工程力學教學課件 第3章 平面任意力系

第三章 平面任意力系 平面任意力系向作用面內(nèi)一點的簡化 平面任意力系的簡化結(jié)果 平面任意力系的平衡條件和平衡方程 平面平行力系 物體系統(tǒng)的平衡、靜定和靜不定問題 平面靜定桁架的內(nèi)力計算 平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化平面任意力系：作用在物體上的所有力的作用線都在同一平面內(nèi)，作用線既不匯交也不全平行。一、概述例BCA 1F 2F C AyF BxF ByFAxF 1F 2F 平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化一、概述回顧與比較A1F2F 3FnF 1m 2mnm 1A 2AnA 1F 2FnF RF F 00 xyFF mM 0m如何簡化？平衡方程？ 平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化二、力線平移定理 定理：作用于剛體上的力可從其作用點平行移到剛體內(nèi)任一指定點，若不改變該力對剛體的作用，則必須在該平面內(nèi)附加一力偶（稱為附加力偶），其力偶矩等于原力對指定點的矩。 力線平移定理的逆步驟，也可把一個力和一個力偶合成一個力。A F BA F FF )(b A B m F)c(B)(a 平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化二、力線平移定理為什么鉗工攻絲時，兩手要均勻用力？AFAFBF 1F 1mO )(b1A 2AnA1F 2FnF)(a平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化三、平面任意力系向一點簡化、主矢與主矩 設(shè)平面任意力系如圖（a），在平面內(nèi)任取一點O，稱為簡化中心。O 2F2mnF nm)2.1( niFF ii 可得平面匯交力系和附加力偶系如圖（b）。)2.1)( niFmm iOi 平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化三、平面任意力系向一點簡化、主矢與主矩O 1A 2AnA1F 2FnF)(a O1F 1m 2F2mnF nm)(b O RF)(c 對于圖(b)中的匯交力系，由平面匯交力系合成的幾何法得： nR FFFF 21 是原力系的主矢。RF顯然，主矢與簡化中心的位置無關(guān)。FFFF n 21 平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化三、平面任意力系向一點簡化、主矢與主矩 xnxxxRx FFFFF 21因此， 的大小和方向為：RF 2222 )()( yxRyRxR FFFFF ),cos( R xR FFiF ),cos( R yR FFjF O 1A 2AnA1F 2FnF)(a O1F 1m 2F2mnF nm)(b O RF)(c也可建立坐標，得：xy xyxy ynyyyRy FFFFF 21 平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化三、平面任意力系向一點簡化、主矢與主矩 對于圖(b)中的力偶系，由平面力偶系的合成理論： nO mmmM 21 稱為原力系對簡化中心O的主矩。OMO 1A 2AnA1F 2FnF)(a O1F 1m 2F2mnF nm)(b O RF)(cOM )()()()( 21 iOnOOO FmFmFmFm 一般來說，主矩與簡化中心的位置有關(guān)。 平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化三、平面任意力系向一點簡化、主矢與主矩綜上所述： 平面任意力系向任一點簡化可得到一個主矢和一個主矩。主矢與簡化中心的位置無關(guān)，主矩與簡化中心的位置有關(guān)。O 1A 2AnA1F 2FnF O RFOM 平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化四、應(yīng)用：平面固定端約束 物體的一部分固嵌在另一物體中所構(gòu)成的約束稱為平面固定端約束。