高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第22練 ?？嫉倪f推公式問題的破解方略 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第22練常考的遞推公式問題的破解方略題型分析·高考展望利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式是高考中?？碱}型，掌握常見的一些變形技巧是解決此類問題的關(guān)鍵一般這類題目難度較大，但只要將已知條件轉(zhuǎn)化為幾類“模型”，然后采用相應(yīng)的計(jì)算方法即可解決體驗(yàn)高考1(2015·湖南)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a11，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an_.答案3n1解析由3S1,2S2，S3成等差數(shù)列知，4S23S1S3，可得a33a2，公比q3，故等比數(shù)列通項(xiàng)ana1qn13n1.2(2015·課標(biāo)全國(guó))設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.答案解析由題意，得S1a11，又由an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1，因?yàn)镾n0，所以1，即1，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，得1(n1)n，所以Sn.3(2015·江蘇)設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為_答案解析a11，an1ann1，a2a12，a3a23，anan1n，將以上n1個(gè)式子相加得ana123n，即an.令bn，故bn2，故S10b1b2b102.4(2016·課標(biāo)全國(guó)丙)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若S5，求.(1)證明由題意，得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，所以.因此an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是ann1.(2)解由(1)得Sn1n.由S5，得15，即5.解得1.高考必會(huì)題型題型一利用累加法解決遞推問題例1(1)在數(shù)列an中，a11，anan1，則an等于()A2B1C.D2答案A解析anan1，a2a1，a3a2，a4a3，anan1(n>1)，以上各式左右兩邊分別相加得ana111，ana112，又a11適合上式，an2，故選A.(2)在數(shù)列an中，已知a12，an1ancn(nN*，常數(shù)c0)，且a1，a2，a3成等比數(shù)列求c的值；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解由題意知，a12，a22c，a323c，a1，a2，a3成等比數(shù)列，(2c)22(23c)，解得c0或c2，又c0，故c2.當(dāng)n2時(shí)，由an1ancn，得a2a1c，a3a22c，anan1(n1)c，以上各式相加，得ana112(n1)cc.又a12，c2，故ann2n2(n2)，當(dāng)n1時(shí)，上式也成立，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2n2(nN*)點(diǎn)評(píng)由已知遞推關(guān)系式，若能轉(zhuǎn)化為an1anf(n)，或f(n)且f(n)的和可求，則可采用累加法變式訓(xùn)練1在數(shù)列an中，a11，an1anln(1)，則an等于()A1nln nB1nln nC1(n1)ln nD1ln n答案D解析a11，an1anln(1)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1ln(1)ln(1)ln(11)1ln(×××2)11ln n.題型二利用累乘法解決遞推問題例2(1)已知a11，則an_.(2)已知數(shù)列an中，a11，n(nN*)，則a2 016_.答案(1)(2)2 016解析(1)，×××××××××××.即，又a11，an，而a11也適合上式，an的通項(xiàng)公式為an.(2)由n(nN*)，得，各式相乘得n，ann(n1適合)，a2 0162 016.點(diǎn)評(píng)若由已知遞推關(guān)系能轉(zhuǎn)化成f(n)的形式，且f(n)的前n項(xiàng)積能求，則可采用累乘法注意驗(yàn)證首項(xiàng)是否符合通項(xiàng)公式變式訓(xùn)練2數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan (n2)，且a11，a22，則an的通項(xiàng)公式an_.答案解析Sn1an1 (n3)，SnSn1anan1，ananan1，.當(dāng)n3時(shí)，···2····，n1，an(n1)·a22(n1)(n3)a22滿足an2(n1)，an題型三構(gòu)造法求通項(xiàng)公式例3(1)已知數(shù)列an，a12，an(n2)，則an_.(2)已知a11，an1，則an_.答案(1)(2)解析(1)由an兩邊取倒數(shù)得1，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，(n1)n.an.(2)由an1，得1(常數(shù))，又1，為以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，n，從而an，即所求通項(xiàng)公式為an.