初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第16講 銳角三角函數(shù)

第十六講 銳角三角函數(shù) 古希臘數(shù)學(xué)家和古代中國(guó)數(shù)學(xué)家為了測(cè)量的需要，他們發(fā)現(xiàn)并經(jīng)常利用下列幾何結(jié)論：在兩個(gè)大小不同的直角三角形中，只要有一個(gè)銳角相等，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比值一定相等正是古人對(duì)天文觀察和測(cè)量的需要才引起人們對(duì)三角函數(shù)的研究，1748年經(jīng)過(guò)瑞士的著名數(shù)學(xué)家歐拉的應(yīng)用，才逐漸形成現(xiàn)在的sin、cos、tg、ctg的通用形式 三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的橋梁之一，有以下豐富的性質(zhì)： 1單調(diào)性； 2互余三角函數(shù)間的關(guān)系； 3同角三角函數(shù)間的關(guān)系 平方關(guān)系：sin2+cos2=1； 商數(shù)關(guān)系：tg=，ctg=； 倒數(shù)關(guān)系：tgctg=1 【例題求解】【例1】 已知在ABC中，A、B是銳角，且sinA，tanB=2，AB=29cm，則SABC = 思路點(diǎn)撥 過(guò)C作CDAB于D，這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比，sinA=，tanB=，設(shè)CD=5m，AC13m，CD2n，BDn，解題的關(guān)鍵是求出m、n的值注：設(shè)ABC中，a、b、c為A、B、C的對(duì)邊，R為ABC外接圓的半徑，不難證明：與銳角三角函數(shù)相關(guān)的幾個(gè)重要結(jié)論： (1) SABC=； （2）【例2】 如圖，在ABC中ACB90，ABC15，BC=1，則AC=( ) A B C0.3 D 思路點(diǎn)撥 由15構(gòu)造特殊角，用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉(zhuǎn)化1 / 6注：（1）求(已知)非特角三角函數(shù)值的關(guān)是構(gòu)造出含特殊角直角三角形 （2）求(已知)銳角角函數(shù)值常根據(jù)定轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)線段比，有時(shí)需通過(guò)等的比來(lái)轉(zhuǎn)換【例3】 如圖，已知ABC是等腰直角三角形，ACB90，過(guò)BC的中點(diǎn)D作DEAB于E，連結(jié)CE，求sinACE的值思路點(diǎn)撥 作垂線把ACE變成直角三角形的一個(gè)銳角，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求線段的比【例4】 如圖，在ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cosDAC， (1)求證：ACBD； (2)若sinC=，BC=12，求AD的長(zhǎng) 思路點(diǎn)撥 (1)把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比，利用比例線段證明；(2) sinC=，引入?yún)?shù)可設(shè)AD=12，AC13【例5】 已知：在RtABC中，C=90，sinA、sinB是方程的兩個(gè)根 (1)求實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足的條件； (2)若、滿足(1)的條件，方程的兩個(gè)根是否等于RtABC中兩銳角A、B的正弦? 思路點(diǎn)撥 由韋達(dá)定理、三角函數(shù)關(guān)系建立、等式，注意判別式、三角函數(shù)值的有界性，建立嚴(yán)密約束條件的不等式，才能準(zhǔn)確求出實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足的條件學(xué)歷訓(xùn)練1已知為銳角，下列結(jié)論sin+cos=l；如果>45，那么sin>cos；如果cos> ，那么<60； 正確的有 2如圖，在菱形ABCD中，AEBC于E，BC=1，cosB，則這個(gè)菱形的面積為 3如圖，C=90，DBC=30，ABBD，利用此圖可求得tan75= 4化簡(jiǎn) (1)= (2)sin2l+sin22+sin288+sin289= 5身高相等的三名同學(xué)甲、乙、丙參加風(fēng)箏比賽三人放出風(fēng)箏線長(zhǎng)、線與地面夾角如下表(假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的)，則三人所放的風(fēng)箏中( ) A甲的最高 B丙的最高 C乙的最低 D丙的最低6已知 sincos=，且0<<45則co-sin的值為( ) A B C D7如圖，在ABC中，C90，ABC30，D是AC的中點(diǎn)，則ctgDBC的值是( ) A B C D 8如圖，在等腰RtABC中C90，AC6，D是AC上一點(diǎn)，若tanDBA=，則AD的長(zhǎng)為( ) A B2 C 1 D 9已知關(guān)于的方程的兩根恰是某直角三角形兩銳角的正弦，求m的值10如圖，D是ABC的邊AC上的一點(diǎn)，CD=2AD，AEBC于E，若BD8，sinCBD=，求AE的長(zhǎng) 11若0<<45，且sincon=，則sin= 12已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，為銳角，那么的取值范圍是 13已知是ABC的三邊，a、b、c滿足等式，且有，則sinA+sinB+sinC的值為 14設(shè)為銳角，且滿足sin=3cos，則sincos等于( ) A B C D 15如圖，若兩條寬度為1的帶子相交成30的角，則重疊部分(圖中陰影部分)的面積是( )A2 B C1 D 16如圖，在ABC中，A30，tanB=，AC=，則AB的長(zhǎng)是( ) A B C5 D17己在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，且c=，若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，又方程的兩實(shí)根的平方和為6，求ABC的面積18如圖，已知AB=CD=1，ABC90，CBD=30，求AC的長(zhǎng) 19設(shè) a、b、c是直角三角形的三邊，c為斜邊，n為正整數(shù)，試判斷與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論20如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC沿直線滾動(dòng)(1)當(dāng)ABC滾動(dòng)一周到A lB1C1的位置，此時(shí)A點(diǎn)所運(yùn)動(dòng)的路程為 ，約為 (精確到0.1，=3.14) (2)設(shè)ABC滾動(dòng)240，C點(diǎn)的位置為C，ABC滾動(dòng)480時(shí)，A點(diǎn)的位置在A，請(qǐng)你利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式tan(+)=(tan+tan)(1-tantan)，求出CAC+CAA的度數(shù) 參考答案 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！