A AA A AxF AyF AM 一、簡化結(jié)果分析平 面任意力 系 的 簡 化 結(jié) 果O 1A 2AnA1F 2FnF O RFOM0,0.1 oR MF 0,0.2 OR MF 0,0.3 OR MF 0,0.4 OR MF 平 面任意力 系 的 簡 化 結(jié) 果一、簡化結(jié)果分析1、主矢和主矩都等于零)0,0( oR MF此時平面力系平衡。2、主矢等于零，主矩不等于零)0,0( OR MF3、主矢不等于零，主矩等于零)0,0( OR MF 此時平面力系簡化為一力偶。其力偶矩M等于原力系對簡化中心的主矩，即 且此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)。)(FmM O 此時平面力系簡化為一合力，作用在簡化中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即FFR 平 面任意力 系 的 簡 化 結(jié) 果一、簡化結(jié)果分析4、主矢和主矩均不等于零)0,0( OR MF 此時還可進一步簡化為一合力。O OOMRF O ORF RFRF d O ORFddFdFFmM RRROO )( 于是ROFMd 由主矩的定義知：)( iOO FmM 所以：)()( iORO FmFm 結(jié)論：平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩等于力系中各力對同一點之矩的代數(shù)和。即為平面一般力系的合力矩定理。 平 面任意力 系 的 簡 化 結(jié) 果二、平行分布線荷載的簡化 分布在較大范圍內(nèi)，不能看作集中力的荷載稱分布荷載。若分布荷載可以簡化為沿物體中心線分布的平行力，則稱此力系為平行分布線荷載，簡稱線荷載。 Cx qF結(jié)論： 1、合力的大小等于線荷載所組成幾何圖形的面積。2、合力的方向與線荷載的方向相同。3、合力的作用線通過荷載圖的形心。qx xy 平 面任意力 系 的 簡 化 結(jié) 果二、平行分布線荷載的簡化qF q2l 2l1、均布荷載qlFq qqF 32l 3l2、三角形荷載qlF q 21 平面任意力系的平衡條件和平衡方程一、平衡條件和平衡方程 1、平衡條件：平面任意力系平衡的必要與充分條件是：力系的主矢和對任一點的主矩都等于零。即0 RF 0OM 2、平衡方程：由于22 )()( yxR FFF )( iOO FmM ，因此平衡條件的解析方程為：0 xF 0 yF 0)( FmO 即：平面任意力系平衡的解析條件是：力系中所有各力在其作用面內(nèi)兩個任選的坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零，所有各力對任一點之矩的代數(shù)和等于零。上式稱為平面任意力系的平衡方程。 平面任意力系的平衡條件和平衡方程例1 PA a b q求圖示剛架的約束反力。xa b qPA AxF AyF AM y 解：以剛架為研究對象，受力如圖，建立如圖所示的坐標。0:0 qbFF Axx 0:0 PFF Ayy :0)( FmA AM解之得：qbFAx PFAy 221 qbPaMA 0Pa 221 qb 平面任意力系的平衡條件和平衡方程例2 ba PA B m求圖示梁的支座反力。解：以梁為研究對象，受力如圖，建立如圖所示的坐標。0cos:0 PFF Axx 0sin:0 PFFF ByAyy 0)(sin:0)( mbaPaFFm ByA cosPFAx a baPmFBy )(sin aPbmFAy sin PA B mAxF AyF ByF xy 平面任意力系的平衡條件和平衡方程例3 QA BP ma b b求圖示平面剛架的約束反力。解：以剛架為研究對象，受力如圖，建立如圖所示的坐標。02:0)( 0:0 0:0 PamQbbFFm QFFF PFF BA BAyy Axx 解之得：b mPaQbF b mQbPaF PFAyBAx 22 P ma b bA BQAxF AyF BFy x 平面任意力系的平衡條件和平衡方程例4 4545A B C301F 2F2 2 2 2 梁ABC用三鏈桿支承，并受荷載 和 的作用，如圖所示，試求每根鏈桿所受的力。kN201 FkN402 F A B C301F 2F2 2 2 2 AF BF CF xy解1：以梁為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。