2019-2020年高中數(shù)學知識精要 10.導數(shù)教案 新人教A版.doc

2019-2020年高中數(shù)學知識精要 10.導數(shù)教案 新人教A版1、導數(shù)的背景：（1）切線的斜率；（2）瞬時速度. 如一物體的運動方程是，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在時的瞬時速度為_（答：5米/秒）2、導函數(shù)的概念：如果函數(shù)在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導，對于開區(qū)間（a,b）內(nèi)的每一個，都對應著一個導數(shù) ，這樣在開區(qū)間（a,b）內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù)，這一新的函數(shù)叫做在開區(qū)間（a,b）內(nèi)的導函數(shù)， 記作 ，導函數(shù)也簡稱為導數(shù)。提醒：導數(shù)的另一種形式如（1）* 在處可導，則 解： 在處可導，必連續(xù) （2）*已知f(x)在x=a處可導，且f(a)=b，求下列極限：（1）； （2）分析：在導數(shù)定義中，增量x的形式是多種多樣，但不論x選擇哪種形式，y也必須選擇相對應的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。解：（1） （2） 說明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式?？梢宰C明：可導的奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)3、求在處的導數(shù)的步驟：（1）求函數(shù)的改變量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導數(shù)。也可（1）求，（2）.4、導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即曲線在點處的切線的斜率是，相應地切線的方程是。特別提醒：（1）在求曲線的切線方程時，要注意區(qū)分所求切線是曲線上某點處的切線(只有當此點在曲線上時，此點處的切線的斜率才是)，還是過某點的切線：曲線上某點處的切線只有一條，而過某點的切線不一定只有一條，即使此點在曲線上也不一定只有一條切線，也未必和曲線只有一個交點；（2）求過某一點的切線方程時也是通過切點坐標來求。如（1）P在曲線上移動，在點P處的切線的傾斜角為，則的取值范圍是_（答：）；（2）直線是曲線的一條切線,則實數(shù)的值為_（答：3或1）；（4）曲線在點處的切線方程是_（答：）；（5）已知函數(shù)，又導函數(shù)的圖象與軸交于。求的值；求過點的曲線的切線方程（答：1；或）。5、導數(shù)的運算法則： 6.常見函數(shù)的導數(shù)公式: （1）常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為0，即（C為常數(shù)）；（2），與此有關(guān)的如下：； 7.（理科）復合函數(shù)的導數(shù)：一般按以下三個步驟進行：（1）適當選定中間變量，正確分解復合關(guān)系；（2）分步求導（弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導）；（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。也就是說，首先，選定中間變量，分解復合關(guān)系，說明函數(shù)關(guān)系y=f()，=f(x)；然后將已知函數(shù)對中間變量求導，中間變量對自變量求導；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個過程可簡記為分解求導回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量。如（1）已知函數(shù)的導數(shù)為，則_（答：）；（2）函數(shù)的導數(shù)為_（答：）；（3）若對任意，則是_（答：）8、函數(shù)的單調(diào)性：（1）函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系若,則為增函數(shù)；若,則為減函數(shù)；若恒成立,則為常數(shù)函數(shù)；若的符號不確定,則不是單調(diào)函數(shù)?？蓪Ш瘮?shù)yf（x）在某個區(qū)間內(nèi)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件若函數(shù)在區(qū)間（）上單調(diào)遞增，則，反之等號不成立（等號不恒成立時，反過來就成立）；若函數(shù)在區(qū)間（）上單調(diào)遞減，則，反之等號不成立（等號不恒成立時，反過來就成立）。提醒：導數(shù)求單調(diào)性可用于求函數(shù)值域，證明不等式（不等式一端化為0）如（1）函數(shù)，其中為實數(shù)，當時，的單調(diào)性是_（答：增函數(shù)）；（2）設函數(shù)在上單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍_（答：）；（3）已知函數(shù)為常數(shù)）在區(qū)間上單調(diào)遞增，且方程的根都在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是_（答：）；（4）已知，設，試問是否存在實數(shù)，使在上是減函數(shù)，并且在上是增函數(shù)？（答：）（2）利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）求（注意定義域）；（2）求方程的根，設根為；（3）將給定區(qū)間分成n+1個子區(qū)間（在此有一個比較根的大小問題），再在每一個子區(qū)間內(nèi)判斷的符號，由此確定每一子區(qū)間的單調(diào)性。如設函數(shù)在處有極值，且，求的單調(diào)區(qū)間。（答：遞增區(qū)間（1,1），遞減區(qū)間）（3）利用導數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定參變數(shù)（已知函數(shù)的單調(diào)性）轉(zhuǎn)化為恒成立7、函數(shù)的極值：（1）定義：設函數(shù)在點附近有定義，如果對附近所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極大值。記作，如果對附近所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極小值。記作。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。（2）求函數(shù)在某個區(qū)間上的極值的步驟：（i）求導數(shù)；（ii）求方程的根；（iii）檢查在方程的根的左右的符號：“左正右負”在處取極大值；“左負右正”在處取極小值。注：導數(shù)為零的點未必是極值點， 特別提醒：（1）是極值點的充要條件是點兩側(cè)導數(shù)異號，而不僅是0，0是為極值點的必要而不充分條件。（2）給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！ （3）第二步中蘊含著比較根的大小問題，第三步中通常總結(jié)成表.如（1）函數(shù)的極值點A.極大值點 B.極大值點 C.極小值點 D.極小值點（答：C）；（2）已知函數(shù)有極大值和極小值，則實數(shù)的取值范圍是_（答：或）；（3）函數(shù)處有極小值10，則a+b的值為_（答：7）；（4）已知函數(shù)在區(qū)間1,2 上是減函數(shù)，那么bc有最_值_（答：大，）8、函數(shù)的最大值和最小值：（1）定義：函數(shù)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點值中的“最大值”；函數(shù)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點值中的“最小值”。（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在（）內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與，比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。注：第一步中其實不必求出極值，只要找到導數(shù)為零點處的函數(shù)值即可；閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值如（1）函數(shù)在0，3上的最大值、最小值分別是_（答：5；）；（2）用總長14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m。那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積。（答：高為1.2米時，容積最大為）特別注意：（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值（極值）時，要注意列表?。?）要善于應用函數(shù)的導數(shù)，考察函數(shù)單調(diào)性、最值(極值)，研究函數(shù)的性態(tài)，數(shù)形結(jié)合解決方程不等式等相關(guān)Obaxy問題。如（1）是的導函數(shù)，的圖象如右圖所示，則的圖象只可能是 ( 答：D )ObaxyObaxyB、A、ObaxyObaxyC、D、（2）方程的實根的個數(shù)為_（答：1）；（3）已知函數(shù)，拋物線，當時，函數(shù)的圖象在拋物線的上方，求的取值范圍（答：）。9.定積分(1) 定積分的定義：分割近似代替求和取極限(2)定積分幾何意義：表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積的相反數(shù)(3)定積分的基本性質(zhì)：(4)求定積分的方法：定義法：分割近似代替求和取極限利用定積分幾何意義微積分基本定理