直線的參數(shù)方程及應(yīng)用

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1、直線的參數(shù)方程及應(yīng)用 基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)擊： 1、 直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式 (1)過(guò)點(diǎn)P0()，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)）t的幾何意義：t表示有向線段的數(shù)量，P() P0P=t ∣P0P∣=t 為直線上任意一點(diǎn). (2)若P1、P2是直線上兩點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2， 則P1P2=t2－t1 ∣P1P2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P1、P2、P3是直線上的點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2、t3 則P1P2中點(diǎn)P3的參數(shù)為t3＝,∣P0P3∣= (4)若P0為P

2、1P2的中點(diǎn)，則t1＋t2＝0，t1t2<0 2、 直線參數(shù)方程的一般式 過(guò)點(diǎn)P0()，斜率為的直線的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)） 點(diǎn)擊直線參數(shù)方程： yh 0h P0h P() Q 一、直線的參數(shù)方程 問(wèn)題1：（直線由點(diǎn)和方向確定） 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0()，傾斜角為的直線的參數(shù)方程. 是所求的直線的參數(shù)方程 ∵P0P＝t，t為參數(shù)，t的幾何意義是：有向直線上從已知點(diǎn)

3、P0()到點(diǎn) P()的有向線段的數(shù)量，且|P0P|＝|t| ① 當(dāng)t>0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的上方； ② 當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P0重合； ③ 當(dāng)t<0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的下方； yh 0h P0h P() 特別地，若直線的傾斜角＝0時(shí)，直線的參數(shù)方程為 ④ 當(dāng)t>0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的右側(cè)； ⑤ 當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P0重合； yh 0h P P0h ⑥ 當(dāng)t<0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的左側(cè)； 問(wèn)題2：直線上的點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的參數(shù)t是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 問(wèn)題3：P1、P2為直線上兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2 ， 則P1P2＝？，∣P1P2

4、∣=？ P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1， ∣P1P2∣=∣ t2－t1∣ 問(wèn)題 yh 0h P1 P0h P2 4： 一般地，若P1、P2、P3是直線上的點(diǎn)， 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2、t3， P3為P1、P2的中點(diǎn) 則t3＝ 基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)撥： 1、參數(shù)方程與普通方程的互化 例1：化直線的普通方程＝0為參數(shù)方程，并說(shuō)明參數(shù)的幾何意 義,說(shuō)明∣t∣的幾何意義. 點(diǎn)撥：求直線的參數(shù)方程先確定定點(diǎn)，再求傾斜角,注意參數(shù)的幾何意義. 例2：

5、化直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)）為普通方程，并求傾斜角， 說(shuō)明∣t∣的幾何意義. 點(diǎn)撥：注意在例1、例2中，參數(shù)t的幾何意義是不同的，直線的參數(shù)方程 你會(huì)區(qū)分直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式？ 例3：已知直線過(guò)點(diǎn)M0（1，3），傾斜角為，判斷方程（t為參數(shù)）和方程（t為參數(shù)）是否為直線的參數(shù)方程？如果是直線的參數(shù)方程，指出方程中的參數(shù)t是否具有標(biāo)準(zhǔn)形式中參數(shù)t的幾何意義. 點(diǎn)撥：直線的參數(shù)方程不唯一，對(duì)于給定的參數(shù)方程能辨別其標(biāo)準(zhǔn)形式，會(huì)利用參數(shù)t 的幾何意義解決有關(guān)問(wèn)題. 問(wèn)題5：直線的參數(shù)方程能否化為標(biāo)準(zhǔn)形式？ 是可以的，只需作參數(shù)t的

6、代換.(構(gòu)造勾股數(shù)，實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化) 2、直線非標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)化 一般地，對(duì)于傾斜角為、過(guò)點(diǎn)M0()直線參數(shù)方程的一般式為，. 例4：寫出經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0（－2，3），傾斜角為的直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，并且 求出直線上與點(diǎn)M0相距為2的點(diǎn)的坐標(biāo). 點(diǎn)撥：若使用直線的普通方程利用兩點(diǎn)間的距離公式求M點(diǎn)的坐標(biāo)較麻煩， 而使用直線的參數(shù)方程，充分利用參數(shù)t的幾何意義求M點(diǎn)的坐標(biāo)較 容易. 例5：直線（t為參數(shù)）的傾斜角 . 基礎(chǔ)知識(shí)測(cè)試1： 1、 求過(guò)點(diǎn)(6,7),傾斜角的余弦值是的直線

7、的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程. 2、 直線的方程：（t為參數(shù)），那么直線的傾斜角( ) A 65 B 25 C 155 D 115 3、 直線（t為參數(shù)）的斜率和傾斜角分別是( ) A) －2和arctg(－2) B) －和arctg(－) C) －2和－arctg2 D) －和－arctg 4、 已知直線 （t為參數(shù)）上的點(diǎn)A、B 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2，點(diǎn)P分線段BA所成的比為（≠－1），則P所對(duì)應(yīng)的參數(shù)是 . 5、直線的方程： （t為參數(shù)）