030sin45cos45cos:0 2 FFFF BAx 045cos45sin45sin:0 21 FFFFFF CBAy 0245sin430cos68:0)( 12 FFFFFm BCA 解之得：kN8.29;kN5.3;kN8.31 CBA FFF 平面任意力系的平衡條件和平衡方程例4 解2：以梁為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。045cos75cos45cos:0 21 CBx FFFFF 045sin75sin45sin:0 21 CAy FFFFF 0630sin230cos4:0)( 22 CD FFFFm 解之可得同上的結(jié)果。 AF A B C301F 2F2 2 2 2BF CFD E Hxy 同樣，亦可由 或 和前兩個投影方程聯(lián)立求解。0)( FmE 0)( Fm H 平面任意力系的平衡條件和平衡方程二、平衡方程的其它形式1、二矩式 0)( 0)( 0Fm FmFBAx 其中A、B兩點的連線AB不能垂直于x軸。2、三矩式 0)( 0)( 0)(Fm Fm Fm CBA 其中A、B、C三點不能在同一條直線上。 平面任意力系的平衡條件和平衡方程例5 解：以桿AB為研究對象，受力如圖。0)( Fm O 0sin)(cossin)( 2224222 lll rPrG解之得：2242 lrlGPParctg 均質(zhì)桿AB長l,重為G，置于光滑半圓槽內(nèi)，圓槽半徑為r，力 鉛垂向下作用于D點，如圖，求平衡時桿與水平線的夾角 。P A BC O DG P rr 2l 4lA BC O DG PNAF NBF 平 面 平 行 力 系一、平面平行力系的平衡方程 力的作用線在同一平面且相互平行的力系稱平面平行力系。O xy 1F 2F 3F nF 平面平行力系作為平面任意力系的特殊情況，當它平衡時，也應(yīng)滿足平面任意力系的平衡方程，選如圖的坐標，則 自然滿足。0 xF于是平面平行力系的平衡方程為：0)(;0 FmF Oy 平面平行力系的平衡方程也可表示為二矩式：0)(;0)( FmFm BA 其中AB連線不能與各力的作用線平行。 物 體 系 統(tǒng) 的 平 衡一、概念 由若干個物體通過約束所組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡稱物系。 外界物體作用于系統(tǒng)的力稱該系統(tǒng)的外力。 系統(tǒng)內(nèi)各物體間相互作用的力稱該系統(tǒng)的內(nèi)力。 當整個系統(tǒng)平衡時，系統(tǒng)內(nèi)每個物體都平衡。反之，系統(tǒng)中每個物體都平衡，則系統(tǒng)必然平衡。因此，當研究物體系統(tǒng)的平衡時，研究對象可以是整體，也可以是局部，也可以是單個物體。 物 體 系 統(tǒng) 的 平 衡一、靜定和靜不定的概念 在靜力學中求解物體系統(tǒng)的平衡問題時，若未知量的數(shù)目不超過獨立平衡方程數(shù)目，則由剛體靜力學理論，可把全部未知量求出，這類問題稱為靜定問題。若未知量的數(shù)目多于獨立平衡方程數(shù)目，則全部未知量用剛體靜力學理論無法求出，這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題。而總未知量數(shù)與總獨立平衡方程數(shù)之差稱為靜不定次數(shù)。 物 體 系 統(tǒng) 的 平 衡一、靜定和靜不定的概念P F P F P FP P 物 體 系 統(tǒng) 的 平 衡物 體 系 統(tǒng) 的 平 衡一、靜定和靜不定的概念q練習：指明圖中物體系統(tǒng)有 個獨立平衡方程, 有 個未知反力。 物 體 系 統(tǒng) 的 平 衡例6 A BCD E F1 2 3qa aab 組合結(jié)構(gòu)的荷載和尺寸如圖所示，求支座反力和各鏈桿的內(nèi)力。A BCD E F1 2 3qAxF AyFDF 解：先以整體為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。