2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷 理（含解析）.doc

2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷 理（含解析）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1復(fù)數(shù)等于（）A 1+2iB 12iC 2+iD 2i2A=x|x1|1，xR，B=x|log2x1，xR，則“xA”是“xB”的（）A 充分非必要條件B 必要非充分條件C 充分必要條件D 既非充分也非必要條件3類比下列平面內(nèi)的三個(gè)結(jié)論所得的空間內(nèi)的結(jié)論成立的是（）平行于同一直線的兩條直線平行；一條直線如果與兩條平行直線中的一條垂直，則必與另一條垂直；如果一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必與另一條相交A B C D 4從字母a，b，c，d，e，f中選出4個(gè)字母排成一列，其中一定要選出a和b，并且必須相鄰（a在b的前面），共有排列方法（）種A 36B 72C 90D 1445已知命題p：若xy，則xy；命題q：若xy，則x2y2；在下列命題中：（1）pq；（2）pq；（3）p（q）；（4）（p）q，真命題是（）A （1）（3）B （1）（4）C （2）（3）D （2）（4）6下列推理過程是演繹推理的是（）A 由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間三棱錐的性質(zhì)B 某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人數(shù)都超過50人C 兩條直線平行，同位角相等；若A與B是兩條平行直線的同位角，則A=BD 在數(shù)列an中，a1=2，an=2an1+1（n2），由此歸納出an的通項(xiàng)公式7函數(shù)y=ax3x在（，+）上的減區(qū)間是1，1，則（）A a=B a=1C a=2D a08某12人的興趣小組中，有5名“三好生”，現(xiàn)從小組中任意選6人參加競賽，用表示這6人中“三好生”的人數(shù)，則下列概率中等于的是（）A P（=2）B P（=3）C P（2）D P（3）9若（1+2x）xx=a0+a1x+a2x2+a3x3+axxx（xR），則+的值為（）A 2B 1C 1D 210已知定義在實(shí)數(shù)集R的函數(shù)f（x）滿足f（1）=4，且f（x）導(dǎo)函數(shù)f（x）3，則不等式f（lnx）3lnx+1的解集為（）A （1，+）B （e，+）C （0，1）D （0，e）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.）11已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N（2，2），p（3）=0.8413，則P（1）=12設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足，則z=5x+2y的最大值是13已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx（a，bR）的圖象如圖所示，它與直線y=0在原點(diǎn)處相切，此切線與函數(shù)圖象所圍區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為，則a的值為14荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去（每次跳躍時(shí)，均從一葉跳到另一葉），而且逆時(shí)針方向跳的概率是順時(shí)針方向跳的概率的兩倍，如圖所示，假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上，則跳三次之后停在A葉上的概率是15定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x（，0）時(shí)，f（x）+xf（x）0恒成立，若a=3f（3），b=（log3）f（log3），c=2f（2），則a，b，c的大小關(guān)系為三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16命題p：關(guān)于x的不等式x2+2ax+40，對(duì)一切xR恒成立，命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）=（32a）x是增函數(shù)，若pq為真，pq為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍17已知復(fù)數(shù)z=1i（i是虛數(shù)單位），函數(shù)f（x）=|2x+1|x4|（）若，求實(shí)數(shù)a，b的值；（）解不等式f（x）18觀察下列等式照此規(guī)律下去（）寫出第5個(gè)等式；（）你能做出什么一般性的猜想？請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想19如圖所示，一根水平放置的長方體枕木的安全負(fù)荷與它的厚度d的平方和寬度a的乘積成正比，與它的長度l的平方成反比（）在ad0的條件下，將此枕木翻轉(zhuǎn)90（即寬度變?yōu)榱撕穸龋砟镜陌踩?fù)荷會(huì)發(fā)生變化嗎？變大還是變小？（）現(xiàn)有一根橫截面為半圓（半圓的半徑為R=）的柱形木材，用它截取成橫截面為長方形的枕木，其長度即為枕木規(guī)定的長度l，問橫截面如何截取，可使安全負(fù)荷最大？20一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得200分）設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立（）設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；（）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？