們前面建立的波動(dòng)方程就屬于此類(lèi)型,2當(dāng)判別式,時(shí)：這時(shí)方程,(10.2.10)一定有重根,因而只能求得一個(gè)解，例如，,，特征線(xiàn)為,一條實(shí)特征線(xiàn)作變換,就可以使,由(10.2.4)式可以得出，一定有,，故可推出,這樣就可以任意選取另一個(gè)變換，,只要它和,彼此獨(dú)立，即雅可俾式,即可這樣，方程(10.2.6)就化為,此類(lèi)方程稱(chēng)為拋物型方程熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）方程就屬于這種類(lèi)型,3.當(dāng)判別式,面的討論，只不過(guò)得到的,時(shí)：這時(shí)，可以重復(fù)上,和,是一,對(duì)共軛的復(fù)函數(shù)，或者說(shuō)，偏微分方程(10.2.1)的兩條特征線(xiàn)是,一對(duì)共軛復(fù)函數(shù)族于是,是一對(duì)共軛的復(fù)變量進(jìn)一步引進(jìn)兩個(gè)新的實(shí)變量,于是,所以,方程(10.2.11)又可以進(jìn)一步化為,這種類(lèi)型的方程稱(chēng)為橢圓型方程拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz方程都屬于這種類(lèi)型,綜上所述，要判斷二階線(xiàn)性偏微分方程屬于何種類(lèi)型，只需討論判別式,即可.,10.3二階線(xiàn)性偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化,對(duì)于二階線(xiàn)性偏微分方程,(10.3.1),若判別式為,，則二階,線(xiàn)性偏微分方程分為三類(lèi)：,時(shí)，方程稱(chēng)為雙曲型;,時(shí)，方程稱(chēng)為拋物型;,時(shí)，方程稱(chēng)為橢圓型;,1.雙曲型偏微分方程,因?yàn)殡p曲型方程對(duì)應(yīng)的判別式,所以特征曲線(xiàn)是兩族不同的實(shí)函數(shù)曲線(xiàn)，,設(shè)特征方程的解為,令,(10.3.2),進(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)橄铝行问?(10.3.3),上式稱(chēng)為雙曲型偏微分方程的第一種標(biāo)準(zhǔn)形式，再作變量代換，令,或,則偏微分方程又變?yōu)?(10.3.4),上式稱(chēng)為雙曲型偏微分方程的第二種形式,注：上式中的“*”號(hào)不代表共軛，僅說(shuō)明是另外的函數(shù)。如,與,是兩個(gè)不同的函數(shù)。,2拋物型偏微分方程,因?yàn)閽佄镄推⒎址匠痰呐袆e式,線(xiàn)是一族實(shí)函數(shù)曲線(xiàn),，所以特征曲,其特征方程的解為,(10.3.5),因此令,進(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)?(10.3.6),上式稱(chēng)為拋物型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,3.橢圓型偏微分方程,橢圓型偏微分方程的判別式,，所以特征曲線(xiàn)是,一組共軛復(fù)變函數(shù)族其特征方程的解為,(10.3.7),若令,(10.3.8),作自變量變換，則偏微分方程變?yōu)?(10.3.9),上式稱(chēng)為橢圓型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,10.4二階線(xiàn)性常系數(shù)偏微分方程的進(jìn)一步化簡(jiǎn),如果二階偏微分方程的系數(shù)是常數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)形式的方程還可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)下面按三種類(lèi)型分別介紹化簡(jiǎn)的方法,1.雙曲型,對(duì)于下列含常系數(shù)的第一種標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲型標(biāo)準(zhǔn)方程還可進(jìn)一步化簡(jiǎn),注：上式中用小寫(xiě)字母,代表常系數(shù)，以便與,我們不妨令,大寫(xiě)字母代表某函數(shù)區(qū)別開(kāi)來(lái),例如,為了化簡(jiǎn)，,從而有,(10.4.2),其中,由第二種標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲型偏微分方程（含常系數(shù)）可以進(jìn)一步化簡(jiǎn),(10.4.3),式中,均為常系數(shù)若令,則有,(10.4.4),(10.4.5),其中,對(duì)于含常系數(shù)的拋物型偏微分標(biāo)準(zhǔn)方程（含常系數(shù)）,（10.4.6）,還可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)上式中小寫(xiě)字母,均為常系數(shù),為了化簡(jiǎn)，不妨令,從而有,(10.4.7),2.拋物型,3.橢圓型,對(duì)于下列第一種標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓型標(biāo)準(zhǔn)方程(含常系數(shù)),(10.4.8),還可以進(jìn)一步進(jìn)行化簡(jiǎn)上式中小寫(xiě)字母的,為常系數(shù),為了化簡(jiǎn)，不妨令,從而有,(10.4.9),其中,含有兩個(gè)自變量的線(xiàn)性偏微分方程的一般形式也可以寫(xiě)成下面的形式：,其中L是二階線(xiàn)性偏微分算符，G是x,y的函數(shù),線(xiàn)性偏微分算符有以下兩個(gè)基本特征：,10.5線(xiàn)性偏微分方程解的特征,其中,均為常數(shù)進(jìn)一步有如下結(jié)論：,1.齊次的線(xiàn)性偏微分方程的解有以下特性：,為方程的解時(shí)，則,也為方程的解；,(1).當(dāng),為方程的解，則,也是方程的解；,(2)若,2.非齊次的線(xiàn)性偏微分方程的解具有如下特性：,為非齊次方程的特解，,為齊次方程的通解，則,為非齊次方程的通解；,(1)若,(2),若,則,3線(xiàn)性偏微分方程的疊加原理,需要指出:線(xiàn)性偏微分方程具有一個(gè)非常重要的特性，稱(chēng)為疊,加原理，即若,是方程,（其中L是二階線(xiàn)性偏微分算符）的解.如果級(jí)數(shù),收斂，且二階偏導(dǎo)數(shù)存在（其中,為任意常數(shù)），則,一定是方程,的解,程右端的級(jí)數(shù)是收斂的）,（當(dāng)然要假定這個(gè)方,