高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題7 解析幾何 第28練 橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型 文-人教版高三數(shù)學試題

第28練橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型題型分析·高考展望橢圓問題在高考中占有比較重要的地位，并且占的分值也較多分析歷年的高考試題，在選擇題、填空題、解答題中都有涉及到橢圓的題，所以我們對橢圓知識必須系統(tǒng)的掌握對各種題型，基本的解題方法也要有一定的了解體驗高考1(2015·廣東)已知橢圓1(m>0)的左焦點為F1(4,0)，則m等于()A2 B3 C4 D9答案B解析由題意知25m216，解得m29，又m>0，所以m3.2(2015·福建)已知橢圓E：1(ab0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點若|AF|BF|4，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A.B.C.D.答案A解析設(shè)左焦點為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.設(shè)M(0，b)，則，1b2.離心率e，故選A.3(2016·課標全國丙)已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點P為橢圓C上一點，且PFx軸過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則橢圓C的離心率為()A. B. C. D.答案A解析設(shè)M(c，m)，則E，OE的中點為D，則D，又B，D，M三點共線，所以，a3c，e.4(2015·浙江)已知橢圓y21上兩個不同的點A，B關(guān)于直線ymx對稱(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)求AOB面積的最大值(O為坐標原點)解(1)由題意知m0，可設(shè)直線AB的方程為yxb.由消去y，得x2xb210.因為直線yxb與橢圓y21有兩個不同的交點，所以2b220，將線段AB中點M代入直線方程ymx，解得b，由得m或m.(2)令t，則|AB|·，且O到直線AB的距離為d.設(shè)AOB的面積為S(t)，所以S(t)|AB|·d.當且僅當t2時，等號成立故AOB面積的最大值為.5(2016·北京)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N.求證：|AN|·|BM|為定值(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.橢圓C的方程為y21.(2)證明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)設(shè)橢圓上一點P(x0，y0)，則y1.當x00時，直線PA方程為y(x2)，令x0得yM.從而|BM|1yM|.直線PB方程為yx1，令y0得xN.|AN|2xN|.|AN|·|BM|··4.當x00時，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|·|BM|4.故|AN|·|BM|為定值高考必會題型題型一利用橢圓的幾何性質(zhì)解題例1如圖，焦點在x軸上的橢圓1的離心率e，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個焦點和頂點，P是橢圓上任意一點，求·的最大值和最小值解設(shè)P點坐標為(x0，y0)由題意知a2，e，c1，b2a2c23.所求橢圓方程為1.2x02，y0.又F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，·xx02yxx01(x02)2.當x02時，·取得最小值0，當x02時，·取得最大值4.點評熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)是解決此類問題的根本，利用離心率和橢圓的范圍可以求解范圍問題、最值問題，利用a、b、c之間的關(guān)系和橢圓的對稱性可構(gòu)造方程變式訓練1如圖，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，F(xiàn)1AF260°.(1)求橢圓C的離心率；(2)若AF1B的面積為40，求橢圓C的方程解(1)由題意可知，AF1F2為等邊三角形，a2c，所以e.(2)方法一a24c2，b23c2，直線AB的方程可為y(xc)，將其代入橢圓方程3x24y212c2，得B(c，c)，所以|AB|·|c0|c，由SAF1B|AF1|·|AB|sin F1ABa·a·a240，解得a10，b5，所以橢圓C的方程為1.方法二設(shè)|AB|t，因為|AF2|a，所以|BF2|ta，由橢圓定義|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60°可得，ta，由SAF1B|AF1|·|AB|sin F1ABa·a·a240知，a10，b5，所以橢圓C的方程為1.