初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第19講 轉(zhuǎn)化靈活的圓中角

第十九講 轉(zhuǎn)化靈活的圓中角 角是幾何圖形中最重要的元素，證明兩直線位置關(guān)系、運(yùn)用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圓的特征，賦予角極強(qiáng)的活性，使得角能靈活地互相轉(zhuǎn)化根據(jù)圓心角與圓周角的倍半關(guān)系，可實(shí)現(xiàn)圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)化；由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可將圓周角在大小不變的情況下，改變頂點(diǎn)在圓上的位置進(jìn)行探索；由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和外角等于內(nèi)對(duì)角，可將與圓有關(guān)的角互相聯(lián)系起來熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論注：根據(jù)頂點(diǎn)、角的兩邊與圓的位置關(guān)系，我們定義了圓心角與圓周角，類似地，當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓外或圓內(nèi)，我們可以定義圓外角與圓內(nèi)角，這兩類角分別與它們的所夾弧度數(shù)有怎樣的關(guān)系?讀者可自行作一番探討【例題求解】【例1】 如圖，直線AB與O相交于A，B再點(diǎn)，點(diǎn)O在AB上，點(diǎn)C在O上，且AOC40，點(diǎn)E是直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O不重合)，直線EC交O于另一點(diǎn)D，則使DE=DO的點(diǎn)正共有 個(gè) 思路點(diǎn)撥 在直線AB上使DE=DO的動(dòng)點(diǎn)E與O有怎樣的位置關(guān)系?分點(diǎn)E在AB上(E在O內(nèi))、在BA或AB的延長(zhǎng)線上(E點(diǎn)在O外)三種情況考慮，通過角度的計(jì)算，確定E點(diǎn)位置、存在的個(gè)數(shù)注： 弧是聯(lián)系與圓有關(guān)的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使與圓有關(guān)的角相互轉(zhuǎn)化的基本方法 【例2】 如圖，已知ABC為等腰直角三形，D為斜邊BC的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、D的O與邊AB、AC、BC分別相交于點(diǎn)E、F、M，對(duì)于如下五個(gè)結(jié)論：FMC=45；AE+AFAB；2BM2=BFBA；四邊形AEMF為矩形其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ) A2個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D5個(gè) 思路點(diǎn)撥 充分運(yùn)用與圓有關(guān)的角，尋找特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形，逐一驗(yàn)證1 / 7注：多重選擇單選化是近年出現(xiàn)的一種新題型，解這類問題，需把條件重組與整合，挖掘隱合條件，作深入的探究，方能作出小正確的選擇【例3】 如圖，已知四邊形ABCD外接O的半徑為5，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為E，且AB2=AEAC，BD8，求ABD的面積思路點(diǎn)撥 由條件出發(fā)，利用相似三角形、圓中角可推得A為弧BD中點(diǎn)，這是解本例的關(guān)鍵【例4】 如圖，已知AB是O的直徑，C是O上的一點(diǎn)，連結(jié)AC，過點(diǎn)C作直線CDAB于D(AD<DB)，點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn)(點(diǎn)D、B除外)，直線CE交O于點(diǎn)F，連結(jié)AF與直線CD交于點(diǎn)G (1)求證：AC2=AGAF；(2)若點(diǎn)E是AD(點(diǎn)A除外)上任意一點(diǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立?若成立請(qǐng)畫出圖形并給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由 思路點(diǎn)撥 (1)作出圓中常用輔助線證明ACGAFC； （2）判斷上述結(jié)論在E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的情況下是否成立，依題意準(zhǔn)確畫出圖形是關(guān)鍵 注：構(gòu)造直徑上90的圓周角，是解與圓相關(guān)問題的常用輔助線，這樣就為勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判定創(chuàng)造了條件【例5】 如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF，且對(duì)角線AD、BE、CF相交于一點(diǎn)Q，設(shè)AD與CF的交點(diǎn)為P 求證：（1）；(2) 思路點(diǎn)撥 解本例的關(guān)鍵在于運(yùn)用與圓相關(guān)的角，能發(fā)現(xiàn)多對(duì)相似三角形(1) 