高考數(shù)學一輪復習單元練習空間向量與立體幾何

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1、 2013高考數(shù)學一輪復習單元練習--空間向量與立體幾何 I 卷 一、選擇題 1．點M在z軸上，它與經(jīng)過坐標原點且方向向量為s＝(1，－1,1)的直線l的距離為，則點M的坐標是(　　) A．(0,0，2) B．(0,0，3) C．(0,0，) D．(0,0，1) 【答案】B 2．在空間四邊形ABCD中，若，，，則等于 ( ） A． B． C． D． 【答案】D 3．四棱柱中，AC與BD的交點為點M，設，則下列與相等的向量是 ( ） A． B． C． D． 【答案】Ａ 4．在三棱柱中，設M、N分別為的中點，則等于 (

2、 ） A． B． C． D． 【答案】B 5．平面α，β的法向量分別是n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,0，－1)，則平面α，β所成角的余弦值是(　　) A． B．－ C． D．－ 【答案】C 6． 空間任意四個點A、B、C、D，則等于 ( ） A． B． C． D． 【答案】C 7．以下命題中，不正確的命題個數(shù)為(　　) ①已知A、B、C、D是空間任意四點，則A＋B＋C＋D＝0 ②若{a，b，c}為空間一個基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構成空間的另一個基底； ③對空間任意一點O和不共線三點A、B、C，若

3、O＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，則P、A、B、C四點共面． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 8．已知向量{a，b，c}是空間的一基底，向量{a＋b，a－b，c}是空間的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐標為(4,2,3)，則向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標是(　　) A．(4,0,3) B．(3,1,3) C．(1,2,3) D．(2,1,3) 【答案】B 9．在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為正方體內(nèi)一動點(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1.則點P所有可能的位置所構成的幾何體的體積是(　　) A．1

4、 B． C． D． 【答案】D 10．在90的二面角的棱上有A、B兩點，AC，BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，且都垂直于棱AB，已知AB＝5，AC＝3，BD＝4，則CD＝(　　) A．5 B．5 C．6 D．7 【答案】A 11．如圖ABCD－A1B1C1D1是正方體，B1E1＝D1F1＝，則BE1與DF1所成角的余弦值是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 12．如圖所示，在四面體P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B－AP－C的余弦值為(　　) A． B． C． D． 【答案】C I

5、I卷 二、填空題 13． 設a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝6i＋4j＋5k，其中i，j，k是空間向量的一組基底，試用a1，a2，a3表示出a4，則a4＝____________. 【答案】－a1＋2a2－a3 14．平面α經(jīng)過點A(0,0,2)且一個法向量n＝(1，－1，－1)，則x軸與平面α的交點坐標是________． 【答案】(－2,0,0) 15．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是________． 【答案】60 16．已知a＝(1－t

6、，1－t，t)，b＝(2，t，t)，則|b－a|的最小值為________． 【答案】 三、解答題 17．如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. (1)證明：平面PQC⊥平面DCQ； (2)求二面角Q－BP－C的余弦值． 【答案】如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線OA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D－xyz. (1)依題意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)． 則＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)． 所以＝0，＝0. 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.

7、 又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ。 (2)依題意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)． 設n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量， 即即 因此可取n＝(0，－1，－2)． 設m是平面PBQ的法向量，則 可取m＝(1,1,1)，所以cos〈m，n〉＝－． 故二面角Q－BP－C的余弦值為－． 18．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120，E為線 段AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F(xiàn)為線段A′C的中點. (Ⅰ）求證：BF∥平面A′DE; (Ⅱ）設M為線段DE的中點，求直

8、線FM與平面A′DE所成角的余弦值. 【答案】(Ⅰ)取AD的中點G，連結GF，CE，由條件易知 FG∥CD，F(xiàn)G=CD. BE∥CD,BE=CD. 所以FG∥BE,FG=BE. 故四邊形BEGF為平行四邊形. 所以BF∥平面A′DE. (Ⅱ)在平行四邊形ABCD中，因為AB＝2BC，∠ABC=120， 設BC=4，作MG⊥AB于G，則. 如圖所示建立空間直角坐標系M—xyz， 則， 所以. 設平面A′DE的法向量為，由得，所以. 設直線FM與平面A′DE所成角為，則. 所以直線FM與平面A′DE所成角的余弦值為. 19．如圖，四棱錐的底面是正方形，， 點E在

9、棱PB上. (Ⅰ）求證：平面； (Ⅱ）當且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小. 【答案】（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD. ∵，∴PD⊥AC. ∴AC⊥平面PDB. ∴平面. (Ⅱ）設AC∩BD=O，連接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO為AE與平面PDB所的角. ∴O，E分別為DB、PB的中點，OEPD，. 又∵， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO. 在Rt△AOE中，， ∴，即AE與平面PDB所成的角的大小為. 【解法2】如圖，以D為原點建立空間直角坐標系， 設則， (Ⅰ

