高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第32練 圓錐曲線中的探索性問(wèn)題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第32練圓錐曲線中的探索性問(wèn)題題型分析·高考展望本部分主要以解答題形式考查，往往是試卷的壓軸題之一，一般以橢圓或拋物線為背景，考查弦長(zhǎng)、定點(diǎn)、定值、最值范圍問(wèn)題或探索性問(wèn)題，試題難度較大體驗(yàn)高考1(2016·課標(biāo)全國(guó)乙)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y22px(p>0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說(shuō)明理由解(1)由已知得M(0，t)，P，又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，故N，ON的方程為yx，代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N為OH的中點(diǎn)，即2.(2)直線MH與C除H以外沒(méi)有其他公共點(diǎn)，理由如下：直線MH的方程為ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除H以外，直線MH與C沒(méi)有其他公共點(diǎn)2(2016·四川)已知橢圓E：1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線l：yx3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)，使得|PT|2|PA|·|PB|，并求的值解(1)由已知，得ab，則橢圓E的方程為1.由方程組得3x212x(182b2)0.方程的判別式為24(b23)，由0，得b23，此時(shí)方程的解為x2，所以橢圓E的方程為1.點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,1)(2)由已知可設(shè)直線l的方程為yxm(m0)，由方程組可得所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，|PT|2m2.設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程組可得3x24mx(4m212)0.方程的判別式為16(92m2)，由>0，解得<m<.由得x1x2，x1x2.所以|PA|，同理|PB|.所以|PA|·|PB|m2.故存在常數(shù)，使得|PT|2|PA|·|PB|.高考必會(huì)題型題型一定值、定點(diǎn)問(wèn)題例1已知橢圓C：1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)，離心率為，直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求的值是否為定值？若是，求出的值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)依題意得b，e，a2b2c2，a2，c1，橢圓C的方程為1.(2)直線l與y軸相交于點(diǎn)M，故斜率存在，又F坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線l方程為yk(x1)，求得l與y軸交于M(0，k)，設(shè)l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，又由，(x1，y1k)(1x1，y1)，同理，.當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，的值為定值.點(diǎn)評(píng)(1)定點(diǎn)問(wèn)題的求解策略把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然直線或曲線過(guò)定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn)(2)定值問(wèn)題的求解策略在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無(wú)關(guān)，這就是“定值”問(wèn)題，解決這類問(wèn)題常通過(guò)取特殊值，先確定“定值”是多少，再進(jìn)行證明，或者將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無(wú)關(guān)的常數(shù)或者由該等式與變量無(wú)關(guān)，令其系數(shù)等于零即可得到定值變式訓(xùn)練1已知拋物線y22px(p>0)，過(guò)點(diǎn)M(5，2)的動(dòng)直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，點(diǎn)M恰為AB的中點(diǎn)(1)求拋物線的方程；(2)拋物線上是否存在一個(gè)定點(diǎn)P，使得以弦AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)P，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，直線l的方程為xy30，即x3y，代入y22px(p>0)得y22py6p0，p2，p2，所以拋物線的方程為y24x.(2)設(shè)直線l的方程為xm(y2)5，代入y24x得y24my8m200，設(shè)點(diǎn)A(，y1)，B(，y2)，則y1y24m，y1y28m20，假設(shè)存在點(diǎn)P(，y0)總是在以弦AB為直徑的圓上，則·()()(y1y0)(y2y0)0，當(dāng)y1y0或y2y0時(shí)，等式顯然成立；當(dāng)y1y0或y2y0時(shí)，則有(y1y0)(y2y0)16，即4my0y8m2016，(4my02)(y02)0，解得y02，x01，所以存在點(diǎn)P(1,2)滿足題意題型二定直線問(wèn)題例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)定點(diǎn)C(0，p)作直線與拋物線x22py(p>0)相交于A，B兩點(diǎn)(1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求ANB面積的最小值；(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解方法一(1)依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0，p)，可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為ykxp，與x22py聯(lián)立得消去y得x22pkx2p20.