高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題8 概率與統(tǒng)計(jì) 第33練 用樣本估計(jì)總體 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第33練用樣本估計(jì)總體題型分析·高考展望用樣本估計(jì)總體在高考中也是熱點(diǎn)部分，考查形式主要是選擇題、填空題或是與概率結(jié)合的綜合性解答題，重點(diǎn)是頻率分布直方圖以及數(shù)字特征，屬于比較簡單的題目體驗(yàn)高考1(2015·湖南)在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示：13003456688891411122233445556678150122333若將運(yùn)動員按成績由好到差編為135號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間139,151上的運(yùn)動員人數(shù)是()A3 B4 C5 D6答案B解析由題意知，將135號分成7組，每組5名運(yùn)動員，成績落在區(qū)間139,151的運(yùn)動員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名選B.2(2015·課標(biāo)全國)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是()A逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)答案D解析從2006年起，將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較，得到2008年二氧化硫排放量與2007年排放量的差最大，A選項(xiàng)正確；2007年二氧化硫排放量較2006年降低了很多，B選項(xiàng)正確；雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些，但自2006年以來，整體呈遞減趨勢，即C選項(xiàng)正確；自2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，D選項(xiàng)錯誤故選D.3(2016·課標(biāo)全國丙)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15 ，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5 .下面敘述不正確的是()A各月的平均最低氣溫都在0 以上B七月的平均溫差比一月的平均溫差大C三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D平均最高氣溫高于20 的月份有5個答案D解析由題意知，平均最高氣溫高于20 的有六月，七月，八月，故選D.4(2016·山東)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是17.5,30，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5，20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根據(jù)頻率分布直方圖知，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A56 B60 C120 D140答案D解析由題圖知，組距為2.5，故每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率為(0.160.080.04)×2.50.7，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是200×0.7140，故選D.5(2015·湖北)某電子商務(wù)公司對10 000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位：萬元)都在區(qū)間0.3,0.9內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示(1)直方圖中的a_；(2)在這些購物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為_答案(1)3(2)6 000解析(1)由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得0.2×0.10.8×0.11.5×0.12×0.12.5×0.1a×0.11，解得a3.(2)消費(fèi)金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)頻率為0.2×0.10.8×0.12×0.13×0.10.6，所以消費(fèi)金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.6×10 0006 000.高考必會題型題型一頻率分布直方圖的應(yīng)用例1(2015·廣東)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以160,180)，180,200)，200,220)，220,240)，240,260)，260,280)，280,300分組的頻率分布直方圖如圖(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；(3)在月平均用電量為220,240)，240,260)，260,280)，280,300的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？解(1)由(0.0020.009 50.0110.012 5x0.0050.002 5)×201，得x0.007 5，所以直方圖中x的值是0.007 5.(2)月平均用電量的眾數(shù)是230.因?yàn)?0.0020.009 50.011)×200.45<0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在220,240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由(0.0020.009 50.011)×200.012 5×(a220)0.5，得a224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224.