四川省瀘州市2024屆高三教學(xué)情況調(diào)研 數(shù)學(xué)試題【含答案】

2024四川高考瀘州高三教學(xué)情況調(diào)研數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1某籃球興趣小組7名學(xué)生參加投籃比賽，每人投10個(gè)，投中的個(gè)數(shù)分別為8，5，7，5，8，6，8，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（    ）A5，7B6，7C8，5D8，72已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）ABCD3若，則（ ）ABCD4一般來說，輸出信號(hào)功率用高斯函數(shù)來描述，定義為，其中為輸出信號(hào)功率最大值（單位：），為頻率（單位：），為輸出信號(hào)功率的數(shù)學(xué)期望，為輸出信號(hào)的方差，帶寬是光通信中一個(gè)常用的指標(biāo)，是指當(dāng)輸出信號(hào)功率下降至最大值一半時(shí)，信號(hào)的頻率范圍，即對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的寬度?，F(xiàn)已知輸出信號(hào)功率為（如圖所示），則其帶寬為（   ）ABCD5“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱”的（    ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件6已知是兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（    ）A30°B60°C90°D120°7已知某六名同學(xué)在CMO競(jìng)賽中獲得前六名（無并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學(xué)獲得的名次情況可能有（    ）A72種B96種C144種D288種8已知數(shù)列滿足，對(duì)任意都有，且對(duì)任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）ABCD二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9下列說法正確的是（    ）A已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則B設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C已知一組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，則它的第70百分位數(shù)為7D若事件滿足，則事件相互獨(dú)立10已知 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，下列結(jié)論正確的是（    ）AB若 ，則 有兩解C當(dāng)時(shí)， 為直角三角形D若 為銳角三角形，則 的取值范圍是11正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，的中點(diǎn)，則（    ）A直線與直線AF垂直B直線與平面AEF平行C平面AEF截正方體所得的截面面積為D點(diǎn)與點(diǎn)D到平面AEF的距離相等三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知集合，若集合恰有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .13已知圓與圓相切，則 .14已知，是雙曲線C：的左右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線左支交于點(diǎn)A，與右支交于點(diǎn)B，與內(nèi)切圓的圓心分別為，半徑分別為，若，則雙曲線離心率為 的取值范圍為 四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15已知函數(shù).(1)若的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值;(2)討論的單調(diào)性與極值.16如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值.17某地區(qū)為了解居民體育鍛煉達(dá)標(biāo)情況與性別之間的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了600位居民，得到如下數(shù)據(jù)：不達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)合計(jì)男300女100300合計(jì)450600(1)完成列聯(lián)表.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)聯(lián)？(2)若體育鍛煉達(dá)標(biāo)的居民體能測(cè)試合格的概率為，體育鍛煉未達(dá)標(biāo)的居民體能測(cè)試合格的概率為.用上表中居民體育達(dá)標(biāo)的頻率估計(jì)該地區(qū)居民體育達(dá)標(biāo)的概率，從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取3人參加體能測(cè)試，求3人中合格的人數(shù)的分布列及期望.（對(duì)應(yīng)值見下表.，）0.10.050.012.7063.8416.63518設(shè)等差數(shù)列的公差為，且令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求19已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓左右焦點(diǎn)分別為，短軸長(zhǎng)為，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8(1)求的方程；(2)若直線l與交于A，B兩點(diǎn)，且，求|AB|的最小值；(3)已知點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在定圓O：x2y2r2（r0），使得當(dāng)過點(diǎn)P能作圓O的兩條切線PM，PN時(shí)（其中M，N分別是兩切線與C的另一交點(diǎn)），總滿足|PM|PN|?若存在，求出圓O的半徑r：若不存在，請(qǐng)說明理由1D【分析】先將數(shù)據(jù)從小到大排列，結(jié)合數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)的概念，即可求解.【詳解】數(shù)據(jù)由小到大排列為5，5，6，7，8，8，8，因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8，中位數(shù)為7故選：D2B【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)題意，列出方程求得，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)的虛部，得到答案.