大學(xué)物理 下冊 課后習(xí)題答案 完整版 word版

第九章 靜電場 (Electrostatic Field)二、計算題9.7 電荷為q和2q的兩個點(diǎn)電荷分別置于x1 m和x1 m處一試驗電荷置于x軸上何處，它受到的合力等于零？解：設(shè)試驗電荷置于x處所受合力為零，根據(jù)電力疊加原理可得即：。因點(diǎn)處于q、2q兩點(diǎn)電荷之間，該處場強(qiáng)不可能為零故舍去得 m9.8 一個細(xì)玻璃棒被彎成半徑為R的半圓形，沿其上半部分均勻分布有電荷+Q，沿其下半部分均勻分布有電荷Q，如題圖9.4所示試求圓心O處的電場強(qiáng)度解：把所有電荷都當(dāng)作正電荷處理. 在q 處取微小電荷dq = ldl = 2Qdq / p它在O處產(chǎn)生場強(qiáng)按q 角變化，將dE分解成二個分量：對各分量分別積分，積分時考慮到一半是負(fù)電荷0 所以 9.9如圖9.5所示，一電荷線密度為的無限長帶電直導(dǎo)線垂直紙面通過A點(diǎn)；附近有一電量為的均勻帶電球體，其球心位于O點(diǎn)。是邊長為的等邊三角形。已知處場強(qiáng)方向垂直于，求:和間的關(guān)系。解：如圖建立坐標(biāo)系。根據(jù)題意可知9.10 如題圖9.6所示，一電荷面密度為s的“無限大”平面，在距離平面a處的一點(diǎn)的場強(qiáng)大小的一半是由平面上的一個半徑為R的圓面積范圍內(nèi)的電荷所產(chǎn)生的試求該圓半徑的大小解：電荷面密度為s的無限大均勻帶電平面在任意點(diǎn)的場強(qiáng)大小為 ：E=s / (2e0)。以圖中O點(diǎn)為圓心，取半徑為rrdr的環(huán)形面積，其電量為dq = s2prdr。它在距離平面為a的一點(diǎn)處產(chǎn)生的場強(qiáng) 則半徑為R的圓面積內(nèi)的電荷在該點(diǎn)的場強(qiáng)為 由題意,令E=s / (4e0)，得到R9.11 如題圖9.7所示,一均勻帶電直導(dǎo)線長為，電荷線密度為。過導(dǎo)線中點(diǎn)O作一半徑為（）的球面，P為帶電直導(dǎo)線的延長線與球面的交點(diǎn)。求：（1）、通過該球面的電場強(qiáng)度通量。（2）、P處電場強(qiáng)度的大小和方向。解：（1）利用靜電場的高斯定理即可得：。（2）如圖建立一維坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)與圓心重合。在帶電導(dǎo)線上坐標(biāo)為處取長度為的帶電元，其所帶電荷量為，在p點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為：則p點(diǎn)的電場強(qiáng)度為 9.12 題圖9.8中，虛線所示為一立方形的高斯面，已知空間的場強(qiáng)分布為：Exbx，Ey0, Ez0。高斯面邊長a0.1 m，常量b1000 N/(Cm)試求該閉合面中包含的凈電荷(真空介電常數(shù)8.8510-12 C2N-1m-2 ) 解：設(shè)閉合面內(nèi)包含凈電荷為Q因場強(qiáng)只有x分量不為零，故只是二個垂直于x軸的平面上電場強(qiáng)度通量不為零由高斯定理得：則9.13 體圖9.9所示，有一帶電球殼，內(nèi)、外半徑分別為、，電荷體密度為，在球心處有一點(diǎn)電荷。證明：當(dāng)時，球殼區(qū)域內(nèi)電場強(qiáng)度的大小與半徑無關(guān)。證：用高斯定理求球殼內(nèi)場強(qiáng)： ,而r Qa b r圖9.9要使的大小與r無關(guān)，則應(yīng)有 ：， 即 9.14 如題圖9.10所示，一厚為b的“無限大”帶電平板，其電荷體密度分布為 (0xb )，式中k為一正的常量求： (1) 平板外兩側(cè)任一點(diǎn)P1和P2處的電場強(qiáng)度大?。?(2) 平板內(nèi)任一點(diǎn)P處的電場強(qiáng)度； (3) 場強(qiáng)為零的點(diǎn)在何處？ 