21已知函數(shù)f（x）=a（x1）2+lnx，aR（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）時(shí)，令，求h（x）在1，e的最大值和最小值；（）當(dāng)x1，+）時(shí)，函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在不等式組所表示的區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍xx山東省濰坊市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1復(fù)數(shù)等于（）A 1+2iB 12iC 2+iD 2i考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析：將分子和分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再利用兩個(gè)向量的乘法法則化簡解答：解：復(fù)數(shù)=2+i，故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則的應(yīng)用，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)2A=x|x1|1，xR，B=x|log2x1，xR，則“xA”是“xB”的（）A 充分非必要條件B 必要非充分條件C 充分必要條件D 既非充分也非必要條件考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷專題：簡易邏輯分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可解答：解：A=x|x1|1，xR=x|x2或x0，B=x|log2x1，xR=x|x2，則BA，則“xA”是“xB”的必要不充分條件，故選：B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的解法求出等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵3類比下列平面內(nèi)的三個(gè)結(jié)論所得的空間內(nèi)的結(jié)論成立的是（）平行于同一直線的兩條直線平行；一條直線如果與兩條平行直線中的一條垂直，則必與另一條垂直；如果一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必與另一條相交A B C D 考點(diǎn)：類比推理專題：推理和證明分析：對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論解答：解：根據(jù)平行公理，可知正確；如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則必與另一條垂直，符合異面直線所成角的定義，故正確；如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，與另一條不一定相交，也可能異面，故不正確故選：A點(diǎn)評(píng)：本題考查了線線的平行和垂直定理，借助于具體的事物有助于理解，還能培養(yǎng)立體感4從字母a，b，c，d，e，f中選出4個(gè)字母排成一列，其中一定要選出a和b，并且必須相鄰（a在b的前面），共有排列方法（）種A 36B 72C 90D 144考點(diǎn)：排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題專題：排列組合分析：再從剩余的4個(gè)字母中選取2個(gè)，方法有種，再將這2個(gè)字母和整體ab進(jìn)行排列，方法有=6種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果解答：解：由于ab已經(jīng)選出，故再從剩余的4個(gè)字母中選取2個(gè)，方法有=6種，再將這2個(gè)字母和整體ab進(jìn)行排列，方法有=6種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得所有的排列方法共有 66=36種，故選：A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查排列與組合及兩個(gè)基本原理的應(yīng)用，屬于中檔題5已知命題p：若xy，則xy；命題q：若xy，則x2y2；在下列命題中：（1）pq；（2）pq；（3）p（q）；（4）（p）q，真命題是（）A （1）（3）B （1）（4）C （2）（3）D （2）（4）考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假專題：簡易邏輯分析：容易判斷命題p是真命題，q是假命題，根據(jù)pq，pq，p，q的真假和p，q真假的關(guān)系，這樣即可找出真命題解答：解：顯然命題p是真命題，xy得不到x2y2，比如x=2，y=3時(shí)便得不到2232，所以命題q是假命題；pq為假命題，pq為真命題，q為真命題，p（q）為真命題，p為假命題，（p）q為假命題；真命題是（2）（3）故選：C點(diǎn)評(píng)：考查不等式的性質(zhì)，不等式兩邊平方時(shí)，不等號(hào)方向可能變可能不變，pq，pq，q，p的真假和p，q真假的關(guān)系6下列推理過程是演繹推理的是（）A 由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間三棱錐的性質(zhì)B 某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人數(shù)都超過50人C 兩條直線平行，同位角相等；若A與B是兩條平行直線的同位角，則A=BD 在數(shù)列an中，a1=2，an=2an1+1（n2），由此歸納出an的通項(xiàng)公式考點(diǎn)：演繹推理的基本方法專題：推理和證明分析：根據(jù)三種推理的定義及特點(diǎn)，逐一分析四個(gè)答案中的推理過程，可得結(jié)論解答：解：A中，由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間三棱錐的性質(zhì)是類比推理；B中，某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人數(shù)都超過50人，是歸納推理；C中，兩條直線平行，同位角相等；若A與B是兩條平行直線的同位角，則A=B，是演繹推理；D中，在數(shù)列an中，a1=2，an=2an1+1（n2），由此歸納出an的通項(xiàng)公式，是歸納推理故選：C點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是演繹推理的特征，熟練掌握三種推理的定義及特點(diǎn)，是解答的關(guān)鍵7函數(shù)y=ax3x在（，+）上的減區(qū)間是1，1，則（）A a=B a=1C a=2D a0考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用分析：由f（x）=ax3+x的減區(qū)間為1，1，得f（x）=3ax21=0的兩個(gè)根為1，1，解出a即可解答：解：f（x）=3ax21由題意得3ax21=0的根為1，1則3a1=0，所以a=故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可導(dǎo)函數(shù)f（x）=0的根即為單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)值，屬于簡單題型8某12人的興趣小組中，有5名“三好生”，現(xiàn)從小組中任意選6人參加競賽，用表示這6人中“三好生”的人數(shù)，則下列概率中等于的是（）A P（=2）B P（=3）C P（2）D