(3)月平均用電量為220,240)的用戶有0.012 5×20×10025(戶)，月平均用電量為240,260)的用戶有0.007 5×20×10015(戶)，月平均用電量為260,280)的用戶有0.005×20×10010(戶)，月平均用電量為280,300的用戶有0.002 5×20×1005(戶)，抽取比例，所以月平均用電量在220,240)的用戶中應(yīng)抽取25×5(戶)點(diǎn)評利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值(2)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和(3)眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)變式訓(xùn)練1某校從參加高一年級期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽出60名學(xué)生，將其物理成績(均為整數(shù))分成六段40,50)，50,60)，90,100后得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：(1)求分?jǐn)?shù)在70,80)內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖；(2)統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)本次考試中的平均分解(1)設(shè)分?jǐn)?shù)在70,80)內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，有(0.0100.015×20.0250.005)×10x1，可得x0.3，所以頻率分布直方圖如圖所示(2)平均分：45×0.155×0.1565×0.1575×0.385×0.2595×0.0571.即估計(jì)本次考試中的平均分為71分題型二莖葉圖的應(yīng)用例2(1)為了檢查某高三畢業(yè)班學(xué)生的體重狀況，從該班隨機(jī)抽取了10位學(xué)生進(jìn)行稱重，如圖為10位學(xué)生體重的莖葉圖，其中圖中左邊是體重的十位數(shù)字，右邊是個位數(shù)字，則這10位學(xué)生體重的平均數(shù)與中位數(shù)之差為()A0.1 B0.2C0.3 D0.4(2)在“某市中學(xué)生歌手大賽”比賽現(xiàn)場上七位評委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()A5和1.6 B85和1.6C85和0.4 D5和0.4答案(1)C(2)B解析(1)平均數(shù)為54.8，中位數(shù)為(5356)54.5，這10位學(xué)生體重的平均數(shù)與中位數(shù)之差為：54854.50.3.故選C.(2)(44467)8085，所以s23(8485)2(8685)2(8785)21.6，故選B.點(diǎn)評由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù)，解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計(jì)圖表試題時，就要充分使用這個圖表提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算或者是對某些問題作出判斷，這類試題往往伴隨著對數(shù)據(jù)組的平均值或者是方差的計(jì)算等變式訓(xùn)練2(1)某公司將職員每月的工作業(yè)績用130的自然數(shù)表示，甲、乙兩職員在2010年18月份的工作業(yè)績的莖葉圖如圖，則下列說法正確的是()A兩職員的平均業(yè)績相同，甲職員的業(yè)績比乙職員的業(yè)績穩(wěn)定B兩職員的平均業(yè)績不同，甲職員的業(yè)績比乙職員的業(yè)績穩(wěn)定C兩職員的平均業(yè)績相同，乙職員的業(yè)績比甲職員的業(yè)績穩(wěn)定D兩職員的平均業(yè)績不同，乙職員的業(yè)績比甲職員的業(yè)績穩(wěn)定(2)如圖為甲、乙兩名籃球運(yùn)動員每場比賽得分情況的莖葉圖，則甲和乙得分的中位數(shù)的和是()A56 B57 C58 D59答案(1)C(2)B解析(1)由莖葉圖可得：甲(1215182020222528)20，乙(1415171921232526)20，s(82522200225282)，s(62523211325262)，由平均數(shù)和方差可知，兩職員的平均業(yè)績相同，乙職員的業(yè)績比甲職員的業(yè)績穩(wěn)定(2)由莖葉圖知，甲共13個數(shù)據(jù)，中間的一個是32，乙共11個數(shù)據(jù)，中間的一個是25，所以甲和乙得分的中位數(shù)的和為57，故選B.題型三用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征例3(1)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8，方差是3.6，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上60，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是()A57.2,3.6 B57.2,56.4C62.8,63.6 D62.8,3.6(2)某籃球隊(duì)甲、乙兩名運(yùn)動員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個，命中個數(shù)的莖葉圖如圖，則下列結(jié)論中錯誤的是_(填序號)甲的極差是29；乙的眾數(shù)是21；甲罰球命中率比乙高；甲的中位數(shù)是24.答案(1)D(2)解析(1)設(shè)這組數(shù)據(jù)分別為x1，x2，xn，則(x1x2xn)，方差為s2(x1)2(xn)2，每一組數(shù)據(jù)都加60后，(x1x2xn60n)6062.8，方差s2(x16062.8)2(xn6062.8)2s23.6.(2)由莖葉圖知，甲的最大值為37，最小值為8，所以甲的極差為29，故對；乙的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是21，所以對；甲的命中個數(shù)集中在20，而乙的命中個數(shù)集中在10和20，所以甲罰球命中率大，故對；甲中間的兩個數(shù)為22,24，所以甲的中位數(shù)為23，故不對故答案應(yīng)填.點(diǎn)評平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動大小變式訓(xùn)練3甲、乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價解(1)由題圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分甲13，乙13，s(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，s(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.