2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 第三課時(shí) 正弦定理、余弦定理教案（一）蘇教版必修5.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 第三課時(shí) 正弦定理、余弦定理教案（一）蘇教版必修5教學(xué)目標(biāo)：進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容，能夠應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，判斷三角形的形狀，證明三角形中的三角恒等式；通過(guò)正、余弦定理在邊角互換時(shí)所發(fā)揮的橋梁作用來(lái)反映事物之間的內(nèi)在聯(lián)系；通過(guò)三角恒等式的證明來(lái)反映事物外在形式可以相互轉(zhuǎn)化而內(nèi)在實(shí)質(zhì)的不變性.教學(xué)重點(diǎn)：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換.教學(xué)難點(diǎn)：1.利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)的轉(zhuǎn)化方向；2.三角恒等式證明中結(jié)論與條件之間的內(nèi)在聯(lián)系的尋求.教學(xué)過(guò)程：.復(fù)習(xí)回顧前面兩節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理的內(nèi)容，并且接觸了利用正、余弦定理解三角形的有關(guān)題型.下面，我們先來(lái)回顧一下正、余弦定理的內(nèi)容.正弦定理、余弦定理實(shí)質(zhì)上反映了三角形內(nèi)的邊角關(guān)系，運(yùn)用定理可以進(jìn)行邊與角之間的轉(zhuǎn)換，這一節(jié)，我們將通過(guò)例題分析來(lái)學(xué)習(xí)正、余弦定理的邊角轉(zhuǎn)換功能在證明三角恒等式及判斷三角形形狀時(shí)的應(yīng)用.講授新課例1已知ABC，BD為B的平分線，求證：ABBCADDC分析：前面大家所接觸的解三角形問(wèn)題是在一個(gè)三角形內(nèi)研究問(wèn)題，而B(niǎo)的平分線BD將ABC分成了兩個(gè)三角形：ABD與CBD，故要證結(jié)論成立，可證明它的等價(jià)形式：ABADBCDC，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到兩個(gè)三角形內(nèi)，而在三角形內(nèi)邊的比等于所對(duì)角的正弦值的比，故可利用正弦定理將所證繼續(xù)轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)相等角正弦值相等，互補(bǔ)角正弦值也相等即可證明結(jié)論.證明：在ABD內(nèi)，利用正弦定理得：，即在BCD內(nèi)，利用正弦定理得：，即.BD是B的平分線.ABDDBC，sinABDsinDBC.ADBBDC180，sinADBsin（180BDC）sinBDC，評(píng)述：此題可以啟發(fā)學(xué)生利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，并且注意互補(bǔ)角的正弦值相等這一特殊關(guān)系式的應(yīng)用.例2在ABC中，求證：a2sin2Bb2sin2A2absinC分析：此題所證結(jié)論包含關(guān)于ABC的邊角關(guān)系，證明時(shí)可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通過(guò)正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，若是余弦形式則通過(guò)余弦定理；二是把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，一般是通過(guò)正弦定理.另外，此題要求學(xué)生熟悉相關(guān)的三角函數(shù)的有關(guān)公式，如sin2B2sinBcosB等，以便在化為角的關(guān)系時(shí)進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形.證明一：（化為三角函數(shù)）a2sin2Bb2sin2A（2RsinA）22sinBcosB（2RsinB）22sinAcosA8R2sinAsinB（sinAcosBcosAsinB）8R2sinAsinBsinC22RsinA2RsinBsinC2absinC所以原式得證.證明二：（化為邊的式子）左邊a22sinBcosBb22sinAcosAa2b2（a2c2b2b2c2a2）2c22ab2absinC 評(píng)述：由邊向角轉(zhuǎn)化，通常利用正弦定理的變形式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式后，要注意三角函數(shù)公式的運(yùn)用，在此題用到了正弦二倍角公式sin2A2sinAcosA，正弦兩角和公式sin（AB）sinAcosBcosAsinB；由角向邊轉(zhuǎn)化，要結(jié)合正弦定理變形式以及余弦定理形式二.三角形的有關(guān)證明問(wèn)題，主要圍繞三角形的邊和角的三角函數(shù)展開(kāi)，從某種意義上來(lái)看，這類問(wèn)題就是有了目標(biāo)的含邊和角的式子的化簡(jiǎn)問(wèn)題.