解： (1) 由對稱分析知，平板外兩側(cè)場強(qiáng)大小處處相等、方向垂直于平面且背離平面設(shè)場強(qiáng)大小為E作一柱形高斯面垂直于平面其底面大小為S，如圖所示 按高斯定理，即：得到：， (板外兩側(cè))(2) 過P點(diǎn)垂直平板作一柱形高斯面，底面為S設(shè)該處場強(qiáng)為，如圖所示按高斯定理有：得到： (0xb)(3) =0，必須是， 可得9.15 一球體內(nèi)均勻分布著電荷體密度為的正電荷,若保持電荷分布不變,在該球體挖去半徑為r的一個小球體,球心為,兩球心間距離,如題圖9.11所示。 求：(1) 在球形空腔內(nèi),球心處的電場強(qiáng)度；(2) 在球體內(nèi)P點(diǎn)處的電場強(qiáng)度。設(shè)、O、P三點(diǎn)在同一直徑上，且。解：挖去電荷體密度為r 的小球，以形成球腔時的求電場問題，可在不挖時求出電場，而另在挖去處放上電荷體密度為r的同樣大小的球體，求出電場，并令任意點(diǎn)的場強(qiáng)為此二者的矢量疊加，即：在圖(a)中，以O(shè)點(diǎn)為球心，d為半徑作球面為高斯面S，則可求出O與P處場強(qiáng)的大小。得： 方向分別如圖所示。在圖(b)中，以O(shè)點(diǎn)為小球體的球心，可知在O點(diǎn)E2=0. 又以O(shè) 為心，2d為半徑作球面為高斯面S 可求得P點(diǎn)場強(qiáng)E2P (1) 求O點(diǎn)的場強(qiáng) . 由圖(a)、(b)可得 EO = E1O =， 方向如圖(c)所示.(2)求P點(diǎn)的場強(qiáng).由圖(a)、(b)可得 方向如(d)圖所示.E1P rPE2PEP圖(d) O OPE1O r圖(a) O r O dEO=E1 O圖(c) OPE2P-r O rE2O=0圖(b)E1P9.16 如題圖9.12所示，兩個點(diǎn)電荷q和3q，相距為d. 試求： (1) 在它們的連線上電場強(qiáng)度的點(diǎn)與電荷為q的點(diǎn)電荷相距多遠(yuǎn)？ (2) 若選無窮遠(yuǎn)處電勢為零，兩點(diǎn)電荷之間電勢U=0的點(diǎn)與電荷為q的點(diǎn)電荷相距多遠(yuǎn)？解：設(shè)點(diǎn)電荷q所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸沿兩點(diǎn)電荷的連線 (1) 設(shè)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 解出：另有一解不符合題意，舍去 (2) 設(shè)坐標(biāo)x處U0，則 得：9.17 一均勻靜電場，電場強(qiáng)度，空間有兩點(diǎn)和，（以米計）。求兩點(diǎn)之間的電勢差。解：空間某點(diǎn)的位矢表示為，則9.18 題圖9.13所示，為一沿x軸放置的長度為l的不均勻帶電細(xì)棒，其電荷線密度為，為一常量取無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢解：在任意位置x處取長度元dx，其上帶有電荷dq=l0 (xa)dx 。它在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢O點(diǎn)總電勢：9.19 題圖9.14所示，電荷q均勻分布在長為2l的細(xì)桿上。求（1）、在桿外延長線上與桿端距離為a的P點(diǎn)的電勢(設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn))。（2）、桿的中垂線上與桿中心距離為a的P點(diǎn)的電勢。(設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn))解：（1）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于桿中心O點(diǎn)，x軸沿桿的方向，如圖所示細(xì)桿的電荷線密度lq / (2l)，在x處取電荷元dq = ldxqdx / (2l)，它在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為 整個桿上電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢：（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于桿中心O點(diǎn)，x軸沿桿的方向，如圖所示.