2019-2020年高三數(shù)學上學期第三次模擬考試試題 理(含解析)新人教A版.doc
2019-2020年高三數(shù)學上學期第三次模擬考試試題 理(含解析)新人教A版 【試卷綜述】全面覆蓋了中學數(shù)學教材中的知識模塊,試卷突出了學科的主干內(nèi)容,集合與函數(shù)、不等式、數(shù)列、概率統(tǒng)計、立體幾何、解析幾何、導數(shù)的應(yīng)用等重點內(nèi)容在試卷中占有較高的比例,也達到了必要的考查深度注重了能力的考查,特別是運算能力,邏輯思維能力和空間想象能力的強調(diào)比較突出至于實踐能力和創(chuàng)新意識方面也在努力體現(xiàn).一選擇題(本題共十二小題,每題5分,共60分)【題文】1.集合則等于( ) 【知識點】集合.A1【答案】【解析】B 解析:因為所在正確選項為B.【思路點撥】根據(jù)集合的概念可知兩個集合的交集,注意自變量的取值.【典例剖析】集合問題關(guān)鍵要注意代表元素的取值范圍.【題文】2.若,其中則( ) A. B. C. D.【知識點】復數(shù)的概念.L4【答案】【解析】C 解析:根據(jù)復數(shù)的概念,可知實部與實部相等,虛部與虛部相等所以,所以【思路點撥】根據(jù)復數(shù)的概念求出實部與虛部,再求出復數(shù)的模.【題文】3.若,則有( ) A. B. C. D.【知識點】指數(shù)對數(shù)的概念.B6,B7【答案】【解析】A 解析:由函數(shù)的性質(zhì)可知,A為正確選項.【思路點撥】比較大小問題主要根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進行比較,找出中間介量也是關(guān)鍵.【題文】4.雙曲線的頂點到其漸近線的距離等于( ) A. B. C. D.【知識點】雙曲線的概念.H6【答案】【解析】C 解析:由題意可知雙曲線的頂點為,漸近線方程為,利用點到直線的距離公式.【思路點撥】由雙曲線的概念可知漸近線方程,再根據(jù)點到直線的距離公式可求出結(jié)果.【題文】5.若某程序框圖如圖所示,則該程序運行后輸出的B等于( )A B C D. 63 【知識點】程序框圖.L1【答案】【解析】D 解析:程序在運行過程中各變量的值如下表示:AB 是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前1 1/第一圈 2 3 是第二圈3 7 是第三圈415是第四圈531是第三圈663否則輸出的結(jié)果為63故答案為:63【思路點撥】分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是利用循環(huán)計算B值并輸出,模擬程序的運行過程,即可得到答案.【題文】6.已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于( ) A.1 B. C. D.【知識點】三視圖.G2【答案】【解析】C 解析:水平放置的正方體,當正視圖為正方形時,其面積最小為1;當正視圖為對角面時,其面積最大為因此滿足棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積的范圍為因此可知:A,B,D皆有可能,而,故C不可能故選C【思路點撥】由三視圖可知原圖的數(shù)據(jù),再根據(jù)面積的取值找出正確結(jié)果.【題文】7.,則的周長等于( ) B.14 C. D.18【知識點】正弦定理,余弦定理.C8【答案】【解析】A解析:在ABC中,角A=60,5sinB=3sinC,故由正弦定理可得 5b=3c,再由可得 bc=15,b=3,c=5再由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA=19,故三角形的周長a+b+c=,故答案為:【思路點撥】由條件利用正弦定理可得5b=3c,再由,求得bc,從而求得b和c的值再由余弦定理求得a,從而得到三角形的周長.【題文】8.從6名學生中選3名分別擔任數(shù)學、物理、化學科代表,若甲、乙2人至少有一人入選,則不同的選法有( )A.40種 B.60種 C.96種 D.120種【知識點】排列組合.J2【答案】【解析】C 解析:從6名學生中選3名分別擔任數(shù)學、物理、化學科代表,沒有限制條件是由=120種,甲、乙都沒入選相當于從4人中選3人,有=24,故甲、乙2人至少有一人入選,則不同的方法有120-24=96故選:C【思路點撥】根據(jù)排列組合的方法分別求出種數(shù),注意排列數(shù)的計算.【題文】9.