題型二直線與橢圓相交問題例2(2015·課標全國)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，點(2，)在C上(1)求橢圓C的方程；(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M，證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值(1)解由題意得，1，解得a28，b24.所以橢圓C的方程為1.(2)證明設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMk·xMb.于是直線OM的斜率kOM，即kOM·k.所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值點評解決直線與橢圓相交問題的一般思路：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由判別式范圍或根與系數(shù)的關(guān)系解決求范圍或最值問題，也可考慮求“交點”，由“交點”在橢圓內(nèi)(外)，得出不等式，解不等式變式訓練2橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，且過其右焦點F與長軸垂直的直線被橢圓C截得的弦長為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點P是橢圓C的一個動點，直線l：yx與橢圓C交于A，B兩點，求PAB面積的最大值解(1)橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，e，2ca，即4c23a2，又過橢圓右焦點F與長軸垂直的直線被橢圓C截得的弦長為2，1，1，即b24，又a2b2c2，a2b2c24a2，即a216，橢圓C的方程為1.(2)聯(lián)立直線l：yx與橢圓C的方程，得消去y，整理可得7x212x520，即(7x26)(x2)0，解得x2或x，不妨設(shè)A(2，)，B(，)，則|AB|，設(shè)過P點且與直線l平行的直線L的方程為yxC，L與l的距離就是P點到AB的距離，即PAB的邊AB上的高，只要L與橢圓相切，就有L與邊AB的最大距離，即得最大面積將yxC代入1，消元整理可得：7x28Cx16C2640，令判別式(8C)24×7×(16C264)256C228×640，解得C± ± .L與AB的最大距離為，PAB面積的最大值為××(2)題型三利用“點差法，設(shè)而不求思想”解題例3已知橢圓1(a>b>0)的一個頂點為B(0,4)，離心率e，直線l交橢圓于M，N兩點(1)若直線l的方程為yx4，求弦|MN|的長；(2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式解(1)由已知得b4，且，即，解得a220，橢圓方程為1.則4x25y280與yx4聯(lián)立，消去y得9x240x0，x10，x2，所求弦長|MN|x2x1|.(2)如圖，橢圓右焦點F的坐標為(2,0)，設(shè)線段MN的中點為Q(x0，y0)，由三角形重心的性質(zhì)知2，又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，故得x03，y02，即得Q的坐標為(3，2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x26，y1y24，且1，1，以上兩式相減得0，kMN·×，故直線MN的方程為y2(x3)，即6x5y280.點評當涉及平行弦的中點軌跡，過定點的弦的中點軌跡，過定點且被定點平分的弦所在直線方程時，用“點差法”來求解變式訓練3已知橢圓1(a>b>0)，焦點在直線x2y20上，且離心率為.(1)求橢圓方程；(2)過P(3,1)作直線l與橢圓交于A，B兩點，P為線段AB的中點，求直線l的方程解(1)橢圓1(a>b>0)，焦點在直線x2y20上，令y0，得焦點(2,0)，c2，離心率e，解得a4，b216412，橢圓方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，過P(3,1)作直線l與橢圓交于A，B兩點，P為線段AB的中點，由題意，x1x26，y1y22，0，kl，l的方程為y1(x3)，即9x4y310.高考題型精練1(2016·課標全國乙)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A.B.C.D.答案B解析如圖，由題意得，BFa，OFc，OBb，OD×2bb.在RtOFB中，|OF|×|OB|BF|×|OD|，即cba·b，代入解得a24c2，故橢圓離心率e，故選B.2已知橢圓1，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，點A(1,1)為橢圓內(nèi)一點，點P為橢圓上一點，則|PA|PF1|的最大值是()A6 B62C6D6答案D解析|PA|PF1|PA|2a|PF2|2a|AF2|6，當P，A，F(xiàn)2共線時取最大值，故選D.3已知橢圓1的右焦點為F，P是橢圓上一點，點A(0,2)，當APF的周長最大時，直線AP的方程為()Ayx2Byx2Cyx2Dyx2答案D解析橢圓1中a3，b，c2，由題意，設(shè)F是左焦點，則APF周長|AF|AP|PF|AF|AP|2a|PF|46|PA|PF|10|AF|(A，P，F(xiàn)三點共線，且P在AF的延長線上時，取等號)，直線AP的方程為1，即yx2，故選D.4如果橢圓1的弦被點(4,2)平分，則這條弦所在的直線方程是()Ax2y0Bx2y40C2x3y140Dx2y80答案D解析設(shè)這條弦的兩端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率為k，則兩式相減再變形得k0，又弦中點坐標為(4,2)，故k，故這條弦所在的直線方程為y2(x4)，整理得x2y80，故選D.5設(shè)F1、F2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF1的中點在y軸上，若PF1F230°，則橢圓的離心率為()A.B.C.D.