10、）∵， ∴. ∴AC⊥DP，AC⊥BD，AC⊥平面PDB. ∴平面. (Ⅱ）當且E為PB的中點時， ， 設，則，連結OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO為AE與平面PDB所成的角. ∵， ∴， ∴，即AE與平面PDB所成的角的大小為. 20．已知長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝4，點M是棱D1C1的中點．求直線AB1與平面DA1M所成角的正弦值． 【答案】建立如圖所示的空間直角坐標系， 可得有關點的坐標為D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，C(0,2,0)， A1(4,0,4)，B1(4,2,4)，

11、C1(0,2,4)， D1(0,0,4)． 于是，M(0,1,4).＝(0,1,4)，＝(4,0,4)，＝(0,2,4)． 設平面DA1M的法向量為n＝(x，y，z)， 則，即． 取z＝－1，得x＝1，y＝4. 所以平面DA1M的一個法向量為n＝(1,4，－1)． 設直線AB1與平面DA1M所成角為θ， 則sin θ＝＝， 所以直線AB1與平面DA1M所成角的正弦值為． 21．如圖，四棱錐S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E為棱SB上的一點，平面EDC⊥平面SBC. (1)證明：SE＝2EB； (2)求二面角A－

12、DE－C的大?。? 【答案】方法一　(1)證明　如圖所示，連結BD，取DC的中點G，連結BG，由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC為直角三角形，故BC⊥BD. 又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，所以BC⊥平面BDS，BC⊥DE.作BK⊥EC，K為垂足．因為平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，即DE與平面SBC內(nèi)的兩條相交直線BK、BC都垂直，所以DE⊥平面SBC， 所以DE⊥EC，DE⊥SB. 又DB＝＝，SB＝＝，DE＝＝， EB＝＝，SE＝SB－EB＝， 所以SE＝2EB. (2)　由SA＝＝，AB＝1，SE＝2EB，AB⊥SA，知 AE＝＝1.

13、又AD＝1. 故△ADE為等腰三角形． 取ED中點F，連結AF， 則AF⊥DE，AF＝＝． 連結FG，則FG∥EC，F(xiàn)G⊥DE. 所以∠AFG是二面角A－DE－C的平面角． 連結AG，AG＝，F(xiàn)G＝＝． cos∠AFG＝＝－． 所以二面角A－DE－C的大小為120. 方法二　(1)證明　 以D為坐標原點，線段DA，DC，DS所在的直線分別為x軸，y軸，z軸．建立如圖所示的直角坐標系D－xyz， 設A(1,0,0)，則B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)． S＝(0,2，－2)，B＝(－1,1,0)． 設平面SBC的法向量為n＝(a，b，c)，由n⊥

14、S，n⊥B，得nS＝0，nB＝0. 故2b－2c＝0，－a＋b＝0. 令a＝1，則b＝1，c＝1，n＝(1,1,1)． 又設S＝λ(λ＞0)，則E， D＝，D＝(0,2,0)． 設平面CDE的法向量m＝(x，y，z)， 由m⊥，m⊥，得m＝0，m＝0. 故＋＋＝0,2y＝0. 令x＝2，則m＝(2,0，－λ)． 由平面DEC⊥平面SBC，得m⊥n所以mn＝0,2－λ＝0，λ＝2.故SE＝2EB. (2)解　由(1)知＝，取DE中點F，則 F，＝，故＝0，由此得FA⊥DE. 又＝，故＝0，由此得EC⊥DE，向量F與E的夾角等于二面角A－DE－C的平面角． 于是cos〈F

15、，E〉＝＝－， 所以二面角A－DE－C的大小為120. 22．如圖14－2，三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又知BA1⊥AC1. (1)求證：AC1⊥平面A1BC； (2)求二面角A－A1B－C的余弦值． 圖14－2 【答案】 (1)如圖，設A1D＝t(t>0)，取AB的中點E， 則DE∥BC，因為BC⊥AC， 所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC， 以DE，DC，DA1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系， 則A(0，－1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，t)，C1(0,2，t)， ＝(0,3，t)，＝(－2，－1，t)， ＝(2,0,0)，由1＝0，知AC1⊥CB， 又BA1⊥AC1，BA1∩CB＝B，所以AC1⊥平面A1BC. (2)由＝－3＋t2＝0，得t＝． 設平面A1AB的法向量為n＝(x，y，z)， ＝(0,1，)，＝(2,2,0)， 所以設z＝1，則n＝(，－，1)． 再設平面A1BC的法向量為m＝(u，v，w)， ＝(0，－1，)，＝(2,0,0)， 所以設w＝1，則m＝(0，，1)． 故cos〈m，n〉＝＝－．因為二面角A－A1B－C為銳角，所以可知二面角A－A1B－C的余弦值為． 12