設(shè)函數(shù)的最小正周期為,且則( ) B. D.【知識點】三角函數(shù)的圖像.C3【答案】【解析】D解析:由題意可知函數(shù)可化為又因為函數(shù)為偶函數(shù),所以,所以,所以D為正確選項.【思路點撥】由三角函數(shù)的性質(zhì)可知正確選項.【題文】10.已知直線,且(其中O為坐標原點),則實數(shù)的值為( ) A.2 B. C.2或-2 D.【知識點】向量的運算.F2【答案】【解析】C 解析:以,為鄰邊作平行四邊形,則所以平行四邊形為距形,又,所以四邊形為正方形,a0,直線x+y=a經(jīng)過點(0,2),a=2故答案為:2【思路點撥】以O(shè)A、OB為鄰邊作,由已知得為正方形,由此能求出a=2.【題文】11.已知數(shù)列滿足則該數(shù)列的前18項和為( ) A.2101 B.1067 C.1012 D.xx【知識點】數(shù)列的求和.D4【答案】【解析】B解析:數(shù)列an滿足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2)an+sin2,a3=(1+cos2)a1+sin2=a1+1=2,a4=(1+cos2)a2+sin2=2a2=4一般地,當n=2k1(kN*)時,a2k+1=1+cos2a2k1+sin2=a2k1+1,即a2k+1a2k1=1數(shù)列a2k1是首項為1、公差為1的等差數(shù)列,a2k1=k當n=2k(kN*)時,a2k+2=(1+cos2)a2k+sin2=2a2k數(shù)列a2k是首項為2、公比為2的等比數(shù)列,a2k=2k數(shù)列的前18項的和為1+2+2+4+3+8+4+16+5+32+6+64+7+128+8+256+9+512=1067故選:D【思路點撥】由已知條件推導出數(shù)列a2k1是首項為1、公差為1的等差數(shù)列,數(shù)列a2k是首項為2、公比為2的等比數(shù)列,由此能求出數(shù)列的前18項的和.【題文】12.已知函數(shù)的定義域的圖象如圖所示,若正數(shù)則的取值范圍是( ) A. B. C. D.【知識點】線性規(guī)劃.E5【答案】【解析】A 解析:如圖所示:f(x)0在-3,+)上恒成立函數(shù)f(x)在-3,0)是減函數(shù),(0,+)上是增函數(shù),又f(2a+b)2=f(6)畫出平面區(qū)域令表示過定點(2,-3)的直線的斜率如圖所示:故選A【思路點撥】由題意可利用數(shù)形結(jié)合的方法求出范圍,再根據(jù)所求值的幾何意義求出結(jié)果.【典例剖析】線性規(guī)劃問題要注意數(shù)形結(jié)合的運用,同時要注意幾何意義.【題文】二填空題(本小題共四小題,每題5分,共20分)【題文】13.在等差數(shù)列_.【知識點】等差數(shù)列.D2【答案】【解析】156 解析:由題意可知,又因為【思路點撥】本題由等差數(shù)列的性質(zhì)可求出數(shù)列的各項和.【題文】14.若的展開式中項的系數(shù)為20,則的最小值為_.【知識點】二項式定理.J3【答案】【解析】2 解析:的展開式中x3項的系數(shù)為20,所以,令12-3r=3,r=3,ab=1,a2+b22ab=2,當且僅當a=b=1時取等號a2+b2的最小值為:2故答案為:2【思路點撥】根據(jù)特定項的求法可求出a,b的值,再由基本不等式求出結(jié)果.【題文】15.正四面體ABCD的外接球的體積為,則正四面體ABCD的體積是_.【知識點】幾何體的體積.G2【答案】【解析】 解析:設(shè)正四面體的棱長為x,則底面三角形的高為,即有,棱錐的高為,由于外接球的體積為,在直角三角形得,則正四面體的體積為所以答案為【思路點撥】由幾何體的體積公式可求出其體積.【題文】16.定義域是一切實數(shù)的函數(shù),其圖像是連續(xù)不斷的,且存在常數(shù)使得對任意實數(shù)x都成立,則稱是一個“的相關(guān)函數(shù)”。有下列關(guān)于“的相關(guān)函數(shù)”的結(jié)論:(1)是常值函數(shù)中唯一一個“的相關(guān)函數(shù)”;(2)是一個“的相關(guān)函數(shù)”;(3)“的相關(guān)函數(shù)”至少有一個零點。其中結(jié)論正確的是_.