(2)由s>s可知乙的成績較穩(wěn)定從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高高考題型精練1某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為20,40)，40,60)，60,80)，80,100，若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)是()A45 B50C55 D60答案B解析低于60分的人數(shù)的頻率為0.015×200.3，所以該班人數(shù)15÷0.350(人)2某賽季，甲，乙兩名籃球運(yùn)動員都參加了11場比賽，他們每場比賽得分的情況用莖葉圖表示，如圖，則甲，乙兩名運(yùn)動員得分的中位數(shù)分別為()A20,18 B13,19C19,13 D18,20答案C解析中位數(shù)為一組數(shù)據(jù)由小到大排列后位于中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)，所以中位數(shù)為19,13.3如圖是某社區(qū)工會對當(dāng)?shù)仄髽I(yè)工人月收入情況進(jìn)行一次抽樣調(diào)查后畫出的頻率分布直方圖，其中月收入在1.5,2)千元的頻數(shù)為300，則此次抽樣的樣本容量為()A1 000 B2 000C3 000 D4 000答案A解析由頻率分布直方圖，得月收入在1.5,2)千元的頻率為P0.6×0.50.3，所以此次抽樣的樣本容量為1 000，故選A.4.甲、乙兩同學(xué)用莖葉圖記錄高三前5次數(shù)學(xué)測試的成績，如圖所示，他們在分析對比成績變化時，發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)成績的一個數(shù)字看不清楚了，若已知乙的平均成績低于甲的平均成績，則看不清楚的數(shù)字為()A0 B3C6 D9答案A解析設(shè)看不清的數(shù)字為x，甲的平均成績?yōu)?01，所以<101，x<1，所以x0，故選A.5.如圖是一容量為100的樣本的重量的頻率分布直方圖，則由圖可估計(jì)樣本重量的中位數(shù)為()A11B11.5C12D12.5答案C解析由頻率分布直方圖，可估計(jì)樣本重量的中位數(shù)在第二組，設(shè)中位數(shù)比10大x，由題意可得，0.06×5x×0.10.5，得x2，所以中位數(shù)為12，故選C.6已知兩組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為h，y1，y2，ym的平均數(shù)為k，則把兩組數(shù)據(jù)合并成一組以后，這組樣本的平均數(shù)為()A.B.C.D.答案B解析因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為h，y1，y2，ym的平均數(shù)為k，所以第一組數(shù)據(jù)和為nh，第二組數(shù)據(jù)和為mk，因此把兩組數(shù)據(jù)合并成一組以后，這組樣本的平均數(shù)為，故選B.7從向陽小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，為制定階梯電價提供數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間，制作頻率分布直方圖的工作人員粗心大意，位置t處未標(biāo)明數(shù)據(jù)，你認(rèn)為t等于()A0.004 1 B0.004 2C0.004 3 D0.004 4答案D解析由題意得，50×(0.006t0.003 60.002 4×20.001 2)1，t0.004 4.810名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別為15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()Aa>b>cBb>c>aCc>a>bDc>b>a答案D解析易得a14.7，b15，c17，故選D.9如圖是某青年歌手大獎賽上七位評委為甲，乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字09中的一個)，去掉一個最高分和一個最低分后，甲，乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1，a2，則a1，a2的大小關(guān)系是_(填a1>a2，a2>a1，a1a2)答案a2>a1解析由題意可知，a184，a285，所以a2>a1.10已知一組正數(shù)x1，x2，x3，x4的方差s2(xxxx16)，則數(shù)據(jù)x12，x22，x32，x42的平均數(shù)為_答案4解析由題意4216，2，所以24.11(2016·四川)我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖(1)求直方圖中a的值；(2)設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；(3)估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)解(1)由頻率分布直方圖可知：月均用水量在0,0.5)的頻率為0.08×0.50.04.同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06，0.04，0.02.由1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.5×a0.5×a，解得a0.30.(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.060.040.020.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 000×0.1236 000.(3)設(shè)中位數(shù)為x噸因?yàn)榍?組的頻率之和為0.040.080.150.210.250.73>0.5.而前4組的頻率之和為0.040.080.150.210.48<0.5.所以2x<2.5.由0.50×(x2)0.50.48，解得x2.04.故可估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)為2.04.12(2016·北京)某市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了10 000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)w3時，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi)解(1)如題圖所示，用水量在0.5,2)的頻率的和為(0.20.30.4)×0.50.450.8，用水量在0.5,3)的頻率的和為(0.20.30.40.50.3)×0.50.85.用水量小于等于3立方米的頻率為0.85，又w為整數(shù)，為使80%以上的居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為3.(2)當(dāng)w3時，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為(0.1×10.15×1.50.2×20.25×2.50.15×3)×40.15×3×40.05×(3.53)0.05×(43)0.05×(4.53)×107.21.81.510.5(元)即該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為10.5元