高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題4 三角函數(shù)與平面向量 第16練 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第16練三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值題型分析·高考展望三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值在高考中頻繁出現(xiàn)，重點(diǎn)考查運(yùn)算求解能力運(yùn)算包括對(duì)數(shù)字的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，對(duì)式子的組合變形與分解變形，屬于比較簡(jiǎn)單的題目，這就要求在解決此類題目時(shí)不能丟分，由于三角函數(shù)部分公式比較多，要熟練記憶、掌握并能靈活運(yùn)用體驗(yàn)高考1(2015·課標(biāo)全國(guó))sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°等于()AB.CD.答案D解析sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°sin 20°cos 10°cos 20°sin 10°sin 30°.2(2015·重慶)若tan 2tan ，則等于()A1 B2C3 D4答案C解析3.3(2016·四川)cos2sin2_.答案解析由題可知，cos2sin2cos.4(2016·課標(biāo)全國(guó)甲)若cos，則sin 2等于()A.B.CD答案D解析因?yàn)閟in 2cos2cos21，又因?yàn)閏os，所以sin 22×1，故選D.5(2016·課標(biāo)全國(guó)丙)若tan ，則cos22sin 2等于()A.B.C1 D.答案A解析tan ，則cos22sin 2.高考必會(huì)題型題型一利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)與求值基本公式：sin2cos21；tan .基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代換，即1sin2cos2；(3)在進(jìn)行開方運(yùn)算時(shí)，注意判斷符號(hào)例1已知tan 2，求：(1)的值；(2)3sin23sin cos2cos2的值解(1)方法一tan 2，cos0，.方法二由tan 2，得sin 2cos ，代入得.(2)3sin23sin cos2cos2.點(diǎn)評(píng)本題(1)(2)兩小題的共同點(diǎn)：都是正弦、余弦的齊次多項(xiàng)式對(duì)于這樣的多項(xiàng)式一定可以化成切函數(shù)，分式可以分子分母同除“cos”的最高次冪，整式可以看成分母為“1”，然后用sin2cos2代換“1”，變成分式后再化簡(jiǎn)變式訓(xùn)練1已知sin(3)2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin 2.解由已知得sin 2cos .(1)原式.(2)原式.題型二利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)與求值1六組誘導(dǎo)公式分兩大類，一類是同名變換，即“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”；一類是異名變換，即“函數(shù)名稱變，符號(hào)看象限”2誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)的基本原則：負(fù)化正，大化小，化到銳角為最好！例2(1)設(shè)f()，則f_.(2)化簡(jiǎn)：_.答案(1)(2)0解析(1)f()，f.(2)原式sin sin 0.點(diǎn)評(píng)熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，并確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào)是解題的關(guān)鍵另外，切化弦是常用的規(guī)律技巧變式訓(xùn)練2(1)(2016·課標(biāo)全國(guó)乙)已知是第四象限角，且sin，則tan_.(2)已知cosa(|a|1)，則cossin_.答案(1)(2)0解析(1)將轉(zhuǎn)化為().由題意知sin()，是第四象限角，所以cos()0，所以cos().tan()tan()tan().(2)coscoscosa.sinsincosa，cossin0.題型三利用其他公式、代換等化簡(jiǎn)求值兩角和與差的三角函數(shù)的規(guī)律有三個(gè)方面：(1)變角，目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”(2)變名，通過(guò)變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”“升冪與降冪”等(3)變式，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有“常值代換”“逆用變用公式”“通分與約分”“分解與組合”“配方與平方”等例3化簡(jiǎn)：(1)sin 50°(1tan 10°)；(2).解(1)sin 50°(1tan 10°)sin 50°(1tan 60°tan 10°)sin 50°·sin 50°·1.(2)原式cos 2x.點(diǎn)評(píng)(1)二倍角公式是三角變換的主要公式，應(yīng)熟記、巧用，會(huì)變形應(yīng)用(2)重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等在解決求值、化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題時(shí)，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問(wèn)題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)墓胶愕茸冃巫兪接?xùn)練3(1)在ABC中，已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則tan tan tan tan的值為_(2)的值是()A.B.C.D.(3)若，且3cos 2sin，則sin 2的值為()A.BC.D答案(1)(2)C(3)D解析(1)因?yàn)槿齻€(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且ABC，所以AC，tan ，所以tan tan tan tantantan tantan tan.(2)原式.(3)cos 2sinsin2sincos代入原式，得6sincossin，sin()0，cos，sin 2cos2cos21.高考題型精練1(2015·陜西)“sin cos”是“cos 20”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案A解析sin coscos 2cos2sin20；cos 20cos±sin / sin cos，故選A.2(2016·課標(biāo)全國(guó)丙)若tan ，則cos 2等于()A B C. D.答案D解析tan ，則cos 2cos2sin2.3若tan，且0，則等于()A B. C D.答案A解析由tan，得tan .又0，所以sin .故2sin .4已知f(x)sin2，若af(lg 5)，bf(lg)，則()Aab0 Bab0Cab1 Dab1答案C解析af(lg 5)sin2(lg 5)，bf(lg)sin2(lg)，則可得ab1.5已知sinsin ，則sin的值是()A B. C. D答案D解析sinsin sin coscossinsin sin cossin cos，故sinsin coscossin.6若(4tan 1)(14tan )17，則tan()等于()A. B. C4 D12答案C解析由已知得4tan 16tan tan 14tan 17，tan tan 4(1tan tan )，tan()4.7(2015·江蘇)已知tan 2，tan()，則tan 的值為_答案3解析tan 2，tan()，解得tan 3.8設(shè)當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)sin x2cos x取得最大值，則cos_.答案解析f(x)sin x2cos xsin(x)，其中sin ，cos，當(dāng)x2k(kZ)時(shí)，函數(shù)f(x)取到最大值，即2k時(shí)，函數(shù)f(x)取到最大值，所以cossin .9已知，且2sin2sin ·cos3cos20，則_.答案解析，且2sin2sin ·cos3cos20，(2sin 3cos )(sin cos)0，2sin 3cos ，又sin2cos21，cos，sin ，.10(2015·四川)已知sin 2cos 0，則2sin coscos2的值是_答案1解析sin 2cos 0，sin 2cos ，tan 2.又2sin coscos2，原式1.11(2015·廣東)已知tan 2.(1)求tan的值；(2)求的值解(1)tan3.(2)1.12已知函數(shù)f(x)cos2xsin xcosx，xR.(1)求f的值；(2)若sin ，且，求f.解(1)fcos2sin cos2×.(2)因?yàn)閒(x)cos2xsin xcosxsin 2x(sin 2xcos 2x)sin，所以fsinsin.又因?yàn)閟in ，且，所以cos，所以f.