P（3）考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式專題：概率與統(tǒng)計(jì)分析：先求出從12人選6人共有的種數(shù)，若=3求出對(duì)應(yīng)的種數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算即可解答：解：從12人選6人共有C126種若=3，則6人中“三好生”的人數(shù)3人的種數(shù)為C53C73種，則P（=3）=，故選：B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等可能事件的概率，屬于基礎(chǔ)題9若（1+2x）xx=a0+a1x+a2x2+a3x3+axxx（xR），則+的值為（）A 2B 1C 1D 2考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用專題：二項(xiàng)式定理分析：利用賦值法先令x=0，得a0=1，然后再令x=，即可得到結(jié)論解答：解：令x=0，得a0=1，令x=，得a0+a1（）+a2（）2+a3（）x3+axx（）xxx=1+=（12）xx=0，則+=1，故選：B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，根據(jù)展開式的特點(diǎn)，利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵10已知定義在實(shí)數(shù)集R的函數(shù)f（x）滿足f（1）=4，且f（x）導(dǎo)函數(shù)f（x）3，則不等式f（lnx）3lnx+1的解集為（）A （1，+）B （e，+）C （0，1）D （0，e）考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；其他不等式的解法專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）2x1，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性 即可得到結(jié)論解答：解：設(shè)t=lnx，則不等式f（lnx）3lnx+1等價(jià)為f（t）3t+1，設(shè)g（x）=f（x）3x1，則g（x）=f（x）3，f（x）的導(dǎo)函數(shù)f（x）3，g（x）=f（x）30，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，f（1）=4，g（1）=f（1）31=0，則當(dāng)x1時(shí)，g（x）g（1）=0，即g（x）0，則此時(shí)g（x）=f（x）3x10，即不等式f（x）3x+1的解為x1，即f（t）3t+1的解為t1，由lnx1，解得xe，即不等式f（lnx）3lnx+1的解集為（e，+），故選：D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.）11已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N（2，2），p（3）=0.8413，則P（1）=0.1587考點(diǎn)：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義專題：計(jì)算題分析：根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N（2，2），看出這組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的對(duì)稱軸=2，根據(jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn)，得到P（1）=P（3）=1P（3），得到結(jié)果解答：解：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N（2，2），所以P（23）=P（12），P（2）=P（2），故P（1）=P（3）=1P（3）=10.8413=0.1587故答案為：0.1587點(diǎn)評(píng)：本題考查正態(tài)分布，正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義若一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似的服從正態(tài)分布12設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足，則z=5x+2y的最大值是100考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合求出z的最大值解答：解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABCO）由z=5x+2y得y=x+，平移直線y=x+，由圖象可知當(dāng)直線y=x+經(jīng)過點(diǎn)C（20，0）時(shí)，直線y=x+的截距最大，此時(shí)z最大代入目標(biāo)函數(shù)z=5x+2y得z=520=100即目標(biāo)函數(shù)z=5x+2y的最大值為100故答案為：100點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法13已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx（a，bR）的圖象如圖所示，它與直線y=0在原點(diǎn)處相切，此切線與函數(shù)圖象所圍區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為，則a的值為3考點(diǎn)：定積分專題：計(jì)算題分析：由圖可知f（x）=0得到x的解確定出b的值，確定出f（x）的解析式，由于陰影部分面積為，利用定積分求面積的方法列出關(guān)于a的方程求出a并判斷a的取舍即可解答：解：由圖知方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2=0，于是b=0，f（x）=x2（x+a），有，a=3又a0a0，得a=3故答案為：3點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用定積分的方法求平面圖形面積的能力14荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去（每次跳躍時(shí)，均從一葉跳到另一葉），而且逆時(shí)針方向跳的概率是順時(shí)針方向跳的概率的兩倍，如圖所示，假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上，則跳三次之后停在A葉上的概率是考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式專題：概率與統(tǒng)計(jì)分析：根據(jù)條件先求出逆時(shí)針和順時(shí)針跳的概率，然后根據(jù)跳3次回到A，則應(yīng)滿足3次逆時(shí)針或者3次順時(shí)針，根據(jù)概率公式即可得到結(jié)論解答：解：設(shè)按照順時(shí)針跳的概率為p，則逆時(shí)針方向跳的概率為2p，則p+2p=3p=1，