【知識點】函數(shù)的性質(zhì).B1【答案】【解析】(3) 解析:f(x)=0是一個“的相關(guān)函數(shù)”,則0+0=0,可以取遍實數(shù)集,因此f(x)=0不是常數(shù)函數(shù)中唯一一個“的相關(guān)函數(shù)”,故不正確;用反證法,假設(shè)f(x)=x2是一個“的相關(guān)函數(shù)”,則(x+)2+x2=0,即(1+)x2+2x+2=0對任意實數(shù)x成立,+1=2=2=0,而此式無解,f(x)=x2不是一個“的相關(guān)函數(shù)”,故不正確;令x=0得:若f(0)=0,顯然f(x)=0有實數(shù)根;若又因為f(x)的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷,f(x)在上必有實數(shù)根因此任意的 相關(guān)函數(shù)”必有根,即任意的相關(guān)函數(shù)”至少有一個零點,故正確綜上所述,其中正確結(jié)論的個數(shù)是1個故選:A【思路點撥】由函數(shù)的性質(zhì)可分析每一種說法的正誤情況,最后做出判斷.【題文】三解答題(本題共五小題,每題12分,共60分)【題文】17.已知函數(shù)(1)設(shè)(2)在 求的值?!局R點】解三角形;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.C7,C8【答案】【解析】(1) (2) 解析:(1)由已知,由得,于是(2)由f(C)=+1得f(C)=2cos=+1sinCcosC=1 2分sin(C)= 4分所以C=,C= 又因為的面積為,所以可得,由余弦定理得,所以由正弦定理得 【思路點撥】利用已知條件f(C)=+1,函數(shù)f(x)=2cos,通過兩角差的正弦函數(shù),求出C的三角函數(shù),求出C的值.【題文】18.某市準備從7名報名者(其中男4人,女3人)中選3人參加三個副局長職務(wù)競選. (1)設(shè)所選3人中女副局長人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望; (2)若選派三個副局長依次到A,B,C三個局上任,求A局是男副局長的情況下,B局是女副局長的概率。【知識點】離散型隨機變量的期望與方差;等可能事件的概率.K6,K7【答案】【解析】(1)略(2) 解析:(1)X的所有可能取值為0,1,2,3依題意得P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=X的分布列為:EX=0+1+2+3=(2)設(shè)事件M=“A局是男副局長”,N=“B局是女副局長”,則P(N|M)=【思路點撥】(1)確定X的所有可能取值,求出相應(yīng)的概率,由此能求出X的分布列和EX;(2)設(shè)事件M=“A局是男副局長”,N=“B局是女副局長”,利用P(N|M)=,即可求出A局是男副局長的情況下,B局為女副局長的概率.【題文】19.在四棱錐中,底面是矩形,平面,. 以的中點為球心、為直徑的球面交于點,交于點.(1)求證:平面平面;(2)求直線與平面所成的角的正弦值;(3)求點到平面的距離.【知識點】面面垂直,直線與平面所成的角,點到平面的距離.G5,G11,H2【答案】【解析】(1)略(2) (3) 解析:(1)依題設(shè)知,AC是所作球面的直徑,則AMMC。又因為P A平面ABCD,則PACD,又CDAD,所以CD平面,則CDAM,所以A M平面PCD,所以平面ABM平面PCD。(2)由(1)知,又,則是的中點可得,則設(shè)D到平面ACM的距離為,由即,可求得,設(shè)所求角為,則??汕蟮肞C=6。因為ANNC,由,得PN。所以。故N點到平面ACM的距離等于P點到平面ACM距離的。又因為M是PD的中點,則P、D到平面ACM的距離相等,由(2)可知所求距離為.【思路點撥】由已知條件可判定面面垂直,再由等體積法求出距離,再按比例關(guān)系求出點到平面的距離.【題文】20.在平面直角坐標系中,橢圓C:的上頂點到焦點的距離為2,離心率為。求的值,設(shè)P是橢圓C長軸上的一個動點,過點P作斜率為1的直線交橢圓于A,B兩點,求面積的最大值?!局R點】直線與圓錐曲線的綜合問題.H8【答案】【解析】(1) a=2,b=1 (2)1 解析:(1)由題設(shè)知a=2,e=,所以c=,故b2=43=1因此,a=2,b=1(2分)(2)(i)由(1)可得,橢圓C的方程為 +y2=1設(shè)點P(m,0)(2m2),點A(x1,y1),點B(x2,y2)若k=1,則直線l的方程為y=xm聯(lián)立直線l與橢圓C的方程,即將y消去,化簡得x22mx+m21=0解得x1=,x2=,從而有,x1+x2=,x1x2=,而y1=x1m,y2=x2m,因此,|AB|=,點O到直線l的距離d=,所以,SOAB=|AB|d=|m|,因此,S2OAB=( 5m2)m2()2=1又2m2,即m20,4所以,當5m2=m2,即m2=,m=時,SOAB取得最大值1【思路點撥】(1)由題設(shè)知a=2,e=,由此能求出a=2,b=1(2)(i)由(1)得,橢圓C的方程為 +y2=1設(shè)點P(m,0)(2m2),點A(x1,y1),點B(x2,y2)若k=1,則直線l的方程為y=xm聯(lián)立直線l與橢圓C的方程,得x22mx+m21=0|AB|=,點O到直線l的距離d=,由此求出SOAB取得最大值1【題文】21.