點(diǎn)評(píng)構(gòu)造法就是利用數(shù)列的遞推關(guān)系靈活變形，構(gòu)造出等差、等比的新數(shù)列，然后利用公式求出通項(xiàng)此類問題關(guān)鍵在于條件變形：在“ancan1b”的條件下，可構(gòu)造“anxc(an1x)”在“an”的條件下，可構(gòu)造“”變式訓(xùn)練3已知數(shù)列an中，a12，當(dāng)n2時(shí)，an，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解因?yàn)楫?dāng)n2時(shí)，an1，兩邊取倒數(shù)，得.即，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列所以(n1).所以an.又當(dāng)n1時(shí)，上式也成立，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(nN*)高考題型精練1數(shù)列an滿足a11，a2，且(n2)，則an等于()A.B()n1C()nD.答案D解析由題意知是等差數(shù)列，又1，公差為d，(n1)×，an，故選D.2已知數(shù)列an中，a11，且3(nN*)，則a10等于()A28 B33 C. D.答案D解析由已知3(nN*)，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，即1(n1)×33n2，解得an，a10，故選D.3已知數(shù)列an中，a1，an1an(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)為()AanBanCanDan答案B解析由an1an可得，an1an，所以a2a1，a3a2，a4a3，anan1，累加可得ana1，又a1，所以an，故選B.4已知f(x)log21，anf()f()f()，n為正整數(shù)，則a2 016等于()A2 015 B2 009 C1 005 D1 006答案A解析因?yàn)閒(x)log21，所以f(x)f(1x)log21log212.所以f()f()2，f()f()2，f()f()2，由倒序相加，得2an2(n1)，ann1，所以a2 0162 01612 015，故選A.5已知數(shù)列an滿足a11，an1ann2n(nN*)，則an為()A.2n11B.2n1C.2n11D.2n11答案B解析an1ann2n，an1ann2n.ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1(12)(222)(n1)2n11123(n1)(2222n1)12n1.6已知數(shù)列an滿足a11，anan12n(n2)，則a7等于()A53 B54C55 D109答案C解析anan12n(n2)，a2a14，a3a26，a4a38，a7a614，以上各式兩邊分別相加得a7a14614，a7155.7數(shù)列an中，a11，an2·3n1an1(n2)，則an_.答案3n2解析因?yàn)閍n2·3n1an1(n2)，所以anan12·3n1(n2)，由疊加原理知ana12(332333n1)(n2)，所以ana1213n33n2(n2)，因?yàn)閍11也符合上式，故an3n2.8若數(shù)列an滿足an3an12(n2，nN*)，a11，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.答案2×3n11解析設(shè)an3(an1)，化簡(jiǎn)得an3an12，an3an12，1，an13(an11)a11，a112，數(shù)列an1是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，an12×3n1，an2×3n11.9若數(shù)列an滿足a11，且an14an2n，則通項(xiàng)an_.答案22n12n1解析an14an2n，設(shè)bn，則bn12bn，bn12(bn)，即2，又b11，bn是等比數(shù)列，其中首項(xiàng)為1，公比為2，bn2n1，即bn2n1，即2n1，an2n(2n1)22n12n1.10數(shù)列an滿足an1，a82，則a1_.答案解析an1，an1111(1an2)an2，周期T(n1)(n2)3.a8a3×22a22.而a2，a1.11數(shù)列an滿足a11，a22，an22an1an2.(1)設(shè)bnan1an，證明bn是等差數(shù)列；(2)求an的通項(xiàng)公式(1)證明由an22an1an2，得bn1bnan22an1an2an1an22an1an2，又b1a2a11，bn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列(2)解由(1)得bn2n1，于是an1an2n1，an(a2a1)(a3a2)(anan1)a113(2n3)1(n1)21，而a11也符合，an的通項(xiàng)公式an(n1)21.12已知數(shù)列an的首項(xiàng)a11，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn12Snn1(nN*)(1)證明數(shù)列an1是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列nann的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由已知，Sn12Snn1(nN*), 當(dāng)n2時(shí)，Sn2Sn1n，兩式相減得，an12an1，于是an112(an1)(n2)當(dāng)n1時(shí)，S22S111，即a1a22a111，所以a23，此時(shí)a212(a11)，且a1120，所以數(shù)列an1是首項(xiàng)為a112，公比為2的等比數(shù)列所以an12·2n1，即an2n1(nN*)(2)令cnnann，則cnn·2n，于是Tn1·212·22n·2n，2Tn1·22(n1)·2nn·2n1，兩式相減得，Tn2222nn·2n1n·2n1(1n)·2n12，所以Tn(n1)·2n12.