第2講　概率 隨機(jī)變量及其分布列

二 輪 數(shù) 學(xué)第 2講 概 率 、 隨 機(jī) 變 量 及 其 分 布 列 二 輪 數(shù) 學(xué) 考 向 分 析核 心 整 合熱 點(diǎn) 精 講閱 卷 評(píng) 析 二 輪 數(shù) 學(xué) 考 向 分 析考 情 縱 覽 年 份考 點(diǎn) 2011 2012 2013 2014 2015 古 典 概 型 與 幾 何概 型 4 14 5互 斥 事 件 、 相 互 獨(dú) 立 事 件 和 獨(dú) 立重 復(fù) 試 驗(yàn) 15 19(1) 4 18(2)條 件 概 率 19(1) 5離 散 型 隨 機(jī) 變 量的 分 布 列 、 均 值 、方 差 19(2) 18 19(2) 19(3) 18 二 輪 數(shù) 學(xué)真 題 導(dǎo) 航 D 二 輪 數(shù) 學(xué)2.(2015新 課 標(biāo) 全 國(guó) 卷 ,理 4)投 籃 測(cè) 試 中 ,每 人 投 3次 ,至 少 投 中 2次 才 能通 過 測(cè) 試 .已 知 某 同 學(xué) 每 次 投 籃 投 中 的 概 率 為 0.6,且 各 次 投 籃 是 否 投 中 相互 獨(dú) 立 ,則 該 同 學(xué) 通 過 測(cè) 試 的 概 率 為 ( )(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312A 二 輪 數(shù) 學(xué) A 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué)備 考 指 要1.怎 么 考(1)幾 何 概 型 很 少 考 查 ;古 典 概 型 可 以 單 獨(dú) 考 查 也 可 以 與 計(jì) 數(shù) 原 理 、 統(tǒng) 計(jì) 等知 識(shí) 交 匯 考 查 .(2)條 件 概 率 ,正 態(tài) 分 布 ,互 斥 、 對(duì) 立 事 件 的 概 率 ,相 互 獨(dú) 立 事 件 的 概 率 以 及獨(dú) 立 重 復(fù) 試 驗(yàn) .可 能 出 現(xiàn) 在 客 觀 題 中 單 獨(dú) 考 查 ,也 可 能 在 解 答 題 中 與 其 他 知識(shí) 、 綜 合 考 查 ,難 度 不 大 .(3)以 實(shí) 際 問 題 為 背 景 ,多 與 統(tǒng) 計(jì) 結(jié) 合 考 查 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 列 、 均 值 、方 差 ;多 以 解 答 題 形 式 呈 現(xiàn) .2.怎 么 辦 注 重 基 礎(chǔ) 知 識(shí) 、 基 本 思 想 、 基 本 能 力 的 復(fù) 習(xí) 是 關(guān) 鍵 ,是 解 決 綜 合 性 題 目 的基 礎(chǔ) .在 復(fù) 習(xí) 的 過 程 中 一 定 要 注 重 思 想 方 法 的 應(yīng) 用 和 能 力 的 培 養(yǎng) ,注 重 閱 讀能 力 以 及 從 題 目 中 提 取 信 息 的 能 力 的 培 養(yǎng) . 二 輪 數(shù) 學(xué) 核 心 整 合1.隨 機(jī) 事 件 的 概 率(1)隨 機(jī) 事 件 的 概 率 范 圍 :0 P(A) 1;必 然 事 件 的 概 率 為 1;不 可 能 事 件的 概 率 為 0. 二 輪 數(shù) 學(xué)2.互 斥 事 件 與 對(duì) 立 事 件(1)對(duì) 立 事 件 是 互 斥 事 件 ,互 斥 事 件 未 必 是 對(duì) 立 事 件 ; 4.相 互 獨(dú) 立 事 件 同 時(shí) 發(fā) 生 的 概 率 :若 A,B為 相 互 獨(dú) 立 事 件 ,則P(AB)=P(A)P(B). 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué) a.曲 線 位 于 x軸 ,與 x軸 不 相 交 ;b.曲 線 是 單 峰 的 ,它 關(guān) 于 直 線 對(duì) 稱 ;上 方 x= 二 輪 數(shù) 學(xué) 1 越 小 越 大 二 輪 數(shù) 學(xué)(2)正 態(tài) 分 布 的 三 個(gè) 常 用 數(shù) 據(jù)P( - X + )= ;P( -2 X +2 )= ;P( -3 X +3 )= .0.68260.95440.9974 二 輪 數(shù) 學(xué)溫 馨 提 示 (1)事 件 互 斥 與 事 件 相 互 獨(dú) 立 的 區(qū) 別事 件 互 斥 是 指 在 一 次 試 驗(yàn) 中 ,兩 個(gè) 事 件 或 多 個(gè) 事 件 不 可 能 同 時(shí) 發(fā) 生 ,而 事件 的 相 互 獨(dú) 立 不 要 求 事 件 是 在 一 次 試 驗(yàn) 中 ,只 要 它 們 互 不 影 響 就 可 以 稱為 相 互 獨(dú) 立 .