桿的電荷線密度l=q / (2l)在x處取電荷元dqdq = ldx = qdx / (2l) 它在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢整個桿上電荷產(chǎn)生的電勢：9.20 兩個帶等量異號電荷的均勻帶電同心球面，半徑分別為R10.03 m和R20.10 m已知兩者的電勢差為450 V，求內(nèi)球面上所帶的電荷解：設(shè)內(nèi)球上所帶電荷為Q，則兩球間的電場強(qiáng)度的大小為 (R1rR2） 兩球的電勢差： 2.1410-9 C9.21 電荷以相同的面密度s 分布在半徑為r110 cm和r220 cm的兩個同心球面上設(shè)無限遠(yuǎn)處電勢為零，球心處的電勢為U0300 V 8.8510-12 C2 /(Nm2) (1) 求電荷面密度 (2) 若要使球心處的電勢也為零，外球面上應(yīng)放掉多少電荷？解：(1) 球心處的電勢為兩個同心帶電球面各自在球心處產(chǎn)生的電勢的疊加，即 8.8510-9 C / m2(2) 設(shè)外球面上放電后電荷面密度為，則應(yīng)有： = 0即 ：外球面上應(yīng)變成帶負(fù)電，共應(yīng)放掉電荷：6.6710-9 C9.22如題圖9.15所示，半徑為R的均勻帶電球面，帶有電荷q沿某一半徑方向上有一均勻帶電細(xì)線，電荷線密度為，長度為l，細(xì)線左端離球心距離為r0設(shè)球和線上的電荷分布不受相互作用影響，試求細(xì)線所受球面電荷的電場力和細(xì)線在該電場中的電勢能(設(shè)無窮遠(yuǎn)處的電勢為零) 解：設(shè)x軸沿細(xì)線方向，原點(diǎn)在球心處，在x處取線元dx，其上電荷為，該線元在帶電球面的電場中所受電場力為：整個細(xì)線所受電場力為： ，方向沿x正方向電荷元在球面電荷電場中具有電勢能：整個線電荷在電場中具有電勢能： 9.23一真空二極管，其主要構(gòu)件是一個半徑R1510-4 m的圓柱形陰極A和一個套在陰極外的半徑R24.510-3 m的同軸圓筒形陽極B，如題圖9.16所示陽極電勢比陰極高300 V，忽略邊緣效應(yīng). 求電子剛從陰極射出時所受的電場力(基本電荷e1.610-19 C) 解：與陰極同軸作半徑為r (R1rR2 )的單位長度的圓柱形高斯面，設(shè)陰極上電荷線密度為l按高斯定理有：即兩極間的電場強(qiáng)度可表示為：， (R1rR2)，的方向沿半徑指向軸線兩極之間電勢差所以，兩極間的電場強(qiáng)度為：在陰極表面處電子受電場力的大小為 4.3710-14 N方向沿半徑指向陽極 9.24 題圖9.17為一球形電容器，在外球殼的半徑b及內(nèi)外導(dǎo)體間的電勢差U維持恒定的條件下，內(nèi)球半徑a為多大時才能使內(nèi)球表面附近的電場強(qiáng)度最?。壳筮@個最小電場強(qiáng)度的大小解：設(shè)內(nèi)球殼帶電量為，則根據(jù)高斯定理可得出兩球殼之間間半徑為的同心球面上各點(diǎn)電場強(qiáng)度的大小為內(nèi)外導(dǎo)體間的電勢差：當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體間電勢差U為已知時，內(nèi)球殼上所帶電荷即可求出為：內(nèi)球表面附近的電場強(qiáng)度大小為：欲求內(nèi)球表面的最小場強(qiáng)，令，則得到： 并有 可知這時有最小電場強(qiáng)度：9.25 題圖9.18所示，一半徑為R的“無限長”圓柱形帶電體，其電荷體密度為： (rR)，式中A為常量求： (1) 圓柱體內(nèi)、外各點(diǎn)場強(qiáng)大小分布； (2) 選與圓柱軸線的距離為l (lR) 處為電勢零點(diǎn)，計算圓柱體內(nèi)、外各點(diǎn)的電勢分布解：(1) 