例3已知A、B、C是ABC的三個(gè)內(nèi)角，且滿足（sinAsinB）2sin2C3sinAsinB求證：AB120分析：要證AB120，由于ABC180，只要證明C60，而已知條件為三角函數(shù)關(guān)系，故應(yīng)考慮向三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化，又在0180之間，余弦值所對(duì)應(yīng)角唯一，故可證明cosC，而由余弦定理cosC，所以應(yīng)考慮把已知的角的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.證明：由（sinAsinB）2sin2C3sinAsinB可得sin2Asin2Bsin2CsinAsinB又sinA，sinB，sinC，整理得a2b2c2abcosC又0C180，C60AB180C120評(píng)述：（1）有關(guān)三角形內(nèi)角的證明，選擇余弦值與正弦值相比較，要省去取舍的麻煩.但注意在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)，應(yīng)先確定角的范圍；（2）在將已知條件中角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用了正弦定理的變形式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，這一轉(zhuǎn)化技巧，要求學(xué)生熟練掌握.例4在ABC中，bcosAacosB，試判斷三角形的形狀.分析：三角形形狀的判斷，可以根據(jù)角的關(guān)系，也可根據(jù)邊的關(guān)系，所以在已知條件的運(yùn)用上，可以考慮兩種途徑：將邊轉(zhuǎn)化為角，將角轉(zhuǎn)化為邊，下面，我們從這兩個(gè)角度進(jìn)行分析.解法一：利用余弦定理將角化為邊.bcosAacosBbab2c2a2a2c2b2a2b2 ab故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角.bcosAacosB又b2RsinB，a2RsinA2RsinBcosA2RsinAcosBsinAcosBcosAsinB0sin（AB）00A，B，ABAB0，即AB故此三角形是等腰三角形.評(píng)述：（1）在判定三角形形狀時(shí)，一般考慮兩個(gè)方向進(jìn)行變形，一個(gè)方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正、余弦定理結(jié)合使用；另一個(gè)方向是角，走三角變形之路.通常是運(yùn)用正弦定理.要求學(xué)生要注重邊角轉(zhuǎn)化的橋梁正、余弦定理；（2）解法二中用到了三角函數(shù)中兩角差的正弦公式，但應(yīng)注意在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)，一定要先確定角的范圍.另外，也可運(yùn)用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，在等式sinBcosAsinAcosB兩端同除以sinAsinB得cotAcotB，再由0A，B，而得AB.為鞏固本節(jié)所學(xué)的解題方法，下面我們進(jìn)行課堂練習(xí).課堂練習(xí)1.在ABC中，證明下列各式：（1）（a2b2c2）tanA（a2b2c2）tanB0（2）.證明：（1）左邊（a2b2c2）（a2b2c2）（a2b2c2）（a2b2c2）（11）0右邊故原命題得證.（2）左邊（）右邊故原命題得證.評(píng)述：（1）在（1）題證明時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是切化弦的思路，二是結(jié)合正、余弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；（2）（2）題證明過(guò)程中用到了余弦二倍角的公式，而此公式有三種形式cos2Acos2Asin2A2cos2A112sin2A，由于考慮到等式右端為邊的關(guān)系，故選用第三種形式，在轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系時(shí)較為簡(jiǎn)便.2.在ABC中，已知sinBsinCcos2，試判斷此三角形的類型.解：sinBsinCcos2，sinBsinC2sinBsinC1cos180（BC）將cos（BC）cosBcosCsinBsinC代入上式得cosBcosCsinBsinC1cos（BC）1又0B，C，BCBC0，BC故此三角形是等腰三角形.評(píng)述：（1）此題在證明過(guò)程中，要用到余弦二倍角公式cosA2cos21的逆用，要求學(xué)生注意；（2）由于已知條件就是三角函數(shù)關(guān)系式，故無(wú)需向邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化，而是進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形.課時(shí)小結(jié)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，我們熟悉了正、余弦定理在進(jìn)行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)換時(shí)的橋梁作用，并利用正、余弦定理對(duì)三角恒等式進(jìn)行證明以及對(duì)三角形形狀進(jìn)行判斷.其中，要求大家重點(diǎn)體會(huì)正、余弦定理的邊角轉(zhuǎn)換功能.課后作業(yè)補(bǔ)充作業(yè)：1.在ABC中，已知，求證：2b2a2c2.證明：由已知得sin（BC）sin（BC）sin（AB）sin（AB）cos2Bcos2Ccos2Acos2B2cos2Bcos2Acos2C22sin2Bsin2Asin2C由正弦定理可得2b2a2c2.2.在ABC中，A30，cosB2sinBsinC.（1）求證：ABC為等腰三角形；（提示BC75）（2）設(shè)D為ABC外接圓的直徑BE與AC的交點(diǎn)，且AB2，求ADDC的值.答案：（1）略 （2）1