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x22pk，x1x22p2.于是SABNSBCNSACN·2p|x1x2|p|x1x2|pp2p2，當(dāng)k0時(shí)，(SABN)min2p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為ya，AC的中點(diǎn)為O，l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P，Q，PQ的中點(diǎn)為H，則OHPQ，O點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)|OP|AC|，|OH|2ay1p|，|PH|2|OP|2|OH|2(yp2)(2ay1p)2(a)y1a(pa)，|PQ|2(2|PH|)24(a)y1a(pa)令a0，得a，此時(shí)|PQ|p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y，即拋物線的通徑所在的直線方法二(1)前同方法一，再由弦長(zhǎng)公式得|AB|x1x2|··2p·，又由點(diǎn)到直線的距離公式得d.從而SABN·d·|AB|·2p·· 2p2.當(dāng)k0時(shí)，(SABN)min2p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為ya，則以AC為直徑的圓的方程為(x0)(xx1)(yp)(yy1)0，將直線方程ya代入得x2x1x(ap)(ay1)0，則x4(ap)(ay1)4(a)y1a(pa)設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則有|PQ|x3x4|2 .令a0，得a，此時(shí)|PQ|p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y，即拋物線的通徑所在的直線點(diǎn)評(píng)(1)定直線由斜率、截距、定點(diǎn)等因素確定(2)定直線一般為特殊直線xx0，yy0等變式訓(xùn)練2橢圓C的方程為1(a>b>0)，F(xiàn)1、F2分別是它的左、右焦點(diǎn)，已知橢圓C過(guò)點(diǎn)(0,1)，且離心率e.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，直線l的方程為x4，P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別交直線l于D、E兩點(diǎn)，求·的值；(3)過(guò)點(diǎn)Q(1,0)任意作直線m(與x軸不垂直)與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，與l交于R點(diǎn)，x，y，求證：4x4y50.(1)解由題意可得b1，a3，橢圓C的方程為y21.(2)解設(shè)P(x0，y0)，則直線PA、PB的方程分別為y(x3)，y(x3)，將x4分別代入可求得D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為D(4，)，E(4，)由(1)知，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，·(42，)·(42，)8，又點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓C上，y1，·.(3)證明設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(4，t)，由x得(x14，y1t)x(1x1，y1)，(x1)，代入橢圓方程得(4x)29t29(1x)2，同理由y得(4y)29t29(1y)2，消去t，得xy，4x4y50.題型三存在性問(wèn)題例3(1)已知直線ya交拋物線yx2于A，B兩點(diǎn)若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為_(kāi)答案1，)解析以AB為直徑的圓的方程為x2(ya)2a，由得y2(12a)ya2a0.即(ya)y(a1)0，由已知解得a1.(2)如圖，已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：(x2)2y2r2 (r>0)，設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M，N.求橢圓C的方程；求·的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)試問(wèn)：是否存在使SPOS·SPOR最大的點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解由題意知解之，得a2，c，由c2a2b2，得b1，故橢圓C的方程為y21.點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)M(x1，y1)，N(x1，y1)，不妨設(shè)y1>0，由于點(diǎn)M在橢圓C上，y1.由已知T(2,0)，則(x12，y1)，(x12，y1)，·(x12，y1)·(x12，y1)(x12)2y(x12)22.由于2<x<2，故當(dāng)x1時(shí)，·取得最小值為，當(dāng)x1時(shí)，y1，故M.又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得r2，故圓T的方程為(x2)2y2.假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)P(x0，y0)，則直線MP的方程為yy0(xx0)，令y0，得xR，同理xS，故xR·xS.又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上，故x4(1y)，x4(1y)，得xR·xS4，|OR|·|OS|xR|·|xS|xR·xS|4為定值SPOS·SPOR|OS|yP|·|OR|yP|×4×yy，又P為橢圓上的一點(diǎn)，要使SPOS·SPOR最大，只要y最大，而y的最大值為1，故滿足條件的P點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為P(0,1)和P(0，1)點(diǎn)評(píng)存在性問(wèn)題求解的思路及策略(1)思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在(2)策略：當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件變式訓(xùn)練3(2015·四川)如圖，橢圓E：1(ab0)的離心率是，點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上，且·1. (1