取半徑為r、高為h的高斯圓柱面(如圖所示)面上各點(diǎn)場強(qiáng)大小為E并垂直于柱面則穿過該柱面的電場強(qiáng)度通量為：為求高斯面內(nèi)的電荷，時，取一半徑為r，厚d r、高h(yuǎn)的圓筒，其電荷為：則包圍在高斯面內(nèi)的總電荷為 由高斯定理得：解出： (rR) 時，包圍在高斯面內(nèi)總電荷為： 由高斯定理：解出： (r >R) (2) 計算電勢分布 當(dāng)時： 當(dāng)rR時 ：9.26已知某靜電場的電勢函數(shù) (SI)求點(diǎn)(4，3，0)處的電場強(qiáng)度各分量值解：由場強(qiáng)與電勢梯度的關(guān)系式得=-1000 V/m；9.27 如題圖9.19所示，在電矩為的電偶極子的電場中，將一電荷為q的點(diǎn)電荷從A點(diǎn)沿半徑為R的圓?。▓A心與電偶極子中心重合，R>>電偶極子正負(fù)電荷之間距離）移到B點(diǎn)，求此過程中電場力所作的功。解：用電勢疊加原理可導(dǎo)出電偶極子在空間任意點(diǎn)的電勢 式中為從電偶極子中心到場點(diǎn)的矢徑于是知A、B兩點(diǎn)電勢分別為 ； q從A移到B電場力作功(與路徑無關(guān))為 第十章 靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì)二、計算題10.13 如題圖10.4所示，一內(nèi)半徑為a、外半徑為b的金屬球殼，帶有電荷Q，在球殼空腔內(nèi)距離球心r處有一點(diǎn)電荷q設(shè)無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，試求： (1) 球殼內(nèi)外表面上的電荷 (2) 球心O點(diǎn)處，由球殼內(nèi)表面上電荷產(chǎn)生的電勢 (3) 球心O點(diǎn)處的總電勢 解：(1) 由靜電感應(yīng)，金屬球殼的內(nèi)表面上有感生電荷-q，外表面上帶電荷q+Q (2) 不論球殼內(nèi)表面上的感生電荷是如何分布的，因為任一電荷元離O點(diǎn)的距離都是a，所以由這些電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為 (3) 球心O點(diǎn)處的總電勢為分布在球殼內(nèi)外表面上的電荷和點(diǎn)電荷q在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和 10.14 有一"無限大"的接地導(dǎo)體板 ，在距離板面b處有一電荷為q的點(diǎn)電荷如題圖10.5(a)所示，試求： (1) 導(dǎo)體板面上各點(diǎn)的感生電荷面密度分布(參考題圖10.5(b)；(2) 面上感生電荷的總電荷(參考題圖10.5(c)。 解：(1) 選點(diǎn)電荷所在點(diǎn)到平面的垂足O為原點(diǎn)，取平面上任意點(diǎn)P，P點(diǎn)距離原點(diǎn)為r，設(shè)P點(diǎn)的感生電荷面密度為s 在P點(diǎn)左邊鄰近處(導(dǎo)體內(nèi))場強(qiáng)為零，其法向分量也是零，按場強(qiáng)疊加原理， (2) 以O(shè)點(diǎn)為圓心，r為半徑，dr為寬度取一小圓環(huán)面，其上電荷為 總電荷為10.15 如題圖10.6所示，中性金屬球A，半徑為R，它離地球很遠(yuǎn)在與球心O相距分別為a與b的B、C兩點(diǎn)，分別放上電荷為qA和qB的點(diǎn)電荷，達(dá)到靜電平衡后，問： (1) 金屬球A內(nèi)及其表面有電荷分布嗎？ (2) 金屬球A中的P點(diǎn)處電勢為多大？(選無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn))解：(1) 靜電平衡后，金屬球A內(nèi)無電荷，其表面有正、負(fù)電荷分布，凈帶電荷為零 (2) 金屬球為等勢體，設(shè)金屬球表面電荷面密度為s 10.16 三個電容器如題圖10.7聯(lián)接，其中C1 = 1010-6 F，C2 = 510-6 F，C3 = 410-6 F，當(dāng)A、B間電壓U =100 V時，試求： (1) A、B之間的電容； (2) 當(dāng)C3被擊穿時，在電容C1上的電荷和電壓各變?yōu)槎嗌伲?