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)?，可得，可得，解得，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：B.3B【分析】根據(jù)兩角差的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)求得答案.【詳解】由，得，.故選：B.4D【分析】根據(jù)給定信息，列出方程并求解即可作答.【詳解】依題意，由，得，即，則有，解得，所以帶寬為.故選：D5A【分析】若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱性可得，再根據(jù)充分、必要條件結(jié)合包含關(guān)系分析求解.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，解得，因?yàn)槭堑恼孀蛹浴啊笔恰昂瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱”的充分不必要條件.故選：A.6B【分析】由條件結(jié)合投影向量的定義可求，再根據(jù)向量夾角余弦公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛椋莾蓚€(gè)單位向量，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，又，所以向量與向量的夾角為，即.故選：B.7C【分析】根據(jù)題意分別求出甲是第一，乙是第一的可能情況，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】由題意，丙可能是4，5，6名，有3種情況，若甲是第一名，則獲得的名次情況可能是種，若乙是第一名，則獲得的名次情況可能是種，所以所有符合條件的可能是種.故選：C.8C【分析】由題意可得數(shù)列在上是遞減數(shù)列，數(shù)列在上是遞增數(shù)列，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意都有，所以數(shù)列在上是遞減數(shù)列，因?yàn)閷?duì)任意都有，所以數(shù)列在上是遞增數(shù)列，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.9AD【分析】根據(jù)根據(jù)二項(xiàng)分布知識(shí)可判斷A，根據(jù)正態(tài)分布知識(shí)可判斷B，根據(jù)百分位數(shù)可判斷C，根據(jù)條件概率知識(shí)可判斷D.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，故A正確；因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，則對(duì)稱軸為，故B錯(cuò)誤；這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以事件相互?dú)立.故選：AD.10ACD【分析】通過正弦定理、誘導(dǎo)公式、二倍角公式及輔助角公式即可判斷A；通過余弦定理即可判斷B；通過余弦定理及可得或，即可判斷C；通過求的取值范圍，并將即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋杂杉罢叶ɡ淼?，由誘導(dǎo)公式得，因?yàn)?，故，所以，化解得，即，所以或，即（舍）或，故A正確；對(duì)于B，由余弦定理得，即，得，由，所以(負(fù)值舍)，即有一解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋瑑蛇吰椒降?，由余弦定理得，由兩式消得，解得或，由解得，由解?故為直角三角形，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以，即，所以，所以，故D正確.故選：ACD.11BCD【分析】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，建立以為原點(diǎn)，以、所在的直線為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可判斷A，根據(jù)線線平行即可判斷B,根據(jù)梯形面積即可判斷C,根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系即可判斷D.【詳解】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，建立以為原點(diǎn)，以、所在的直線為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：、分別為、的中點(diǎn)，則， ， 對(duì)于A,， ，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：連接,，,四點(diǎn)共面，由于,所以四邊形 為平行四邊形，故，又平面，平面，平面，故B正確，對(duì)于C，連接，四邊形為平面截正方體所得的截面，四邊形為等腰梯形，高為，則四邊形的面積為，故C正確；對(duì)于D,連接交于點(diǎn)，故是的中點(diǎn)，且是線段與平面的交點(diǎn)，因此點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等，故D正確故選：BCD12【分析】解二次不等式化簡(jiǎn)集合，再利用二次不等式解的形式與交集的結(jié)果即可得解.【詳解】因?yàn)?，又集合恰有兩個(gè)元素，所以恰有兩個(gè)元素1和2，所以.故答案為：.131或3#3或1【分析】由已知可得兩個(gè)圓的圓心和半徑，求出圓心距，分兩圓內(nèi)切和外切兩種情況討論，求出的值即可【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，其圓心距若兩圓內(nèi)切，則有，即，可得或（舍）；若兩圓外切，則有，即，解可得故答案為：1或314 2 【分析】設(shè)內(nèi)切圓分別與三邊相切于，可求得的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a，同理可得的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為，進(jìn)而由，可得，求解可得雙曲線的離心率；由已知可得，利用三角恒等變換可求的取值范圍.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓分別與三邊相切于，由切線長(zhǎng)定理可得所以，所以，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a，同理可得，的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為，又，則，即，解得 由已知可得由，所以，因?yàn)?