(2)獨(dú) 立 重 復(fù) 試 驗(yàn) 的 條 件 .滿 足 獨(dú) 立 重 復(fù) 試 驗(yàn) 的 條 件 有 兩 個(gè) ,一 是 每 一 次 試 驗(yàn) 的 結(jié) 果 只 有 兩 個(gè) ,二 是在 相 同 條 件 下 ,試 驗(yàn) 可 以 重 復(fù) .(3)正 態(tài) 分 布 的 計(jì) 算 主 要 是 通 過 3 原 則 以 及 正 態(tài) 曲 線 的 性 質(zhì) :曲 線 關(guān) 于x= 對(duì) 稱 進(jìn) 行 計(jì) 算 . 二 輪 數(shù) 學(xué) 熱 點(diǎn) 精 講熱 點(diǎn) 一 古 典 概 型 與 幾 何 概 型 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué)方 法 技 巧 (1) 有 關(guān) 古 典 概 型 的 概 率 問 題 ,關(guān) 鍵 是 正 確 求 出 基 本 事 件 總 數(shù)和 所 求 事 件 包 含 的 基 本 事 件 總 數(shù) ,此 類 問 題 經(jīng) 常 用 到 排 列 、 組 合 的 有 關(guān) 知識(shí) ; 對(duì) 于 較 復(fù) 雜 的 題 目 要 注 意 正 確 分 類 ,分 類 時(shí) 應(yīng) 不 重 不 漏 .(2) 當(dāng) 試 驗(yàn) 的 結(jié) 果 構(gòu) 成 的 區(qū) 域 為 長(zhǎng) 度 、 面 積 、 體 積 、 弧 長(zhǎng) 、 夾 角 等 時(shí) ,應(yīng)考 慮 使 用 幾 何 概 型 求 解 ; 利 用 幾 何 概 型 求 概 率 時(shí) ,關(guān) 鍵 是 試 驗(yàn) 的 全 部 結(jié) 果構(gòu) 成 的 區(qū) 域 和 事 件 發(fā) 生 的 區(qū) 域 的 確 定 ,有 時(shí) 需 要 設(shè) 出 變 量 ,在 坐 標(biāo) 系 中 表 示所 需 要 的 區(qū) 域 . 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué)熱 點(diǎn) 二 相 互 獨(dú) 立 事 件 和 獨(dú) 立 重 復(fù) 試 驗(yàn) 二 輪 數(shù) 學(xué)(2)求 兩 人 各 射 擊 4次 ,甲 恰 好 擊 中 目 標(biāo) 2次 且 乙 恰 好 擊 中 目 標(biāo) 3次 的 概 率 ; 二 輪 數(shù) 學(xué)(3)假 設(shè) 每 人 連 續(xù) 2次 未 擊 中 目 標(biāo) ,則 終 止 其 射 擊 .問 :乙 恰 好 射 擊 5次 后 ,被終 止 射 擊 的 概 率 是 多 少 ? 二 輪 數(shù) 學(xué)方 法 技 巧 求 相 互 獨(dú) 立 事 件 和 獨(dú) 立 重 復(fù) 試 驗(yàn) 的 概 率 的 注 意 點(diǎn) :(1)求 復(fù) 雜 事 件 的 概 率 ,要 正 確 分 析 復(fù) 雜 事 件 的 構(gòu) 成 ,看 復(fù) 雜 事 件 能 轉(zhuǎn) 化 為幾 個(gè) 彼 此 互 斥 的 事 件 的 和 事 件 還 是 能 轉(zhuǎn) 化 為 幾 個(gè) 相 互 獨(dú) 立 事 件 同 時(shí) 發(fā) 生的 積 事 件 ,然 后 用 相 應(yīng) 概 率 公 式 求 解 .(2)一 個(gè) 復(fù) 雜 事 件 若 正 面 情 況 比 較 多 ,反 面 情 況 比 較 少 ,則 一 般 利 用 對(duì) 立 事件 概 率 公 式 進(jìn) 行 求 解 .對(duì) 于 “ 至 少 ” “ 至 多 ” 等 問 題 經(jīng) 常 也 用 這 種 方 法 求解 .(3)注 意 辨 別 獨(dú) 立 重 復(fù) 試 驗(yàn) 的 基 本 特 征 : 在 每 次 試 驗(yàn) 中 ,試 驗(yàn) 結(jié) 果 只 有 發(fā)生 與 不 發(fā) 生 兩 種 情 況 ; 在 每 次 試 驗(yàn) 中 ,事 件 發(fā) 生 的 概 率 相 同 . 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué)(2)求 該 選 手 至 多 進(jìn) 入 第 三 輪 考 核 的 概 率 . 二 輪 數(shù) 學(xué)熱 點(diǎn) 三 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 列 、 均 值 、 方 差 二 輪 數(shù) 學(xué)(2)記 X為 甲 、 乙 、 丙 三 名 同 學(xué) 中 參 加 B高 校 自 主 招 生 考 試 的 人 數(shù) ,求 X的分 布 列 及 數(shù) 學(xué) 期 望 . 