解：(1) 3.1610-6 F (2) C1上電壓升到U = 100 V，電荷增加到110-3 C10.17 一個可變電容器，由于某種原因所有動片相對定片都產(chǎn)生了一個相對位移，使得兩個相鄰的極板間隔之比為，問電容器的電容與原來的電容相比改變了多少？解：如下圖，設(shè)可變電容器的靜片數(shù)為，定片數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)情況下，極板間的距離為（圖a），極板相對面積為。則該電容器組為個相同的平行板電容器并聯(lián)（圖a）?？傠娙轂?。當(dāng)動片由于某種原因發(fā)生相對位移而使相鄰的極板間隔變?yōu)楹?，總電容為：所以電容增加了?0.18 一平行板空氣電容器充電后，極板上的自由電荷面密度1.7710-6 C/m2將極板與電源斷開，并平行于極板插入一塊相對介電常量為 的各向同性均勻電介質(zhì)板計算電介質(zhì)中的電位移、場強(qiáng)和電極化強(qiáng)度的大小。(真空介電常量8.8510-12 C2 / Nm2)解：由的高斯定理求得電位移的大小為 由的關(guān)系式得到場強(qiáng)的大小為 2.5104 V/m介質(zhì)中的電極化強(qiáng)度的大小為 10.19 如題圖10.8所示，一空氣平行板電容器，極板面積為，兩極板之間距離為，其中平行地放有一層厚度為 (、相對介電常量為的各向同性均勻電介質(zhì)略去邊緣效應(yīng)，試求其電容值。解：設(shè)極板上的自由電荷面密度為應(yīng)用的高斯定理可得兩極板之間的電位移大小為 由得：空氣中的電場強(qiáng)度大小為；電介質(zhì)中的電場強(qiáng)度的大小為。兩極板之間的電勢差為 電容器的電容為作法二： 看成二個電容串聯(lián)， ， ，則 10.20一平行板電容器，極板間距離為10cm，其間有一半充以相對介電常量的各向同性均勻電介質(zhì)，其余部分為空氣，如題圖10.9所示當(dāng)兩極間電勢差為100 V時，試分別求空氣中和介質(zhì)中的電位移矢量和電場強(qiáng)度矢量。 解：設(shè)空氣中和介質(zhì)中的電位移矢量和電場強(qiáng)度矢量分別為、和、，則 (1) (2) (3)聯(lián)立解得 V/m；方向均相同,由正極板垂直指向負(fù)極板 10.21 一導(dǎo)體球帶電荷，放在相對介電常量為 的無限大各向同性均勻電介質(zhì)中求介質(zhì)與導(dǎo)體球的分界面上的束縛電荷。解：導(dǎo)體球處于靜電平衡時，其電荷均勻分布在球面上以為半徑作一同心高斯球面按的高斯定理，可求出介質(zhì)內(nèi)半徑的同心球面上各點(diǎn)電位移的的大小介質(zhì)與導(dǎo)體球的分界面上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小為電極化強(qiáng)度的大小為 極化電荷面密度為：分界面上的束縛電荷為10.22 半徑為的介質(zhì)球，相對介電常量為、其自由電體荷密度，式中為常量，是球心到球內(nèi)某點(diǎn)的距離試求： (1) 介質(zhì)球內(nèi)的電位移和場強(qiáng)分布 (2) 在半徑多大處場強(qiáng)最大？ 解：(1) 在介質(zhì)中，取半徑為d的同心薄殼層，其中包含電荷 取半徑為的同心球形高斯面，應(yīng)用的高斯定理， 則介質(zhì)內(nèi)半徑為的球面上各點(diǎn)的電位移為：，（ 為徑向單位矢量）介質(zhì)內(nèi)半徑為的球面上各點(diǎn)的電位移為：，(2) 對求極值得，且因，所以：處最大 10.23 如題圖10.10，一各向同性均勻電介質(zhì)球，半徑為R，其相對介電常量為，球內(nèi)均勻分布有自由電荷，其體密度為求球內(nèi)的束縛電荷體密度和球表面上的束縛電荷面密度。