已知函數(shù) (1)若 (2)若 (3)是比較的大小并證明你的結(jié)論?!局R點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.B11,B12【答案】【解析】(1) f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在【1,+)上單調(diào)遞增,故當x=1時,f(x)有最小值f(1),且f(1)=0 (2) 則在區(qū)間上是單調(diào)遞增的,當時,則在區(qū)間上是單調(diào)遞減的 (3)略 解析:(1)當x1時,f(x)=x1lnx f(x)=1=0f(x)在區(qū)間1,+)上是遞增的當0x1時f(x)=1xlnx f(x)=1lnx0f(x)在區(qū)間(0,1)上是遞減的f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在【1,+)上單調(diào)遞增,故當x=1時,f(x)有最小值f(1),且f(1)=0(2)由(1) 若當時,則在區(qū)間上是單調(diào)遞增的,當時,則在區(qū)間上是單調(diào)遞減的(3)由(1)x1時,有x1lnx0即11=n1+()n1()=n1()=n1()=【思路點撥】(1)在不同的區(qū)間內(nèi)分別討論f(x)的單調(diào)區(qū)間及最小值,最后統(tǒng)一答案,(2)利用(1)得到的結(jié)論利用放縮將不等式右邊的化成需要的形式再求題目所問的問題.四選做題(請考生在第22-24三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分)【題文】22.(滿分10分)選修4-1:幾何證明講已知 ABC 中,AB=AC, D是ABC外接圓劣弧AC上的點(不與點A,C重合),延長BD至E.(1) 求證:AD的延長線平分CDE;(2) 若BAC=30,ABC中BC邊上的高為2+,求ABC外接圓的面積.【知識點】直線與圓.H4【答案】【解析】(1)略(2) 解析:()如圖,設(shè)F為AD延長線上一點A,B,C,D四點共圓,CDF=ABC又AB=AC ABC=ACB,且ADB=ACB, ADB=CDF,對頂角EDF=ADB, 故EDF=CDF,即AD的延長線平分CDE.(II)設(shè)O為外接圓的圓心,連接AO交BC于H,則,連接OC,由題意,設(shè)圓的半徑為r,則得,外接圓的面積為【思路點撥】根據(jù)已知條件可證明AD為角平分線,再求出外接圓的半徑進而求出面積.【題文】23.(滿分10分)選修4-4 :坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立坐標系,曲線C的極坐標方程為,M,N分別為C與x軸,y軸的交點.(1) 寫出C的直角坐標方程,并求M,N的極坐標;(2) 設(shè)MN的中點為P,求直線OP的極坐標方程.【知識點】參數(shù)方程.N3【答案】【解析】(1) 所以點M的極坐標為,點N的極坐標為 (2) MN的中點P的坐標為 解析:得所以曲線C的直角坐標方程為即當時,所以點M的極坐標為,當時,所以點N的極坐標為.(2)由(1)得,點M的直角坐標為,點N的直角坐標為,MN的中點P的坐標為【思路點撥】把極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程,再求出坐標.【題文】24.( 滿分10分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù)(1) 若a=-1,解不等式; (2) 如果x R, ,求a 的取值范圍.【知識點】不等式.E7【答案】【解析】(1) (2) 解析:()當時,由3得3()x-1時,不等式化為1-x-1-x3 即-2x3不等式組的解集為綜上得,的解集為 5分()若,不滿足題設(shè)條件若 的最小值為 的最小值為所以的充要條件是,從而的取值范圍為 【思路點撥】根據(jù)不等式的意義求出解集,再分情況討論a的取值.