，所以，所以一條漸近線的傾斜角為，所以，所以，所以.故答案：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線中三角形內(nèi)切圓和離心率相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠利用三角形內(nèi)切圓的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，求得之間的等量關(guān)系從而求得結(jié)果.15(1)(2)答案見解析.【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)直線垂直可得，即可求解，（2）求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得函數(shù)的單調(diào)性和極值.【詳解】（1）由題得，的定義域?yàn)?        的圖象在點(diǎn)處的切線與直線l:垂直，        解得.（2）由（1）知.當(dāng)時(shí)，恒成立.在上為減函數(shù)，此時(shí)無極值;            當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，        在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，無極大值.        綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，無極值;當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.的極小值為，無極大值.16(1)證明見詳解(2)【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的判定定理證明；（2）由已知可知，為等邊三角形，故，利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得底面，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角余弦值.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)閭?cè)面是平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槊?，面，所以?（2）連接，因?yàn)?，所以為等邊三角形，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)閭?cè)面底面，平面平面，平面，所以底面，過點(diǎn)在底面內(nèi)作，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分布以，的方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為，又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，則，經(jīng)觀察，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.17(1)列聯(lián)表見解析，能(2)分布列見解析，【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，計(jì)算，與臨界值比較得結(jié)論；（2）根據(jù)題意，結(jié)合條件概率以及全概率公式求出隨機(jī)抽取一人體能測(cè)試合格的概率，利用二項(xiàng)分布求出對(duì)應(yīng)概率以及分布列及期望.【詳解】（1）列聯(lián)表如下表不達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)合計(jì)男50250300女100200300合計(jì)150450600零假設(shè)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別獨(dú)立，即體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別無關(guān).根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01.（2）方法一：設(shè)事件“隨機(jī)抽取一人體育鍛煉達(dá)標(biāo)”，事件“隨機(jī)抽取一人體能測(cè)試合格”，則，.所以；的可能取值為：0，1，2，3，所以的分布列為X0123P所以.方法二：設(shè)事件“隨機(jī)抽取一人體育鍛煉達(dá)標(biāo)”，事件“隨機(jī)抽取一人體能測(cè)試合格”，則，.所以.因?yàn)?所以，.所以.18(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，分類討論即可得解.【詳解】（1），解得，又，即，解得或（舍去），.（2）為等差數(shù)列，即，即，解得或，又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，即，即，解得或（舍去）當(dāng)時(shí)，解得，與矛盾，無解；當(dāng)時(shí)，解得.綜上，.19(1)(2)(3)存在，【分析】（1）由已知可得，求解即可；（2）分直線斜率是否存在兩種情況討論，若直線斜率存在，設(shè)方程為設(shè)，聯(lián)立方程組可得，由可得，進(jìn)而可得弦長(zhǎng)，利用換元法可求最小值；（3）r為點(diǎn)O到直線PM的距離，結(jié)合（2）的結(jié)論，可求.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由雙曲線定義可得，故，又所以，所以的方程為（2）若直線斜率不存在，則設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以所以若直線斜率存在，設(shè)方程為設(shè)，聯(lián)立，消去y整理得，則由韋達(dá)定理，得，于是，即故令，則，所以因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，綜上，的最小值為（3）如圖所示，設(shè)PM、PN與圓O的切點(diǎn)分別為E、F，則又，則所以，所以取MN中點(diǎn)Q，若O和Q不重合，則所以又因?yàn)镸、N在橢圓上，則，所以，所以，所以，又，所以矛盾所以O(shè)和Q重合，即M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱所以設(shè)直線的方程為，則r為點(diǎn)O到直線PM的距離，所以由（2）可知，故，即又當(dāng)MN斜率不存在時(shí)，也成立綜上，所以存在存在定圓滿足條件，此時(shí).【點(diǎn)睛】解析幾何承載著考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的功能，“多想少算”絕非“空想不算”用代數(shù)方法研究幾何問題是解析幾何的核心，適度地挖掘幾何性質(zhì)可減少一定的計(jì)算