解：介質(zhì)是球?qū)ΨQ的，且r0均勻分布， r，s 也必為球?qū)ΨQ分布因而電場必為球?qū)ΨQ分布用的高斯定理，可求得半徑為的同心球面上； 在介質(zhì)內(nèi)，取半徑間的球殼為體元，則可求出介質(zhì)內(nèi)極化電荷體密度： 略去dr的高次項，則 ， (與異號)介質(zhì)表面極化電荷面密度：, （與同號） 10.24 如題圖10.11所示，一平行板電容器，極板面積為S，兩極板之間距離為d，中間充滿介電常量按規(guī)律變化的電介質(zhì)。在忽略邊緣效應(yīng)的情況下，試計算該電容器的電容。解：設(shè)兩極板上分別帶自由電荷面密度，則介質(zhì)中的電場強(qiáng)度分布為 兩極板之間的電勢差為該電容器的電容值為10.25 如題圖10.12所示，一電容器由兩個同軸圓筒組成，內(nèi)筒半徑為，外筒半徑為，筒長都是，中間充滿相對介電常量為的各向同性均勻電介質(zhì)。內(nèi)、外筒分別帶有等量異號電荷+Q和-Q設(shè)，L >> b，可以忽略邊緣效應(yīng)，求： (1) 圓柱形電容器的電容； (2) 電容器貯存的能量 解：（1）、由題給條件 (和，忽略邊緣效應(yīng), 應(yīng)用高斯定理可求出兩筒之間的場強(qiáng)為：兩筒間的電勢差 電容器的電容 （2）、電容器貯存的能量10.26兩個相同的空氣電容器,其電容都是,都充電到電壓各為后斷開電源,然后,把其中之一浸入煤油 (中,然后把兩個電容器并聯(lián),求:(1)、浸入煤油過程中損失的靜電能；（2）、并聯(lián)過程中損失的靜電能。解：（1）電容器浸入煤油前的能量為浸入煤油后，電容器的能量在此過程中損失的能量為（2）、并聯(lián)前，兩個電容器的總能量為并聯(lián)后的總電容。并聯(lián)電容器上的總電量并聯(lián)后電容器的總能量為并聯(lián)過程中損失的能量為10.27電容的電容器在的電勢差下充電,然后切斷電源,并將此電容器的兩個極板與原來不帶電、的電容器的兩極板相連，求：（1）、每個電容器極板所帶的電荷量；（2）、連接前后的靜電能。解：1）、電容器的總電荷量為：設(shè)兩個電容器極板所帶的電荷量分別為和，則由：，得：2） 、連接前的靜電場能就是連接前第一個電容器的能量，即：連接后的靜電場能即并聯(lián)后電容器的能量，即：10.28 一平行板電容器的極板面積為S = 1 m2，兩極板夾著一塊d = 5 mm厚的同樣面積的玻璃板已知玻璃的相對介電常量為。電容器充電到電壓U = 12 V以后切斷電源。求把玻璃板從電容器中抽出來外力需做多少功。(真空介電常量e 0 = 8.8510-12 C2N-1m-2 )解：玻璃板抽出前后電容器能量的變化即外力作的功抽出玻璃板前后的電容值分別為，撤電源后再抽玻璃板板上電荷不變，但電壓改變，即 抽玻璃板前后電容器的能量分別為外力作功 = 2.5510-6 J10.29 一平行板電容器，極板面積為S，兩極板之間距離為d，中間充滿相對介電常量為的各向同性均勻電介質(zhì)設(shè)極板之間電勢差為U試求在維持電勢差U不變下將介質(zhì)取出，外力需作功多少？ 解：在兩極板之間電勢差U不變下，有介質(zhì)時電容器中的電場能量為取出介質(zhì)后的電場能量為在兩極板之間電勢差U不變下，由于電容值改變，極板上電荷發(fā)生變化 Dq = q2 -q1 = C2U -C1U電源作功設(shè)外力作功為A1，則根據(jù)功能原理， A1 +A2 = DW = W2 -W1故外力作功第十一章 穩(wěn)恒電流(Steady Current)二、計算題11.6 已知導(dǎo)線中的電流按的規(guī)律隨時間變化，式中各量均采用國際單位。計算在到的時間內(nèi)通過導(dǎo)線截面的電荷量。解：導(dǎo)線中的電流不是恒定的，在時間間隔內(nèi)通過導(dǎo)線截面的電量。在時間段內(nèi)，通過導(dǎo)線截面的電量11.7 內(nèi)外半徑分別為、的兩個同心球殼構(gòu)成一電阻元件，當(dāng)兩球殼間填滿電阻率為的材料后，求該電阻器沿徑向的電阻。解：在半徑間取球殼（），該球殼沿經(jīng)向的電阻為該電阻器沿經(jīng)向的總電阻應(yīng)為這些殼層電阻的串聯(lián)，即該電阻器沿徑向的電阻為：11.8 當(dāng)電流為，端壓為時，試求下列各情形中電流的功率以及內(nèi)產(chǎn)生的熱量。