答案A解析線段PF1的中點在y軸上，設(shè)P的橫坐標為x，F(xiàn)1(c,0)，cx0，xc，P與F2的橫坐標相等，PF2x軸，PF1F230°，|PF2|PF1|，|PF2|PF1|2a，|PF2|a，tan PF1F2，e.6過點M(0,1)的直線l交橢圓C：1于A，B兩點，F(xiàn)1為橢圓的左焦點，當ABF1周長最大時，直線l的方程為_答案xy10解析設(shè)右焦點為F2(1,0)，則|AF1|4|AF2|，|BF1|4|BF2|，所以|AF1|BF1|AB|8|AB|(|AF2|BF2|)，顯然|AF2|BF2|AB|，當且僅當A，B，F(xiàn)2共線時等號成立，所以當直線l過點F2時，ABF1的周長取最大值8，此時直線方程為yx1，即xy10.7(2016·江蘇)如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓1(ab0)的右焦點，直線y與橢圓交于B，C兩點，且BFC90°，則該橢圓的離心率是_答案解析聯(lián)立方程組解得B、C兩點坐標為B，C，又F(c,0)，則，又由BFC90°，可得·0，代入坐標可得：c2a20，又因為b2a2c2.代入式可化簡為，則橢圓離心率為e.8(2016·淮北一中高三最后一卷)P為橢圓1上的任意一點，AB為圓C：(x1)2y21的任一條直徑，則·的取值范圍是_答案3,15解析圓心C(1,0)為橢圓的右焦點，·()·()()·()22|21，顯然|ac，ac2,4，所以·|213,159設(shè)橢圓的中心為原點O，焦點在x軸上，上頂點為A(0,2)，離心率為.(1)求該橢圓的標準方程；(2)設(shè)B1(2,0)，B2(2,0)，過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB2QB2，求直線l的方程解(1)設(shè)橢圓的標準方程為1(a>b>0)，1，即，又b24，a220，橢圓的標準方程為1.(2)由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設(shè)直線l的方程為：xmy2.代入橢圓方程得(m25)y24my160，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1y2，y1·y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以·(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2得·0，即16m2640，解得m±2，直線l的方程為x±2y2，即x±2y20.10(2016·課標全國乙)設(shè)圓x2y22x150的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過點B作AC的平行線交AD于點E.(1)證明|EA|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；(2)設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過點B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍解(1)因為|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標準方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.由題設(shè)得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由橢圓定義可得點E的軌跡方程為：1(y0)(2)當l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.則x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.過點B(1,0)且與l垂直的直線m：y(x1)，點A到m的距離為，所以|PQ|24.故四邊形MPNQ的面積S|MN|PQ|12.可得當l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8)當l與x軸垂直時，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，四邊形MPNQ的面積為12.綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8)11(2015·安徽)設(shè)橢圓E的方程為1(a>b>0)，點O為坐標原點，點A的坐標為(a,0)，點B的坐標為(0，b)，點M在線段AB上，滿足|BM|2|MA|，直線OM的斜率為.(1)求橢圓E的離心率e；(2)設(shè)點C的坐標為(0，b)，N為線段AC的中點，證明：MNAB.(1)解由題設(shè)條件知，點M的坐標為，又kOM，從而.進而ab，c2b，故e.(2)證明由N是AC的中點知，點N的坐標為，可得，又(a，b)，從而有·a2b2(5b2a2)由(1)的計算結(jié)果可知a25b2，所以·0，故MNAB.