0:0 DAxx FFF 0)2(:0 baqFF Ayy 0)2(:0)( 221 baqaFFm DA 解之得：a baqFD 2 )2( 2 a baqFAx 2 )2( 2 )2( baqFAy DFF 1由于 ，代入解之得：物 體 系 統(tǒng) 的 平 衡 例6 再以鉸C為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。045cos:0 31 FFFx 045sin:0 32 FFFy abaqF 2 )2( 23 a baqF 2 )2( 22 當然，亦可以以AB為研究對象，求 和 。2F 3FC1F 2F 3Fy 45 xA BqAxF AyF 2F 3F 物 體 系 統(tǒng) 的 平 衡例7 qP A BCa aa 求圖示三鉸剛架的支座反力。 解：先以整體為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。 ByFP A BC qAxF AyF BxF xy0:0 PFFF BxAxx 0:0 qaFFF ByAyy 02:0)( 23 aqaPaaFFm ByA 可解得：qaPFBy 4321 PqaFAy 2141 P AyF CxFA CAxF CyF再以AC為研究對象，受力如圖。0;0)( aFaFFm AyAxC 解得：PqaFF AyAx 2141 qaPFBx 4121 物 體 系 統(tǒng) 的 平 衡例8 求圖示多跨靜定梁的支座反力。解：先以CD為研究對象，受力如圖。033:0)( 23 qFFm DC 解之得：qFD 23 再以整體為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。0:0 Axx FF 04:0 qPFFFF DBAyy 064248:0)( qPFFFm BDA 解之得：qPF B 321 qPF Ay 2121 B C22 1 3P qA DqC DFCxF CyF D DFP qA B CBFAxF AyF xy D 物 體 系 統(tǒng) 的 平 衡例9 求圖示結(jié)構(gòu)固定端的約束反力。mB CBF CF 解：先以BC為研究對象，受力如圖。0:0 mbFm C于是得：BC FbmF P q BFAMAxF AyF xyA 再以AB為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。0:0 BAxx FPFF 0:0 qaFF Ayy 0)( FmA 0)( 221 aFqabaPM BA將 代入即可求得 、 、 。BB FF AxF AyF AM mB CP qaab A 物 體 系 統(tǒng) 的 平 衡練習：MP q B Aa2a 2a2aC 圖示結(jié)構(gòu)中，各桿自重不計。求固定端A的約束反力(B為中間鉸，C為可動鉸支座)。 2 2 CF P qa 2 3AxF qa P 2AyF qa 6AM M Pa 物 體 系 統(tǒng) 的 平 衡例10 0q AP mBC DE 30 aa3 結(jié)構(gòu)的荷載和尺寸如圖，CE=ED，試求固定端A和鉸支座B的約束反力。mBD BxF ByF DxFDyF 解：先以BD為研究對象，受力如圖。0:0)( maFFm BxD 解得：amFBx P mBC DE 30 ByFBxFCxF CyF 再以CDB局部為研究對象，受力如圖。03:0)( 23 maPaFFm ByC 解得：ampFBy 332 物 體 系 統(tǒng) 的 平 衡例10 0q AP mBC DE 30AMAxF AyF BxF ByFxy 最后以整體為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。03:0 021 aqFFF BxAxx 0:0 PFFF ByAyy :0)( Fm A 0333 2332023 aFaFmaPaaqM ByBxA解之得：aqamFAx 032 ampFAy 332 maqMA 33 20 物 體 系 統(tǒng) 的 平 衡例11 圖示結(jié)構(gòu)，各桿在A、E、F、G處均為鉸接，B處為光滑接觸。在C、D兩處分別作用力 和 ，且 ，各桿自重不計，求F處的約束反力。1P 2PN50021 PP C BE FA G 1P2P m2m2m2m2m2m2D A B C E FG 1P2P AxFAyF BF 解：先以整體為研究對象，受力如圖。:0)( FmA 0624 12 PPFB解得：N1000BF 物 體 系 統(tǒng) 的 平 衡例11 E F2P ExFEyF FxFFyFD再以DF為研究對象，受力如圖。