（1）電流通過導(dǎo)線；（2）電流通過充電的蓄電池，該蓄電池的電動勢為；（3）電流通過充電的蓄電池，該蓄電池的電動勢為。解：（1）、電流的功率。電流在內(nèi)產(chǎn)生的熱量。（2）、電流的功率。當(dāng)給電動勢為、內(nèi)阻為的蓄電池充電時，有：故電流在內(nèi)產(chǎn)生的熱量：。（3）、電流的功率。當(dāng)電動勢為、內(nèi)阻為的蓄電池放電時，有：故電流在內(nèi)產(chǎn)生的熱量：。11.9在一由電動勢恒定的直流電源供電的載流導(dǎo)線表面某處帶有正電荷，已知其電荷面密度為，在該處導(dǎo)線表面內(nèi)側(cè)的電流密度為，其方向沿導(dǎo)線表面切線方向，如圖11.4所示導(dǎo)線的電導(dǎo)率為，求在該處導(dǎo)線外側(cè)的電場強(qiáng)度。解：規(guī)定在導(dǎo)線內(nèi)側(cè)和導(dǎo)線外側(cè)各物理量分別用角標(biāo)1，2區(qū)分由高斯定理可求得導(dǎo)線表面電場強(qiáng)度的垂直分量 ：。由邊界條件和歐姆定律可求得導(dǎo)線外側(cè)電場強(qiáng)度的平行分量 ：。則導(dǎo)線外側(cè)電場強(qiáng)度的大小 的方向：, 11.10在如題圖11.5所示的電路中，兩電源的電動勢分別為和，內(nèi)阻分別為和，電阻，求電阻兩端的電位差。 解：設(shè)各支路的電流為I1、I2和I3，如圖 由、三式聯(lián)立解得： A11.11 如題圖11.6所示的電路中，電源電動勢分別為，內(nèi)阻為。，。求：（1）a、b兩點(diǎn)間的電位差；（2）、短路后，電阻上電流大小和流向。解：（1）、參考題圖11.6a，因為；，所以：（2）、a、b短接后，設(shè)各支路的電流方向如題圖11.6b所示。則： 解得：,即，如果、短路，電阻上電流的大小為，方向自左向右。11.12 在如題圖11.7所示的電路中，已知，。O點(diǎn)接地，K為開關(guān)，C為電容。求：(1) 開關(guān)閉合前A點(diǎn)的電勢；(2) 開關(guān)閉合后A點(diǎn)的電勢。（開關(guān)閉合前后，A點(diǎn)的電勢及電容器極板上的電荷量均指電路穩(wěn)態(tài)時的值）。解：（1）、開關(guān)閉合前，參考題圖11.7a，可得（2）、開關(guān)閉合后， 設(shè)各支路電流參考方向如題圖11.7b標(biāo)出，列KCL、KVL方程，解得結(jié)果為；。故此時A點(diǎn)的電勢為：11.13在如題圖11.8所示的電路中，已知，。各電池的內(nèi)阻均可忽略。求：1）、當(dāng)開關(guān)K打開時，求電路中B、C兩點(diǎn)間的電位差；2）、當(dāng)開關(guān)K閉合后，若已知此時A、B兩點(diǎn)的電位相等，求電阻。解：1）、開關(guān)打開時，閉和回路中的電流為：，（順時針流動）在B、C兩點(diǎn)間取一段電路，如題圖11.8a，根據(jù)一段含源電路的歐姆定律得： 2）、K閉和后，設(shè)三個支路中電流分別為，和，其參考方向如題圖11.8b表示。 因為A、B兩點(diǎn)電勢相等，則根據(jù)一段含源電路的歐姆定律得：； 代入數(shù)值后：；解得：，。又因為：，所以：。再根據(jù)一段含源電路的歐姆定律得：所以：（本題亦可直接列基爾霍夫方程組求解）11.14電容器由如圖所示的任意形狀的兩個導(dǎo)體A、B之間充滿各向同性的均勻電介質(zhì)組成。電介質(zhì)的相對介電常數(shù)為。漏電電阻率為。試證明兩導(dǎo)體之間的電容和電阻之間的關(guān)系為：。證明：如上圖，使A和B分別帶上自由電荷。包圍A（或B）作閉合曲面S，S為高斯面，運(yùn)用的高斯定理：把各向同性電介質(zhì)的性能方程和歐姆定律的微分形式代入上式得： （1）設(shè)導(dǎo)體A、B之間的電位差為，則根據(jù)電容的定義有： （2）而A、B之間的漏電電阻為： （3）把（2）、（3）帶入（1）得：26