8、A、B是直線上的兩個(gè)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)參數(shù)值t1、t2，那么|AB|等于( ) A ∣t 1－t 2∣ B ∣t 1－t 2∣ C D ∣t 1∣+∣t 2∣ 6、 已知直線： (t為參數(shù))與直線m：交于P點(diǎn)，求點(diǎn)M(1,－5)到點(diǎn)P的距離. 二、直線參數(shù)方程的應(yīng)用 A B M P (2,0) y 0 例6：已知直線過(guò)點(diǎn)P（2，0），斜率為，直線 和拋物線相交于A、B兩點(diǎn)， 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,求： (1)P、M兩點(diǎn)間的距離|PM|； (2)

9、M點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)線段AB的長(zhǎng)|AB| 點(diǎn)撥：利用直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，在解決諸如直線上兩點(diǎn)間的距離、直線上某兩點(diǎn)的中點(diǎn)以及與此相關(guān)的一些問(wèn)題時(shí)，比用直線的普通方程來(lái)解決顯得比較靈活和簡(jiǎn)捷. 例7：已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1,－3）,傾斜角為， (1)求直線與直線：的交點(diǎn)Q與P點(diǎn)的距離| PQ|； (2)求直線和圓＝16的兩個(gè)交點(diǎn)A，B與P點(diǎn)的距離之積. 點(diǎn)撥：利用直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的參數(shù)t的幾何意義解決距離問(wèn)題

10、、距離的乘積（或商）的問(wèn)題，比使用直線的普通方程，與另一曲線方程聯(lián)立先求得交點(diǎn)坐標(biāo)再利用兩點(diǎn)間的距離公式簡(jiǎn)便. 例8：設(shè)拋物線過(guò)兩點(diǎn)A(－1,6)和B(－1,－2)，對(duì)稱軸與軸平行，開(kāi)口向右， 直線y=2+7被拋物線截得的線段長(zhǎng)是4，求拋物線方程. 點(diǎn)撥：(1)（對(duì)稱性） 由兩點(diǎn)A(－1,6)和B(－1,－2)的對(duì)稱性及拋物線的對(duì)稱性質(zhì)，設(shè)出拋物線的方程（含P一個(gè)未知量，由弦長(zhǎng)AB的值求得P）. (2)利用直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程解決弦長(zhǎng)問(wèn)題.此題也可以運(yùn)用直線的普通方程與拋物線方程聯(lián)立后，求弦長(zhǎng)。對(duì)于有些

11、題使用直線的參數(shù)方程相對(duì)簡(jiǎn)便些. 例9：已知橢圓，AB是通過(guò)左焦點(diǎn)F1的弦，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)， 求| F2A|| F2B|的最大值. 點(diǎn)撥：求過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交的距離之積，利用直線的參數(shù)方程解 題，此題中兩定點(diǎn)F1(0,0),F2(2,0),顯然F1坐標(biāo)簡(jiǎn)單，因此選擇過(guò)F1 的直線的參數(shù)方程，利用橢圓的定義將| F2A|| F2B| 轉(zhuǎn)化為| F1A||F1B|.

12、 一般地，把的參數(shù)方程代入圓錐曲線C：F()=0后，可得一個(gè)關(guān)于t 的一元二次方程，=0, 1、(1)當(dāng)Δ<0時(shí)，與C相離；(2) 當(dāng)Δ＝0時(shí)，與C相切；(3) 當(dāng)Δ>0時(shí)， 與C相交有兩個(gè)交點(diǎn)； 2、 當(dāng)Δ>0時(shí)，方程=0的兩個(gè)根分別記為t1、t2，把t1、t2分別代入的參數(shù)方程即可求的與C的兩個(gè)交點(diǎn)A和B的坐標(biāo). 3、 定點(diǎn)P0()是弦AB中點(diǎn) t1+t2=0 4、 被C截得的弦AB的長(zhǎng)|AB|＝|t1－t2|；P0AP0B= t1t2；弦AB中點(diǎn)M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為；| P0M |= 基礎(chǔ)知識(shí)測(cè)試2： 7、 直線(t為參數(shù))與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|等于(

13、 ) A 2 B C 2 D 8、直線 （t為參數(shù)）與二次曲線A、B兩點(diǎn)，則|AB|等于( ) A |t1+t2| B |t1|＋|t2| C |t1－t2| D 9、 直線(t為參數(shù))與圓有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，若P點(diǎn)的坐 標(biāo)為(2,-1),則|PA||PB|= 10、過(guò)點(diǎn)P(6, )的直線(t為參數(shù))與拋物線y2=2相交于A、B兩點(diǎn)， 則點(diǎn)P到A,B距離之積為 . 4