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué)方 法 技 巧 (1)求 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 列 的 關(guān) 鍵 是 正 確 理 解 隨 機(jī) 變 量取 每 一 個(gè) 值 所 表 示 的 具 體 事 件 ,然 后 綜 合 應(yīng) 用 各 類 求 概 率 的 公 式 求 出 概 率 .(2)求 隨 機(jī) 變 量 的 期 望 的 關(guān) 鍵 是 正 確 求 出 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 列 ,若 隨 機(jī) 變 量 服從 二 項(xiàng) 分 布 ,則 可 直 接 使 用 公 式 求 解 .(3)對(duì) 于 兩 點(diǎn) 分 布 、 二 項(xiàng) 分 布 、 超 幾 何 分 布 的 期 望 、 方 差 可 直 接 代 入 相 關(guān)公 式 求 解 ;對(duì) 于 一 般 類 型 的 隨 機(jī) 事 件 的 期 望 與 方 差 需 列 出 概 率 分 布 列 ,用 期望 、 方 差 公 式 求 解 . 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué)(2)求 這 50名 考 生 成 績(jī) 在 22,30內(nèi) 的 人 數(shù) ;解 ： (2)由 題 頻 率 分 布 直 方 圖 知 ,后 兩 組 頻 率 為 (0.03+0.02) 4=0.2,人 數(shù) 為 0.2 50=10,即 該 校 這 50名 考 生 聽 力 成 績(jī) 在 22,30內(nèi) 的 人 數(shù) 為10. 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué)備 選 例 題【 例 1】 (2015山 東 卷 )若 n是 一 個(gè) 三 位 正 整 數(shù) ,且 n的 個(gè) 位 數(shù) 字 大 于 十 位 數(shù) 字 ,十 位 數(shù) 字 大 于 百 位 數(shù) 字 ,則 稱 n為 “ 三 位 遞 增 數(shù) ” (如 137,359,567等 ).在 某 次 數(shù) 學(xué) 趣 味 活 動(dòng) 中 ,每 位 參 加 者 需 從 所 有 的 “ 三 位 遞 增 數(shù) ” 中 隨 機(jī) 抽 取1個(gè) 數(shù) ,且 只 能 抽 取 一 次 .得 分 規(guī) 則 如 下 :若 抽 取 的 “ 三 位 遞 增 數(shù) ” 的 三 個(gè) 數(shù)字 之 積 不 能 被 5整 除 ,參 加 者 得 0分 ;若 能 被 5整 除 ,但 不 能 被 10整 除 ,得 -1分 ;若 能 被 10整 除 ,得 1分 .(1)寫 出 所 有 個(gè) 位 數(shù) 字 是 5的 “ 三 位 遞 增 數(shù) ” ; 二 輪 數(shù) 學(xué)(2)若 甲 參 加 活 動(dòng) ,求 甲 得 分 X的 分 布 列 和 數(shù) 學(xué) 期 望 E(X). 二 輪 數(shù) 學(xué) 解 : (1)根 據(jù) 投 籃 統(tǒng) 計(jì) 數(shù) 據(jù) ,在 10場(chǎng) 比 賽 中 ,李 明 投 籃 命 中 率 超 過 0.6的 場(chǎng) 次有 5場(chǎng) ,分 別 是 主 場(chǎng) 2,主 場(chǎng) 3,主 場(chǎng) 5,客 場(chǎng) 2,客 場(chǎng) 4.所 以 在 隨 機(jī) 選 擇 的 一 場(chǎng) 比 賽 中 ,李 明 的 投 籃 命 中 率 超 過 0.6的 概 率 是 0.5. 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué) 閱 卷 評(píng) 析 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué)【 答 題 啟 示 】1.要 理 解 正 態(tài) 分 布 中 的 兩 個(gè) 重 要 參 數(shù) , 的 含 義 ,根 據(jù) 具 體 題 目 能 確 定 它們 的 值 ,確 定 三 個(gè) 區(qū) 間 (范 圍 ):( - , + ,( -2 , +2 ,( -3 , +3 與 已 知 概 率 值 的 關(guān) 系 ,充 分 利 用 密 度 曲 線 的 對(duì) 稱 性 解 決 問 題 .2.熟 悉 常 見 特 殊 分 布 列 ,記 憶 它 們 的 期 望 與 方 差 ,簡(jiǎn) 化 解 題 過 程 如 本 題 (2)問 題 中 . 二 輪 數(shù) 學(xué)點(diǎn) 擊 進(jìn) 入 專 題 組 合 練