2003年高考理科數(shù)學真題及答案[全國卷I]

2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷）數(shù) 學（理工農醫(yī)類）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。第卷1至2頁，第卷3至10頁?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。第卷（選擇題共60分）一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的1已知，0），則 （ ） （A） （B） （C） （D）2圓錐曲線的準線方程是 （ ） （A） （B） （C） （D）3設函數(shù) ，若，則的取值范圍是 （ ） （A）（，1） （B）（，） （C）（，）（0，） （D）（，）（1，）4函數(shù)的最大值為 （ ） （A） （B） （C） （D）25已知圓C：（）及直線：，當直線被C截得的弦長為時，則 （ ） （A） （B） （C） （D）6已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的所有內接圓柱中，全面積的最大值是（ ） （A） （B） （C） （D）7已知方程的四個根組成一個首項為的的等差數(shù)列，則 （ ） （A）1 （B） （C） （D）8已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F（，0），直線與其相交于M、N兩點，MN中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是 （ ） （A） （B） （C） （D）9函數(shù)，的反函數(shù) （ ） （A） ，1 （B） ，1 （C） ，1 （D） ，110已知長方形的四個頂點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質點從AB的中點沿與AB的夾角的方向射到BC上的點后，依次反射到CD、DA和AB上的點、和（入射角等于反射角），設的坐標為（，0），若，則tg的取值范圍是 （ ） （A）（，1） （B）（，） （C）（，） （D）（，）11 （ ） （A）3 （B） （C） （D）612一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則些球的表面積為（ ） （A） （B） （C） （D）二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。13的展開式中系數(shù)是 14使成立的的取值范圍是 2153415如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種。（以數(shù)字作答）PMNlPNMlNlPMlMNPNlPM16下列5個正方體圖形中，是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出面MNP的圖形的序號是 （寫出所有符合要求的圖形序號） 三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或或演算步驟17（本小題滿分12分） 已知復數(shù)的輻角為，且是和的等比中項，求18（本小題滿分12分） 如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，側棱，D、E分別是與的中點，點E在平面ABD上的射影是ABD的重心G（I） 求與平面ABD所成角的大小（結果用反三角函數(shù)值表示）DEKBC1A1B1AFCG（II） 求點到平面AED的距離19（本小題滿分12分） 已知，設 P：函數(shù)在R上單調遞減 Q：不等式的解集為R如果P和Q有且僅有一個正確，求的取值范圍20（本小題滿分12分）O北東Oy線岸OxOr(t)P海 在某海濱城市附近海面有一臺風，據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于城市O（如圖）的東偏南）方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北方向移動，臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？21（本小題滿分14分）OPAGDFECBxy 已知常數(shù)，在矩形ABCD中，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且，P為GE與OF的交點（如圖），問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由。22（本小題滿分12分，附加題4 分） （I）設是集合 且中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即， 將數(shù)列各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：35 69 10 12 寫出這個三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)；求（II）（本小題為附加題，如果解答正確，加4 分，但全卷總分不超過150分） 設是集合，且中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，已知，求.2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù) 學(理工農醫(yī)類)答案一、選擇題1D 2C 3D 4A 5C 6B 7C 8D 9D 10C 11B 12A二、填空題13 14（-1，0） 1572 16三、解答題：17 解：設，則復數(shù)由題設18（）解：連結BG，則BG是BE在ABD的射影，即EBG是A1B與平面ABD所成的角.設F為AB中點，連結EF、FC，（）解：19解：函數(shù)在R上單調遞減不等式20解：如圖建立坐標系以O為原點，正東方向為x軸正向.在時刻：（1）臺風中心P（）的坐標為此時臺風侵襲的區(qū)域是其中若在t時刻城市O受到臺風的侵襲，則有即答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲.21根據(jù)題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在的兩定點，使得點P到兩點距離的和為定值.按題意有A（2，0），B（2，0），C（2，4a），D（2，4a）設由此有E（2，4ak），F(xiàn)（24k，4a），G（2，4a4ak）直線OF的方程為：直線GE的方程為：從，消去參數(shù)k，得點P（x,y）坐標滿足方程整理得 當時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點. 當時，點P軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長。當時，點P到橢圓兩個焦點（的距離之和為定值。當時，點P 到橢圓兩個焦點（0， 的距離之和為定值2.22（本小題滿分12分，附加題4分） （）解：（i）第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48 （i i）解：設，只須確定正整數(shù) 數(shù)列中小于的項構成的子集為 其元素個數(shù)為滿足等式的最大整數(shù)為14，所以取因為100（）解：令 因 現(xiàn)在求M的元素個數(shù)：其元素個數(shù)為： 某元素個數(shù)為某元素個數(shù)為