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)是否存在常數(shù)，使得··為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由已知，得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，b)，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，且·1，于是解得a2，b，所以橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykx1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立得(2k21)x24kx20，其判別式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，從而，··x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以當(dāng)1時(shí)，23，此時(shí)··3為定值當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD，此時(shí)，····213.故存在常數(shù)1，使得··為定值3.高考題型精練1.(2015·陜西)如圖，橢圓E：1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，1)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.(1)解由題設(shè)知，b1，結(jié)合a2b2c2，解得a，所以橢圓E的方程為y21.(2)證明由題設(shè)知，直線PQ的方程為yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，則x1x2，x1x2，從而直線AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.2已知橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，且點(diǎn)P(1，)在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)T(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍；(3)過(guò)橢圓C1：1上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作圓O：x2y2的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N(M，N不在坐標(biāo)軸上)，若直線MN在x軸，y軸上的截距分別為m，n，證明：為定值(1)解由題意得c1，所以a2b21，又因?yàn)辄c(diǎn)P(1，)在橢圓C上，所以1，可解得a24，b23，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)解設(shè)直線l方程為ykx2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x216kx40，因?yàn)?2k23>0，所以k2>，又x1x2，x1x2，因?yàn)锳OB為銳角，所以·>0，即x1x2y1y2>0，所以x1x2(kx12)(kx22)>0，所以(1k2)x1x22k(x1x2)4>0，所以(1k2)·2k·4>0，即>0，所以k2<，所以<k2<，解得<k<或<k<.(3)證明由題意：C1：1，設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，M(x2，y2)，N(x3，y3)，因?yàn)镸，N不在坐標(biāo)軸上，所以kPM，直線PM的方程為yy2(xx2)，化簡(jiǎn)得x2xy2y，同理可得直線PN的方程為x3xy3y，把P點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入、得所以直線MN的方程為x1xy1y，令y0，得m，令x0，得n，所以x1，y1，又點(diǎn)P在橢圓C1上，所以()23()24，即為定值3(2016·山東)已知橢圓C：1(ab0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2.(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(0，m)(m0)的直線交x軸于點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長(zhǎng)QM交C于點(diǎn)B.設(shè)直線PM，QM的斜率分別為k，k，證明為定值；求直線AB的斜率的最小值(1)解設(shè)橢圓的半焦距為c.由題意知2a4,2c2.所以a2，b.所以橢圓C的方程為1.(2)證明設(shè)P(x0，y0)(x00，y00)由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，2m)所以直線PM的斜率k.直線QM的斜率k.此時(shí)3.所以為定值3.解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由知直線PA的方程為ykxm.直線QB的方程為y3kxm.聯(lián)立整理得(2k21)x24mkx2m240，由x0x1，可得x1，所以y1kx1mm.同理x2，y2m.所以x2x1，y2y1mm，所以kAB，由m0，x00，可知k0，所以6k2，當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)取“”因?yàn)镻(x0,2m)在橢圓1上，所以x0，故此時(shí)，即m，符合題意所以直線AB的斜率的最小值為.4已知橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，短軸的一個(gè)端點(diǎn)B到F的距離等于焦距(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，是否存在直線l，使得BFM與BFN的面積比值為2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由已知得c1，a2c2，b2a2c23，所以橢圓C的方程為1.(2)2等價(jià)于2，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，1，不符合題意，舍去；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，由消去x并整理得，(34k2)y26ky9k20，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1y2，y1y2，由2得y12y2，由解得k±，因此存在直線l：y±(x1)使得BFM與BFN的面積比值為2.