:0)( FmE 解得：N5002 PFFy BFG GyF GxFFxF FyF BF 最后以桿BG為研究對象，受力如圖。:0)( FmG 0224 FxFyB FFF解得：N1500 FxF 022 2 FyFP 物 體 系 統(tǒng) 的 平 衡思考題A BC EPx b DH 圖示結(jié)構(gòu)，在水平桿AB上作用一鉛垂向下的力 ，試證明AC桿所受的力與 的作用位置無關(guān)。PP 桁 架 的 內(nèi) 力 計 算概 念 桁架是由桿件彼此在兩端用鉸鏈聯(lián)接形成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。桁架中所有桿件都在同一平面內(nèi)的桁架稱為平面桁架。桁架中的鉸鏈接頭稱為節(jié)點。 為了簡化桁架的計算，工程實際中采用以下幾個假設(shè)： （1）桁架的桿件都是直桿； （2）桿件用光滑鉸鏈聯(lián)接； （3）桁架所受的力都作用到節(jié)點上，且在桁架平面內(nèi)； （4）桁架桿件重不計，或平均分配在桿件兩端的節(jié)點上。這樣的桁架，稱為理想桁架。 桁 架 的 內(nèi) 力 計 算一、節(jié)點法 桁架內(nèi)每個節(jié)點都受平面匯交力系作用，為求桁架內(nèi)每個桿件的內(nèi)力，逐個取桁架內(nèi)每個節(jié)點為研究對象，求桁架桿件內(nèi)力的方法即為節(jié)點法。PA BCD30 3012 3 45m2 m2 例14 平面桁架的尺寸和支座如圖，在節(jié)點D處受一集中荷載P=10kN的作用。試求桁架各桿件所受的內(nèi)力。PA BCD AF BxFByFxy 解：先以整體為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。0:0 Bxx FF 0:0 PFFF ByAy 042:0)( AB FPFm 解之得：kN5 ByA FF 桁 架 的 內(nèi) 力 計 算一、節(jié)點法A AF 1F2FC 1F 3F 4FD 3F2F P 5F 再分別以節(jié)點A、C、D為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。xy對A：030cos:0 12 FFFx 030sin:0 1 FFF Ay解得：kN66.8,kN10 21 FF對C：030cos30cos:0 14 FFFx 030sin)(:0 413 FFFFy解得：kN10,kN10 34 FF對D：0:0 25 FFFx解得：kN66.85 F PA B CD30 3012 3 45m2 m2 桁 架 的 內(nèi) 力 計 算二、截面法 用假想的截面將桁架截開，取至少包含兩個節(jié)點以上部分為研究對象，考慮其平衡，求出被截桿件內(nèi)力，這就是截面法。BD FG3 2Pxy BFA C E121PAxF AyF 解：以整體為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。0:0 Axx FF 0:0 21 PPFFF BAyy 0312:0)( 21 AyB FPPFm 例15 圖示平面桁架，各桿長度均為1m，在節(jié)點E上作用荷載 ，在節(jié)點D上作用荷載 ，試求桿1、2、3的內(nèi)力。kN101 P kN72 P A BC D FE G12 31P 2P 桁 架 的 內(nèi) 力 計 算二、截面法解之得：kN8,kN9,0 BAyAx FFF 為求1、2、3桿的內(nèi)力，用假想截面m-n將桁架截開。01123:0)( 1 AyE FFFm 060sin:0 12 PFFF Ayx 0232321:0)( 31 AyD FFPFm 解之得：kN81.9,kN15.1,kN4.10 321 FFF A BC D FE G12 31P 2Pm nAxF A C E 1PAyF D1F 2F 3F xy 取左半部分為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。 桁 架 的 內(nèi) 力 計 算二、截面法 思考題：求下列各桁架指定桿件的軸力。P1 23 P1 2P1 2 P 動力學普遍定理綜合應(yīng)用