解得p=，即按照順時(shí)針跳的概率為，則逆時(shí)針方向跳的概率為，若青蛙在A葉上，則跳3次之后停在A葉上，則滿足3次逆時(shí)針或者3次順時(shí)針，若先按逆時(shí)針開始從AB，則對(duì)應(yīng)的概率為=，若先按順時(shí)針開始從AC，則對(duì)應(yīng)的概率為=，則概率為+=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題主要考查概率的計(jì)算，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式是解決本題的關(guān)鍵15定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x（，0）時(shí)，f（x）+xf（x）0恒成立，若a=3f（3），b=（log3）f（log3），c=2f（2），則a，b，c的大小關(guān)系為bca考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論解答：解：設(shè)g（x）=xf（x），則g（x）=f（x）+xf（x），當(dāng)x（，0）時(shí)，f（x）+xf（x）0恒成立，此時(shí)g（x）=f（x）+xf（x）0，即此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，f（x）是奇函數(shù)，g（x）=xf（x）是偶函數(shù)，即當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，則a=3f（3）=g（3），b=（log3）f（log3）=g（log3），c=2f（2）=g（2）=g（2），0log3123，g（log3）g（2）g（3），即bca，故答案為：bca點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值的大小比較，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16命題p：關(guān)于x的不等式x2+2ax+40，對(duì)一切xR恒成立，命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）=（32a）x是增函數(shù)，若pq為真，pq為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用；復(fù)合命題的真假；二次函數(shù)的性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由pq為真，pq為假，知p為真，q為假，或p為假，q為真由此利用二元一次不等式和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍解答：解：pq為真，pq為假，p為真，q為假，或p為假，q為真當(dāng)p為真，q為假時(shí)，解得1a當(dāng)p為假，q為真時(shí)，解得a2綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|a2或1a點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷，是基礎(chǔ)題解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答17已知復(fù)數(shù)z=1i（i是虛數(shù)單位），函數(shù)f（x）=|2x+1|x4|（）若，求實(shí)數(shù)a，b的值；（）解不等式f（x）考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法專題：不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析：（）求出z2，然后利用，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件列出方程組求解即可（）轉(zhuǎn)化|2x+1|x4|2，通過令y=|2x+1|x4|，畫出函數(shù)的圖象，然后求解不等式的解解答：解：（）復(fù)數(shù)z=1i，z2=（1i）2=2i，（1分）由，得2i+a（1+i）+b=33i，（2分）即（a+b）+（a2）i=33i，所以，解得a=1，b=4； （6分）（）由（1）知，b=4所以f（x）=|2x+1|x4|2（7分）令y=|2x+1|x4|，則（10分）作出函數(shù)y=|2x+1|x4|的圖象，它與直線y=2的交點(diǎn)為（7，2）和（1分）所以|2x+1|x4|2的解集為（12分）注：用零點(diǎn)分區(qū)間法相應(yīng)給分點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，考查計(jì)算能力以及作圖能力18觀察下列等式照此規(guī)律下去（）寫出第5個(gè)等式；（）你能做出什么一般性的猜想？請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法；歸納推理專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法分析：（）利用條件直接寫出第5個(gè)等式（）猜測(cè)第n個(gè)等式為n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2，然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明即可解答：解：（）第5個(gè)等式 5+6+7+13=81（3分）（）猜測(cè)第n個(gè)等式為n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2（6分）證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)顯然成立；（7分）（2）假設(shè)n=k（k1，kN+）時(shí)也成立，即有k+（k+1）+（k+2）+（3k2）=（2k1）2（8分）那么當(dāng)n=k+1時(shí)左邊=（k+1）+（k+2）+（3k2）+（3k1）+（3k）+（3k+1）=k+（k+1）+（k+2）+（3k2）+（2k1）+3k+3k+1=（2k1）2+（2k1）+（3k）+（3k+1）=4k24k+1+8k=（2k+1）2=2（k+1）12（11分）而右邊=2（k+1）12這就是說n=k+1時(shí)等式也成立根據(jù)（1）（2）知，等式對(duì)任何nN+都成立（12分）點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟的應(yīng)用，歸納推理的方法，考查計(jì)算能力19如圖所示，一根水平放置的長方體枕木的安全負(fù)荷與它的厚度d的平方和寬度a的乘積成正比，與它的長度l的平方成反比（）在ad0的條件下，將此枕木翻轉(zhuǎn)90（即寬度變?yōu)榱撕穸龋砟镜陌踩?fù)荷會(huì)發(fā)生變化嗎？變大還是變小？