證明QDEACF；(2)易證，通過其他三角形相似并結(jié)合(1)把非常規(guī)問題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題的證明注：有些幾何問題雖然表面與圓無關(guān)，但是若能發(fā)現(xiàn)隱含的圓，尤其是能發(fā)現(xiàn)共圓的四點(diǎn)，就能運(yùn)用圓的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，確定四點(diǎn)共圓的主要方法有： (1)利用圓的定義判定；(2)利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的逆命題判定學(xué)歷訓(xùn)練1一條弦把圓分成2：3兩部分，那么這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)為 2如圖，AB是O的直徑，C、D、E都是O上的一點(diǎn)，則1+2= 3如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，F(xiàn)是CG的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AF交O于E，CF=2，AF=3，則EF的長(zhǎng)為 4如圖，已知ABC內(nèi)接于O，AB+AC=12，ADBC于D，AD3，設(shè)O的半徑為，AB的長(zhǎng)為，用的代數(shù)式表示，= 5如圖，ABCD是O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)BC到E，已知BCD：ECD3：2，那么BOD等于( )A120 B136 C144 D1506如圖，O中，弦ADBC，DA=DC，AOC=160，則BOC等于( ) A20 B30 C40 D507如圖，BC為半圓O的直徑，A、D為半圓O上兩點(diǎn)，AB=，BC=2，則D的度數(shù)為( ) A60 B 120 C 135 D150 8如圖，O的直徑AB垂直于弦CD，點(diǎn)P是弧AC上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD，點(diǎn)E在AP的延長(zhǎng)線上，PD與AB交于點(diǎn)F給出下列四個(gè)結(jié)論：CH2=AHBH；AD=AC；AD2=DFDP； EPC=APD，其中正確的個(gè)數(shù)是( ) A1 B2 C3 D4 9如圖，已知B正是ABC的外接圓O的直徑，CD是ABC的高 (1)求證：ACBC=BECD；(2) 已知CD=6，AD=3，BD=8，求O的直徑BE的長(zhǎng) 10如圖，已知AD是ABC外角EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交ABC的外接圓于點(diǎn)F，連結(jié)FB，F(xiàn)C (1)求證：FB=FC；(2)求證：FB2=FAFD；(3)若AB是ABC的外接圓的直徑，EAC=120，BC=6cm，求AD的長(zhǎng) 11如圖，B、C是線段AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，P是以BC為直徑的圓周上的任意一點(diǎn)(B、C點(diǎn)除外)，則tanAPBtanCPD= 12如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=60，AC=，則四邊形ABCD的面積為 13如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，A60，B90，AD=3，CD=2，則BC= 14如圖，AB是半圓的直徑，D是AC的中點(diǎn)，B=40，則A等于( ) A60 B50 C80 D70 15如圖，已知ABCD是一個(gè)以AD為直徑的圓內(nèi)接四邊形，AB=5，PC=4，分別延長(zhǎng)AB和DC，它們相交于P，若APD=60，則O的面積為( ) A25 B16 C15 D13 (2001年紹興市競(jìng)賽題)16如圖，AD是RtABC的斜邊BC上的高，AB=AC，過A、D兩點(diǎn)的圓與AB、AC分別相交于點(diǎn)E、F，弦EF與AD相交于點(diǎn)G，則圖中與GDE相似的三角形的個(gè)數(shù)為( ) A5 B4 C3 D217如圖，已知四邊形ABCD外接圓O的半徑為2，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為E，AE=EC，AB=AE，且BD=，求四邊形ABCD的面積 18如圖，已知ABCD為O的內(nèi)接四邊形，E是BD上的一點(diǎn)，且有BAE=DAC 求證：(1)ABEACD；(2)ABDC+ADB CACBD19如圖，已知P是O直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，直線PCD交O于C、D兩點(diǎn)，弦DFAB于點(diǎn)H，CF交AB于點(diǎn)E (1)求證：PAPB=POPE；(2)若DECF，P=15，O的半徑為2，求弦CF的長(zhǎng) 20如圖，ABC內(nèi)接于O，BC=4，SABC=，B為銳角，且關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，D是劣弧AC上任一點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)A、C重合)，DE平分ADC，交O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F (1)求B的度數(shù)； (2)求CE的長(zhǎng)； (3)求證：DA、DC的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 參考答案 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！