2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第五章 第32課 正弦定理與余弦定理的綜合應用要點導學.doc

2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第五章 第32課 正弦定理與余弦定理的綜合應用要點導學正、余弦定理的綜合應用在ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bsin A=acos B.(1) 求角B的大小;(2) 若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.思維引導對于(1),可結合正弦定理將bsin A=acos B轉化為角的關系,然后再求角B的大小;對于(2),可先結合余弦定理求邊a,然后再求c.解答(1) 因為bsin A=acos B,由正弦定理可得sin Bsin A=sin Acos B,即tan B=,所以B=.(2) 因為sin C=2sin A,由正弦定理得c=2a,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,9=a2+4a2-2a2acos,解得a=,所以c=2a=2.【題組強化重點突破】1. 在ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若sinA=sinC,B=30,b=2,則ABC 的面積是.答案解析由正弦定理得a=c,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,即4=3c2+c2-2cccos30,所以c=2,a=2,所以S=acsin30=.2. (xx景德鎮(zhèn)質檢)在ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足a=2sinA,+=0.(1) 求c的值;(2) 求ABC面積的最大值.解答(1) 因為+=0,所以ccosB+2acosC+bcosC=0,所以sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0,所以sinA+2sinAcosC=0.因為sinA0,所以cosC=-,因為0<C<,所以C=,所以c=sinC=.(2) 因為cosC=-=,所以a2+b2+ab=3,所以3ab3,即ab1,當且僅當a=b=1時取等號,所以SABC=absinC,所以ABC面積的最大值為.3. (xx蘇州期末)在ABC中,設角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且acosC+c=b.(1) 求角A的大小;(2) 若a=,b=4,求邊c的大小.解答方法一:(1) 由正弦定理和acosC+c=b,得sinAcosC+sinC=sinB.因為sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinC=cosAsinC.因為sinC0,所以cosA=.因為0<A<,所以A=.(2) 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,a=,b=4,得15=16+c2-24c,即c2-4c+1=0,解得c=2.方法二:(1) 由射影定理及acosC+ccosA=b,得cosA=,而0<A<,所以A=.(2) 由正弦定理=及sinA=,a=,b=4,解得sinB=.由三角形大邊對大角,小邊對小角,知cosB=,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sin BcosA=+=,再由正弦定理得=,求得c=2.解三角形的實際應用問題如圖,在梯形ABCD中,ADBC,AB=5,AC=9,BCA=30,ADB=45,求BD的長.(例2)思維引導由于AB=5,ADB=45,因此要求BD,可在ABD中,由正弦定理求解,關鍵是確定BAD的正弦值.在ABC中,AB=5,AC=9,ACB=30,因此可用正弦定理求出sinABC,再依據(jù)ABC與BAD互補確定sinBAD即可.解答在ABC中,AB=5,AC=9,BCA=30.由正弦定理得=,則sinABC=.因為ADBC,所以BAD=180-ABC,所以sinBAD=sinABC=.同理,在ABD中,AB=5,sinBAD=,ADB=45,由正弦定理得=,解得BD=.精要點評此題需將多邊形分割成若干個三角形,在分割時,要注意有利于應用正、余弦定理.如圖,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20nmile的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東的方向即沿直線CB前往B處救援,求cos.(例3)思維引導先由正弦定理求得sinBAC,注意到=ACB+30,再利用兩角和的余弦求解.解答在ABC中,AB=40,AC=20,BAC=120.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos120=2 800,所以BC=20.由正弦定理得sinACB=sinBAC=.由BAC=120,知ACB為銳角,故cosACB=.故cos=cos(ACB+30)=cosACBcos30-sinACBsin30=-=.精要點評恰當選擇三角形利用正、余弦定理解出所需要的邊和角,再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式求解.(xx湖南卷)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1) 求cosCAD的值;(2) 若cosBAD=-,sinCBA=,求BC的長.解答(1) 在ADC中,由余弦定理得cosCAD=.(2) 設BAC=,則=BAD-CAD.因為cosCAD=,cosBAD=-,所以sinCAD=,sinBAD=.于是sin=sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=-=.在ABC中,由正弦定理得=,故BC=3.如圖,在一條海防警戒線上的點A,B,C處各有一個水聲監(jiān)測點,B,C兩點到點A的距離分別為20 km和50 km.某時刻,B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波信號,8s后A,C點同時接收到該聲波信號,已知聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s.(范題賞析)(1) 設點A到目標P的距離為x km,用x表示點B,C到目標P的距離,并求x的值;(2) 求目標P到海防警戒線AC的距離(結果精確到0.01 km).規(guī)范答題(1) 依題意,有PA=PC=x,PB=x-1.58=x-12.(2分)在PAB中,AB=20,cosPAB=.(4分)同理,在PAC中,AC=50,cosPAC=.(6分)因為cosPAB=cosPAC,所以=,解得x=31.(8分)(2) 作PDAC于點D,則D為AC的中點,AD=25.在ADP中,由cosPAD=,得sinPAD=.(12分)所以PD=PAsinAPD=31=418.33 km.故靜止目標P到海防警戒線AC的距離約為18.33 km.(14分)1. 如果某人朝正東方向走x km后,向右轉150,然后朝新方向走3 km,結果他離出發(fā)點恰好為km,那么x=.答案2或解析由余弦定理可得x2+32-23xcos 30=()2,解得x=2或.2. 已知ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,則角C=.答案3. 如圖,設A,B兩點在河的兩岸,一測量者在A的同側,在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50 m,ACB=45,CAB=105,則A,B兩點的距離為m.(第3題)答案50解析由正弦定理得=,所以AB=50(m).4. 在一次抗洪搶險中,某救生艇發(fā)動機突然發(fā)生故障停止轉動,失去動力的救生艇在洪水中漂行.此時,風向是北偏東30,風速是20 km/h;水的流向是正東方向,流速是20 km/h.若不考慮其他因素,救生艇在洪水中漂行的方向為北偏東,速度的大小為km/h.答案6020解析如圖,AOB=60,(第4題)由余弦定理知OC2=202+202-800cos 120=1 200,故OC=20.易得BOC=30,所以救生艇漂行的方向為北偏東60.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成配套檢測與評估中的練習(第63-64頁).