（）現(xiàn)有一根橫截面為半圓（半圓的半徑為R=）的柱形木材，用它截取成橫截面為長方形的枕木，其長度即為枕木規(guī)定的長度l，問橫截面如何截取，可使安全負(fù)荷最大？考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析：（）設(shè)安全負(fù)荷為，求出翻轉(zhuǎn)90后的表達(dá)式，然后求解比值的最大值（）設(shè)截取的寬為a（0a2），高為d，得到安全負(fù)荷為令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解最大值即可解答：解：（）設(shè)安全負(fù)荷為，（1分）翻轉(zhuǎn)90后，（2分）可得：，（3分）當(dāng)ad0時(shí)，1此時(shí)枕木的安全負(fù)荷變大（5分）（）設(shè)截取的寬為a（0a2），高為d，a2+d2=12（6分）其長度l及k為定值，安全負(fù)荷為令，（8分）此時(shí)（9分）由g（a）0，可得，（11分）所以當(dāng)寬a=2時(shí)，g（a）取得取大值，此時(shí)高，所以，當(dāng)寬a=2，高時(shí)，安全負(fù)荷最大（12分）點(diǎn)評(píng)：本題可拆式的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，實(shí)際問題的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力20一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得200分）設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立（）設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；（）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列；互斥事件的概率加法公式；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式專題：概率與統(tǒng)計(jì)分析：（）X可能的取值為10，20，100，200運(yùn)用幾何概率公式得出求解相應(yīng)的概率，得出分布列（）利用對(duì)立事件求解得出P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（X=200）=，求解P（A1A2A3）即可得出1P（A1A2A3）解答：解：（1）X可能的取值為10，20，100，200根據(jù)題意，有P（X=10）=（）1（1）2=，P（X=20）=（）2（1）1=，P（X=100）=（）3（1）0=，P（X=200）=（）0（1）3=以X的分布列為：X1020100200P（）解：設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai（i=1，2，3），則P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（X=200）=，所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為1P（A1A2A3）=1（）3=因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是點(diǎn)評(píng)：本題考查了離散型的概率分布問題，幾何互斥事件，對(duì)立事件概率求解即可，屬于中檔題，準(zhǔn)確計(jì)算，思路清晰21已知函數(shù)f（x）=a（x1）2+lnx，aR（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）時(shí)，令，求h（x）在1，e的最大值和最小值；（）當(dāng)x1，+）時(shí)，函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在不等式組所表示的區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析：（）通過，函數(shù)f（x），求出定義域以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并分解因式，當(dāng)0x2時(shí)，當(dāng)x2時(shí)，分別求解導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，推出函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間（）求出h（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令h（x）=0求出極值點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解最值（）由題意得a（x1）2+lnxx1對(duì)x1，+）恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=a（x1）2+lnxx+1，x1，+），轉(zhuǎn)化為g（x）max0，x1，+），然后利用導(dǎo)數(shù)，通過當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求解a的范圍，即可解答：解：（）當(dāng)時(shí)，f（x）=（x1）2+lnx，（x0）（1分）f（x）=，（2分）當(dāng)0x2時(shí)，f（x）0，f（x）在（0，2）單調(diào)遞增；當(dāng)x2時(shí)，f（x）0，f（x）在（2，+）單調(diào)遞減；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+）（4分）（）時(shí)，令=（x1）2+lnx=，令h（x）=0得（5分）當(dāng)時(shí)h（x）0，當(dāng)時(shí)h（x）0，故是函數(shù)h（x）在1，e上唯一的極小值點(diǎn)，（6分）故，又，所以h（x）max=（8分） 注：列表也可（）由題意得a（x1）2+lnxx1對(duì)x1，+）恒成立，（9分）設(shè)g（x）=a（x1）2+lnxx+1，x1，+），則g（x）max0，x1，+）求導(dǎo)得，（10分）當(dāng)a0時(shí)，若x1，則g（x）0，所以g（x）在1，+）單調(diào)遞減g（x）max=g（1）=00成立，得a0；（11分）當(dāng)時(shí)，g（x）在1，+）單調(diào)遞增，所以存在x1，使g（x）g（1）=0，則不成立；（12分）當(dāng)時(shí)，則f（x）在1，上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則存在，有，所以不成立，（13分）綜上得a0（14分）點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值以及分類討論思想，考查計(jì)算能力轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用