2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第七章 第39課 等差數(shù)列要點導學.doc

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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第七章 第39課 等差數(shù)列要點導學 等差數(shù)列的基本量運算 例1　已知等差數(shù)列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若數(shù)列{an}的前k項和Sk=-35,求k的值. [思維引導](1)由等差數(shù)列的通項公式可寫出數(shù)列{an}的通項公式;(2)先根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式Sn=求出其前k項和,再由Sk=-35得到關于k的方程,解此方程可得k值,注意k∈N*. [解答](1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,則an=a1+(n-1)d. 由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2. 從而an=1+(n-1)(-2)=3-2n. (2)由(1)可知an=3-2n, 所以Sn==2n-n2. 由Sk=-35,可得2k-k2=-35, 即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N*,故k=7. [精要點評]本題還可以用兩點式求直線方程的方法求an.設an=an+b,把a1=1,a3=-3分別代入求出a=-2,b=3,得到an=3-2n. 例2　已知等差數(shù)列{an}中的前三項和為12,且2a1,a2,a3+1依次成等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的公差. [思維引導]求得a2的值,設公差d,構(gòu)造關于d的方程,然后求之. [解答]設等差數(shù)列{an}的公差為d,由數(shù)列{an}的前3項和為12, 得3a2=12,所以a2=4. 因為2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列,所以2a1(a3+1)=, 即2(a2-d)(a2+d+1)=,即d2+d-12=0, 解得d=-4或3. [精要點評]在等差數(shù)列的運算中,常用的有五個基本量,它們是a1,d,n,an,Sn.掌握這五個基本量之間的各種關系,結(jié)合熟練的運算,即可解決等差數(shù)列的常見問題. 【題組強化重點突破】 1. 在等差數(shù)列{an}中,a2=1,a4=5,則數(shù)列{an}的前5項和S5=　　　　. [答案]15 [解析]因為a2=1,a4=5,所以a1+a5=a2+a4=6,所以數(shù)列{an}的前5項和S5===6=15. 2.(xx福建卷)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6=　　　　　　. [答案]12 [解析]設等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得S3=3a1+3d=6+3d=12,所以d=2,a6=a1+5d=12. 3.若在公差不為0的等差數(shù)列{an}中,a3=10,a3,a7,a10成等比數(shù)列,則公差d=　　　　. [答案]- [解析]因為a3,a7,a10成等比數(shù)列,所以=a3a10.又因為a3=10,公差為d,所以(a3+4d)2=a3(a3+7d),即(10+4d)2=10(10+7d),即8d2+5d=0,所以d=-或d=0(舍去). 4. 已知等差數(shù)列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,則數(shù)列{bn}的第5項是　　　　　. [答案]30 [解析]設等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得所以an=3+3(n-1)=3n.因為bn=a2n,所以b5=a10=30. 5.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=　　　　　. [答案]1 [解析]設等差數(shù)列{an}的公差為d.因為a1+1,a3+3,a5+5成等比數(shù)列,所以(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,即(a1+1)[a1+1+4(d+1)]=[a1+1+2(d+1)]2,令a1+1=x,d+1=y,則x(x+4y)=(x+2y)2,即x2+4xy=x2+4xy+4y2,所以y=0,即d+1=0,所以q===1. 等差數(shù)列的通項公式 例3　設各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知4Sn=-4n-1,n∈N*,且a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列. (1)求證:a2=; (2)求數(shù)列{an}的通項公式. [思維引導](1)對于4Sn=-4n-1,取n=1,可得到a1與a2的關系,即可證得;(2)當n≥2時,由4an=4Sn-4Sn-1=--4,可得到an+1與an的關系式,從而可知等差數(shù)列{an}的公差,又由a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列,從而可求出基本量a1,即可寫出其通項公式. [解答](1)當n=1時,4a1=-5,=4a1+5, 因為an>0,所以a2=. (2)當n≥2時,4Sn-1=-4(n-1)-1, 則4an=4Sn-4Sn-1=--4, 即=+4an+4=(an+2)2, 因為an>0,所以an+1=an+2,an+1-an=2, 所以當n≥2時,{an}是公差d=2的等差數(shù)列. 因為a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列, 所以=a2a14,即(a2+6)2=a2(a2+24),解得a2=3, 由(1)可知,4a1=-5=4,所以a1=1, 因為a2-a1=3-1=2, 所以{an}是首項a1=1、公差d=2的等差數(shù)列. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1. [精要點評]等差數(shù)列的判斷,主要通過等差數(shù)列的定義進行判斷:an+1-an為常數(shù)d,而不能是關于n變化的函數(shù)f(n). 變式　已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且4Sn=+2an+1,n∈N*,求數(shù)列{an}的通項公式. [解答]當n=1時,a1=1. 因為4Sn=+2an+1, 所以4Sn+1=+2an+1+1, 兩式相減得4an+1=-+2an+1-2an, 即(an+1+an)(an+1-an-2)=0. 因為數(shù)列{an}的各項都是正數(shù), 所以an+1-an=2, 所以{an}為首項為1、公差為2的等差數(shù)列, 故an=2n-1. 等差數(shù)列的求和問題 例4　(xx湖北卷)已知等差數(shù)列{an}滿足:a1=2,且a1,a2,a5成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式. (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,是否存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800?若存在,求出n的最小值;若不存在,請說明理由. [思維引導](1)設數(shù)列{an}的公差為d,根據(jù)a1,a2,a5成等比數(shù)列求得d的值,從而求得數(shù)列{an}的通項公式;(2)由(1)中求得的an,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出Sn,從而解不等式求出滿足條件的n. [解答](1) 設數(shù)列{an}的公差為d, 依題意得2,2+d,2+4d成等比數(shù)列, 所以(2+d)2=2(2+4d),解得d=0或d=4. 當d=0時,an=2;當d=4時,an=2+(n-1)4=4n-2, 所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2或an=4n-2. (2) 當an=2時,Sn=2n,顯然2n<60n+800,不存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800. 當an=4n-2時,Sn==2n2, 令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去), 此時存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值為41. 綜上所述,當an=2時,不存在滿足題意的正整數(shù)n; 當an=4n-2時,存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值為41. [精要點評]等差數(shù)列的求和是數(shù)列中考查頻率比較高的知識點,通常會與解不等式及求最值等知識點綜合考查. 變式　在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列. (1)求d,an; (2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. [解答](1)由題意,得a15a3=(2a2+2)2, 由a1=10,{an}為公差為d的等差數(shù)列,得d2-3d-4=0, 解得d=-1或d=4, 當d=-1時,an=-n+11;當d=4時,an=4n+6. (2)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn. 因為d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11, 當n≤11時, |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n. 當n≥12時, |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110. 綜上所述, |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= [精要點評]等差數(shù)列的項加絕對值后,其和就不一定是原來的Sn,如本題,當n≤11時,an>0,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn,當n≥12時,an<0,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=2S11-Sn. 1. 在等差數(shù)列{an}中,若a3+a13=18,則a8=　　　　. [答案]9 [解析]由題意得a3+a13=2a8=18,所以a8=9. 2.(xx南京學情調(diào)研)在等差數(shù)列{an}中,a4=7,a8=15,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=　　　　　. [答案]n2 [解析]設等差數(shù)列{an}的公差為d,則a8-a4=4d=8,從而d=2,因此an=7+2(n-4)=2n-1,故Sn==n2. 3. 在等差數(shù)列{an}中,已知S30=20,S90=80,那么S60=　　　　. [答案] [解析]設S60=x,則20,x-20,80-x成等差數(shù)列,所以20+(80-x)=2(x-20),解得x=. 4. 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-6n,那么數(shù)列{|an|}的前6項和T6=　　　　. [答案]18 [解析]由Sn=n2-6n,得{an}是等差數(shù)列,且an=2n-7.當n≤3時,an<0,當n≥4時,an>0,所以T6=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=S6-2S3=18. 5. 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,那么使數(shù)列{an}的前n項和Sn達到最大值時的n=　　　　. [答案]20 [解析]由a1+a3+a5=105,得3a3=105,即a3=35.由a2+a4+a6=99,得3a4=99,即a4=33,所以d=-2.所以an=a4+(n-4)(-2)=41-2n.由得n=20. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習第77~78頁.